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Ondes électromagnétiques
dans le videPC*/PC
2 I - Les équations de propagations du champ EM dans le vide :Soit une distribution (D) de charges localisées autour d"un point O, dont les densités sont
fonction du temps (exemple : une antenne métallique). Selon les équations de Maxwell-Gauss et de Maxwell-Ampère, cette distribution (D) est la source de champsEr et Br variables dans le
temps qui vont s"établir dans tout le voisinage de O. Un point M de ce voisinage, bien que situé
en dehors de (D), est lui-même source de champs en raison des termes en tB∂∂/r et tE∂∂/r" provenant de O » qui jouent un rôle de sources dans les équations de Maxwell-Faraday et de
Maxwell-Ampère. Les points P du voisinage de M sont à leur tour dans leur propre voisinage des sources de champs variables dans le temps ... On conçoit ainsi que le champ EM se propage en faisant penser à des rides se transmettant de proche en proche à la surface de l"eau." Le couplage qui est introduit dans les équations de Maxwell par la présence des deux dérivées
partielles par rapport au temps tB∂∂/r et tE∂∂/r est à l"origine du phénomène de propagation du champ EM. » Obtention des équations de propagation du champ EM : On calcule le rotationnel de l"équation de Maxwell-Faraday : ()()BrottErotrotrr Or : ()()EEdivgradErotrotrrrΔ-= Avec tEjBrotetEdiv∂∂+== rrrr 0000μεμερ, il vient :
tEjtEgrad rrr 0000μεμερ
Soit, finalement :
tjgradtEE∂∂+=∂∂-Δ rrr 0 022001μρεμε
De manière symétrique, on élimine E au profit de B en calculant le rotationnel de MA : ()()()ErottjrotBBdivgradBrotrotrrrrr ∂+=Δ-=000μεμSoit :
∂∂-∂∂+=Δ-tB tjrotBgrad rrr0000μεμ
Finalement :
jrottBBrrr 02200μμε-=∂∂-Δ
Dans une région sans charges ni courants (
00rr==jetρ) :
00220022
00 3
Ces équations sont les équations de propagation du champ EM. Si l"on note s(x,y,z,t) l"une des six
coordonnées des champ EM (E x,...., Bx,...), alors : )1(01000222 222cssoittss C"est l"équation de d"Alembert (équation classique de propagation des ondes, encore appelée équation des cordes vibrantes) établie au XVIII ème siècle pour modéliser les vibrations d"une
corde tendue. Les solutions de cette équation traduisent un phénomène de propagation de
célérité c (vitesse de la lumière dans le vide). * Résolution de l"équation de d"Alembert : On se propose de résoudre l"équation de d"Alembert unidimensionnelle : 0122222=∂∂-∂∂
ts vxs De manière symbolique, cette équation peut s"écrire : 0.=) ∂∂+∂∂stxvtxvOn pose :
v xtqet v xtp-=+= et, en considérant x et t comme des fonctions de p et de q : qpvqxq pxp x1 qpqtq ptp t∂On en déduit :
qtxvetptxv∂ ∂=∂∂+∂∂22 L"équation de d"Alembert prend alors la forme : 0 2 qs pqpsPar conséquent,
)(qqs?=∂∂ et, si f(q) désigne une primitive de ?(q), alors : )()()()(v xtg v xtfpgqfs++-=+= Interprétation physique : on considère une fonction de la forme : )(),(v xtftxs-=On constate que :
4 )()(v xxttf v xtfΔ+-Δ+=- pour tout couple Δx et Δt vérifiant : tvxΔ=Δ. Ainsi, s+(x,t) représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens positif.O Instant
tInstant
t+ΔΔΔΔt )(),(vxtftxs-=+ tvxΔ=Δ x Référence : cabri géomètre (Y.Cortial)La solution
)(),(v xtftxs+= - représente un signal qui se propage sans déformation à la vitesse v le long de l"axe (Ox) dans le sens négatif. On se propose maintenant de résoudre l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : 5 ),,,(),(01222tzyxstrsavects
vs==∂∂-ΔrOn vérifie que des fonctions de la forme :
)(),,,(;)(),,,(;)(),,,(,,,v ztftzyxs v ytftzyxs v xtftzyxs zyxmmm===±±±sont solution de l"équation tridimensionnelle (ces solutions sont appelées ondes planes de
directions de propagations respectives zyxuetuurrr,, dans le sens positif ou négatif).Des ondes sphériques sont également solution de l"équation de d"Alembert tridimensionnelle : on
cherche, par exemple, des solutions à symétrie sphérique s(r,t). En utilisant la forme du laplacien
en coordonnées sphériques, il vient :01)(122
222=∂∂-∂∂
ts vrsrrSoit encore :
0)(1)(22
222=∂∂-∂∂rstvrsr
On constate alors que la fonction rs(r,t) est solution de l"équation unidimensionnelle de
d"Alembert. Par conséquent : )()(),(v rtg v rtftrrs++-=Soit :
)(1)(1),(v rtg rv rtf rtrs++-= Les deux termes de cette somme représentent des ondes sphériques respectivement divergente etconvergente. On constate que le signal ne se propage pas sans déformation en raison de
l"affaiblissement exprimé par le facteur 1 / r.On choisit, dans la suite :
Pour une onde plane s(z,t), l"équation de d"Alembert devient : 01022222
22
ts czsouts zsμε Cette fonction s(z,t) peut s"écrire sous la forme : -=cztgcztftzs),(
Compléments (Ondes stationnaires) :
On cherche des solutions de l"équation de d"Alembert de la forme (méthode de séparation des variables) : )()(),(tgxftxs=En substituant dans l"équation de d"Alembert :
6 0122222=∂∂-∂∂
ts cxsIl vient :
0)()(1)()("2=-tgxfctgxf&&
D"où :
Kcstetgtg
cxfxf===)()(1)(")(12 On obtient ainsi deux équations différentielles : Ktgtg cetKxfxf==)()(1)(")(12Ou encore :
0)()(0)()("2=-=-tKgctgetxKfxf&&
Si K > 0, la solution de la deuxième équation différentielle est de la forme : tKctKcBeAetg-+=)(Cette solution est à rejeter : en effet, elle correspond soit à une solution divergente soit à une
solution transitoire. Dans la suite, on suppose K < 0 ; alors, en posantquotesdbs_dbs22.pdfusesText_28