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transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier L' équation de propagation est linéaire ; par conséquent, l'analyse de Fourier permet Compte tenu du choix de la notation complexe, les opérateurs vectoriels se
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mais nécessitant des analyses un peu plus complexes que celles de ce cours, sont fondamentales, à les exprimer de manière vectorielle ou scalaire, et aussi à définir de http://perso wanadoo fr/olivier granier/meca/accueil htm 8) A tester
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Electrostatique : révisions de Sup
Conducteurs en équilibre électrostatique
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2Electrostatique : révisions de Sup
Conducteurs en équilibre électrostatique
I) Electrostatique ; révisions de sup :
1 - Loi de Coulomb, calculs direct du champ et du potentiel :
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3 * Gradient d"une somme et d"un produit : ])()()()(rggradrfgradrgrfgradr r r r r r r r r * En tout point, le gradient du champ scalaire )(rfr est perpendiculaire à la surface de niveau (lasurface iso-f) passant par ce point et il est dirigé suivant la direction de variation la plus rapide de
)(rfr, dans le sens des valeurs croissantes de )(rfr.Exemple en électrostatique :
Les lignes de champs sont perpendiculaires aux équipotentielles et le champ est dirigé vers les
potentiels décroissants (car ))((rVgradEr rElectrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
4 Propriétés de symétrie du champ électrique :Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
52 - Topographie du champ électrostatique, lignes de champs et surfaces équipotentielles :
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6Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
7Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
83 - Le théorème de Gauss, équations locales de l"électrostatique :
Ce théorème a été démontré en 1 ère année ; on peut l"utiliser comme point de départ pourdémontrer la relation de Green-Ostrogradsky et présenter l"interprétation locale de l"opérateur
divergence.On considère un volume élémentaire en coordonnées cartésiennes dτ = dxdydz. On montre que
le flux élémentaire sortant de ce volume vaut :Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
9τdzE
yE xEd zyx)) Soit : (interprétation locale de la divergence)Edivddr
L"écriture locale du théorème de Gauss s"en déduit :0ερ
=EdivrEt on démontre ainsi le théorème de Green-Ostrogradsky : (valable finalement pour tout champ
vectoriel)ττdEdivdSnEsoitdEdivd
VS r rr rElectrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
10 Théorème de Gauss pour le champ gravitationnel :Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
11Equations locales :
Remarque sur les opérateurs :
Retour sur l"opérateur " gradient » :
zyxuzVuyVuxVVVgradrrr rElectrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
12 zyxuzuyuxrrr r (opérateur " nabla ») EEdivrr rEErotr
r rOn retrouve alors facilement les expressions des ces opérateurs mais en coordonnées cartésiennes
uniquement ! (dans les autres systèmes de coordonnées, il faut soit utiliser un formulaire ou alors
retrouver l"expression de ces opérateurs quand par exemple les symétries sont fortes et seule la
distance r intervient). Les expressions suivantes ne sont pas à connaître :Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
13En coordonnées cylindriques :
zA A rrrA rzrA A rrA rEt en coordonnées sphériques :
sin1 )(sin sin1 )(1)()sin()sin( sin1 2 222 A rA rrAr rrA Ar rAr rAdiv rr r * Divergence d"une somme et d"un produit : ])()()()(rWdivrVdivrWrVdivrr rr rr rr ])()()().()()(rVdivrfrVrfgradrVrfdivrr r rr r rr r
Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
14 * Rotationnel d"une somme et d"un produit : ])()()()(rWrotrVrotrWrVrotr r rr r r rr ])()()()()()(rVrotrfrVrfgradrVrfrotrr r rr r rr r )().()().()()(rWrotrVrWrVrotrWrVdivr r rr r r rr r r rr (Voir le chapitre sur l"analyse vectorielle et un formulaire d"analyse vectorielle)4 - Exemples de calculs de champs et de potentiels :
Voir feuilles d"exercices.
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155 - Relations de passage pour le champ :
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166 - Equation de Poisson :
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17Rq1 : le Laplacien est encore noté :
2?=Δr
7 - Energie électrostatique :
a - Energie d"interaction de deux charges ponctuelles :Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
18 b - Cas d"une distribution discrète de n charges ponctuelles :Electrostatique : révisions de sup, conducteurs en équilibre, transparents de cours, MP, Lycée Montesquieu (Le Mans), Olivier Granier
19 c - Energie électrostatique d"une sphère uniformément chargée :On établit l"expression de l"énergie électrostatique d"une sphère de rayon a uniformément chargée
en volume, de charge totale Q et de densité volumique de charges ρ. On construit de manière réversible la sphère en amenant de l"infini la charge drrdqρπ2 4= , qui passe donc du potentiel nul au potentiel de la " sphère » en construction , de rayon r : 02 3 00 3344 1)(
41)(ερρπ
πεπεr
rr rrQrV=== Le travail élémentaire qu"il faut fournir est alors : drrrdrrrdqVVrVdqdEWWPélect4
02 02 2 3434)()()(επρ
On en déduit :
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