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Estimation paramétrique

Maria João Rendas

Laboratoire I3S, CNRS-UNSA

février 2007 r

Espace des observations

Espace des paramètresEspace des paramètres

QR)(ˆrq

vraie valeur (inconnue) observations (mesurées)estimateur (fonction déterministe des observations) pÂÌQ 21
pqqqq⋯ )|(qrp : probabilité conditionnelle des observations (pour chaque valeur possible de q dans Q)

Les entitLes entit

éés de base de l"estimation params de base de l"estimation param

éétriquetrique

ObjectifObjectif

: déterminer la fonction de façon à approximer au mieux la valeur (inconnue, non-observée) de q.

Remarque : L"application de

Q en

R est aléatoire:

)(ˆrq 1q2q décrite par la distribution conditionnelle de r sachant qqqq ? est une variable aléatoire )(ˆrq p(r| q2) p(r| q1) 0 0.5 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00.20.40.60.81

ExempleExemple

caractérisation d"un système automatique de lancement mire q= [p mire , p gauche , p droite r = [r 1, r

2, ..., r

N], rk Î {sur la mire, à gauche, à droite} Q M

3 Ì R

3.

R = {sur la mire, à gauche, à droite}

N 020

406080100

0 20 40
60
80
100

020406080100

N mire

Ngauche

Ndroite

N(r) = N

mire (r), N gauche (r), N droite (r), N mire (r) + N gauche (r) + N droite (r) =N

Résultat de 20 tirages indépendantes

avec le même système

Impossible d"imposerr !!

Erreur d"estimation:

RÎ"=rr

qq qqe q -=)(ˆ)(rr qqe q -=)(ˆ)(rr

L"erreur est aussi une

variable aléatoire Pour cet exemple, considérons l"estimateur suivant: NrN NrN

NrNrdroitegauchemire

q 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.65 0.7 0.75

0.150.20.25

egauche emire edroite

Erreur d"estimation dans les 20 tirages

indépendantes avec le même système

DéfinitionDéfinition

: Fonction de vraisemblance p(r| q) Note:

Pour chaque

qqqq, comme fonction de r , p(r| q) est une fonction densité de probabilité conditionnelle (sachant la valeur de q, qui est fixe) Pour r fixe (une fois les observations acquises), comme fonction de q, p(r| q) est appelée fonction de vraisemblance (elle n"a donc plus les propriétés d"une densité de probabilité!) La fonction de vraisemblance joue un rôle fondamentale dans la théorie de l"estimation statistique

Modèle binomialp(r|

q) = qn(r)(1- q)N-n(r) =(q/(1-q)) n(r)(1-q) N log p(r|q) = n(r)log (q/(1-q)) -+Nlog(1- q) 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

111111

Sn p(n|

q) q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

0.010.020.030.040.050.060.070.080.090.1

∫ p(r| q) d q n(r) log p(n(r)| q)

CritCrit

èères d"estimationres d"estimation

(pour comparer - et donc choisir! - des estimateurs)

BiaisBiais

d"estimation rrrrE r dp)|()(|)(ˆ qqqq q

Idéalement,

qqq=

ˆrE

: estimateur non-biaisé Estimation de la moyenne par la loi des grands nombres (200 tirages) {}[ ]2.07.01.0,2024.06981.0994.0 =»qq E 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

00.20.40.60.81

qmire qgauche qdroite

Estimateur consistant

consistant (propriété asymptotique) lim N q avec probab. 1 (w.p.1)

N: nombre d"observations (taille de r)

)(ˆrq 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5

05101520253035

q (q0 = .2)histogramme des estimees N=10,20,50,100,500 r= r 1,rquotesdbs_dbs24.pdfusesText_30