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Asie2013.En seignementspéci fique

EXERCICE4(5points)(c and idatsn 'ayantpassuivil'e nseignementdespécialit é)

PartieA

Onco nsidèrelasuite(u

n )définiepar:u 0 =2et,pour toutentiernat ureln: u n+1 1+3u n 3+u n Onad metquetousleste rmesdecet tesuitesont définisets trictementpositif s.

1)Démontrerparrécurrencequ e,pourto utentiernatureln,ona:u

n >1.

2)a )Établirque,pourtout entiernatur eln,ona:u

n+1 -u n (1-u n )(1+u n 3+u n b)Déterminerlesensdevariationd elasu ite(u n

Endé duirequelasuite(u

n )converge.

PartieB

Onco nsidèrelasuite(u

n )définiepar:u 0 =2et,pour toutentiernat ureln: u n+1

1+0,5u

n 0,5+u n Onad metquetouslest ermesdece ttesuiteson tdéfiniset strictementpositifs .

1)Onco nsidèrel'algorithmesuivant :

Entrée:soitunenti ernatu relnonnuln

Initialisation:Affecteràulava leur2

Traitementetsortie:POURivariantde1àn

A ff ecteràulava leur

1+0,5u

0,5+u A ffi cheru

FINPOUR

Reproduireetcompléterl etablea usuivant,enfaisantfonctionnercetalgorithm epourn=3.

Lesv aleursdeuserontarrondiesa umillième.

i123 u i456789101112

Conjecturerlecomportementdelas uite(u

n )àl'infini.

3)Onco nsidèrelasuite(v

n )définie,pourtouten tiernaturel n,par:v n u n -1 u n +1 a)Démontrerquelasuite(v n )estgéom étriquederaison- 1 3 b)Calculerv 0 puisécri rev n enfo nctionden.

4)a) Montrerque,pourtoutent iernatureln,ona:v

n

̸=1.

b)Montrerque,pourtoutent iernatureln,ona:u n 1+v n 1-v n c)Déterminerlalimitedelasuite (u n http://www .maths-france.fr1c⃝Jean-LouisRouget,2014.Tousd roitsréservés.

Asie2013.En seignementspéci fique

EXERCICE4:corrigé

PartieA

1)Montronsparrécurrenceq ue,pourt outentiernatureln,ona:u

n >1. •u 0 •Soitn!0.Supposonsqueu n >1etmo ntronsqueu n+1 >1. u n+1 -1= 1+3u n 3+u n -1= 1+3u n -3-u n 3+u n 2u n -2 3+u n 2(u n -1) 3+u n

Parhyp othèsederécurrence,u

n >1etdo ncu n -1>0et3+u n >0puis 2(u n -1) 3+u n >0.Onendéduitque u n+1 -1>0ouen corequeu n+1 >1. Ona mon tréparrécurrencequ epourtout entiernatureln,ona:u n >1.

2)a) Soitnunen tiernaturel.

u n+1 -u n 1+3u n 3+u n -u n 1+3u n -3u n -u 2 n 3+u n 1-u 2 n 3+u n (1-u n )(1+u n 3+u n b)Soitnunen tiernaturel.D'aprèsla question1),onau n >1.Onendéduitque1-u n <0.D'autrepart,1+u n >0 et3+u n >0.Donc, (1-u n )(1+u n 3+u n <0puisu n+1 -u n <0.

Ainsi,pourtouten tiernatureln,u

n+1 -u n <0ouen core,pourtoutentier natureln,u n+1 Lasu ite(u n )estdécroi ssanteetminoréepar1.Onendéduitque lasu ite(u n )converge.

PartieB

1) i123 u0,81,0770,976

2)Ilse mbleraitquelasuite(u

n )convergevers1.

3)a) Soitnunen tiernaturel.

v n+1 u n+1 -1 u n+1 +1

1+0,5u

n 0,5+u n -1

1+0,5u

n 0,5+u n +1

1+0,5u

n 0,5+u n -1 (0,5+u n

1+0,5u

n 0,5+u n +1 (0,5+u n

1+0,5u

n -0,5-u n

1+0,5u

n +0,5+u n

0,5-0,5u

n

1,5+1,5u

n -0,5 1,5 u n -1 u n +1

0,5×2

1,5×2

u n -1 u n +1 1 3 v n

Donc,lasuite (v

n )estgéom étriquederaisonq=- 1 3 b)v 0 u 0 -1 uquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19