La contrainte moyenne est nulle, donc le tenseur de contraintes n'a pas de partie sphérique, et le déviateur de est égal à Exercice C 1 On dispose de la matrice
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IINNTTRROODDUUCCTT
MMI EExx Département Géotechnique, Troisième annéeTTIIOONN AA LLAA MMEECCAANNIIQQUU
MIILLIIEEUUXX CCOONNTTIINNUUSS
xxeerrcciicceess ccoorrrriiggééssGuilhem MOLLON
Polytech Grenoble
Département Géotechnique, Troisième annéeEdition 1, 2012-2013
UUEE DDEESS
Département Géotechnique, Troisième année V1.07Mécanique des Milieux Continus
Exercice A. Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est tenseur ݒ̿ est symétrique (ݒ௹௺ alors cette propriété est également vraie dans toute autre base orthonorméeExercice B.
Montrer que l'antisymétrie est également une propriété tensorielle.Exercice C.
Montrer qu'un tenseur
partie symétrique et une partie antisymétrique.Exercice D.
Soit ݒ̿ un tenseur
l'on a toujours ݒ̿:݀̿൩ 0.Exercice E.
Soit ݒ̿ un tenseur symétrique et
a toujours : ݒ̿:ݓൄ൩ ݒ̿:ݓൄ௩, oùExercice F.
Soit ݀Ճ un champ vectoriel. Montrer que l'on a toujoursExercice G.
Soit ݀ un champ scalaire. Montrer que l'on a toujoursExercice H.
Soit la base curviligne polaire
1. Calculer la surface extérieure d'une sphère de rayon surface infinitésimal peut s'écrire2. Calculer l'intégrale du champ
élémentaire dans la direction radiale vaut
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 2 Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est ௹௺൩ ݒ௺௹) dans une base orthonormée donné alors cette propriété est également vraie dans toute autre base orthonormée Montrer que l'antisymétrie est également une propriété tensorielle. Montrer qu'un tenseur ݓൄ quelconque peut toujours se décompose partie symétrique et une partie antisymétrique. un tenseur symétrique et ݀̿ un tenseur antisymétrique, montrer que un tenseur symétrique et ݓൄ un tenseur quelconque, montrer que l'on ൄ, où ݓൄ௩ est la partie symétrique de ݓൄ. un champ vectoriel. Montrer que l'on a toujours ݝݢݯ un champ scalaire. Montrer que l'on a toujours ݫݨݭ Calculer la surface extérieure d'une sphère de rayon ݑ, sachant qu'un élément de surface infinitésimal peut s'écrire ݝݒ ൩ ݑݬݢݧࠋݝ߽Calculer l'intégrale du champ ݜݨݬࠋ ∙ ݞ௨Ճ sur cette sphère, sachant que le vecteur
élémentaire dans la direction radiale vaut ݞ௨Ճ൩ ݬݢݧࠋݜݨݬ߽ݞఈՃൢݬݢݧࠋݬݢݧ߽
Polytech Grenoble, Geo3
Montrer que la symétrie est une propriété tensorielle, c'est-à-dire que si un) dans une base orthonormée donné ݁ ൩ݞՃ,ݞՃ,ݞՃቘ,
alors cette propriété est également vraie dans toute autre base orthonormée ݁′ ൩
Montrer que l'antisymétrie est également une propriété tensorielle. se décomposer en une un tenseur antisymétrique, montrer que un tenseur quelconque, montrer que l'on , sachant qu'un élément de sur cette sphère, sachant que le vecteur Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 3Exercice A.
Soit un tenseur ݒ̿ symétrique. Dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ on peut donc écrire
௹௺൩ ݒ௺௹. Soit une base orthonormée quelconque ݁Կ ൩ቝݞԿՃǾݞԿՃǾԿݞՃ différente de ݁.
௹௺ les termes de la matrice de ݒ̿ dans la base ݁Կ, on a d'après le cours (en notation d'Einstein) : Or la matrice ݒ est symétrique, on a donc ݒ ఀఁ൩ ݒఁఀ. On écrit donc : Les indices ݩ et ݪ du second membre sont muets, on pourrait donc les remplacer par n'importe quelle lettre, et on peut aussi les intervertir :On en déduit que ݒԿ
௹௺൩ ݒԿ௺௹, ce qu'il fallait démontrer.Exercice B.
Soit un tenseur ݒ̿ antisymétrique. Dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ on peut donc écrire
௹௺൩ ൣݒ௺௹. Soit une base orthonormée quelconque ݁Կ ൩ቝݞԿՃǾݞԿՃǾԿݞՃ différente de ݁.
௹௺ les termes de la matrice de ݒ̿ dans la base ݁Կ, on a d'après le cours (en notation d'Einstein) : Or la matrice ݒ est symétrique, on a donc ݒ ఀఁ൩ ൣݒఁఀ. On écrit donc : Les indices ݩ et ݪdu second membre sont muets, on pourrait donc les remplacer par n'importe quelle lettre, et on peut aussi les intervertir :On en déduit que ݒԿ
௹௺൩ ൣݒԿ௺௹, ce qu'il fallait démontrer. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 4Exercice C.
On reprend les formules du cours. Soient les tenseurs ݓൄ ௩ et ݓൄௗ donnés par les formules suivantes :On va démontrer que ݓൄ
௩ est symétrique et que ݓൄௗ est antisymétrique. Pour cela on se place dans une base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ, pour laquelle le tenseur ݓൄ s'exprime sous la forme
d'une matrice de terme générale ݓ ௹௺. Explicitions les termes des matrices de ݓൄ௩ et ݓൄௗ :On a donc démontré que ݓൄ
௩ est symétrique et ݓൄௗ antisymétrique.Exercice D.
Dans une base orthonormée ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ, on peut écrire que ݒ௹௺൩ ݒ௺௹ et également
que ݀௹௺൩ ൣ݀௺௹. On en déduit que, comme pour tout tenseur antisymétrique, les termes
diagonaux de la matrice de ݀̿ sont nuls dans toute base. D'après le cours, le produit doublement contracté de ces deux tenseurs est un scalaire égal à : Développons cette notation d'Einstein sous forme explicite :On sait que l'on a ݀
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 5Exercice E.
Le résultat découle directement de celui de l'exercice précédent et de la distributivité
de l'opérateur produit doublement contracté :Exercice F.
Posons le résultat intermédiaire ݁Ճ൩ ݫݨݭՃ݀Ճ. Dans une base orthonormée donnée
ՃǾݞՃǾݞՃቘ, on a par définition :
Par ailleurs, on a par définition : ݝݢݯ݁ On en déduit que ݝݢݯݫݨݭ Ճ݀Ճ vaut : L'ordre des dérivations partielles successives d'une fonction de plusieurs variables est quelconque, on peut donc en déduire directement :ݝݢݯݫݨݭExercice G.
On se place également dans une base orthonormée ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ. Soit le résultat
intermédiaire ݁ Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 6 Par ailleurs, on peut écrire, toujours dans la base ݁ ؔOn en déduit :
Pour la même raison que dans l'exercice précédent, on peut donc écrire directement la formule classique ݫݨݭExercice H.
1. Un élément de surface ݝݒ de la sphère de rayon ݑ délimité par deux secteurs
d'angles infinitésimaux ݝ߽On cherche à calculer ݒ ൩؉
ఃఀ௸Íం௵. En paramétrant la surface en fonction de ߽ on peut expliciter cette intégrale :Le rayon ݑ est indépendant de ߽ et ࠋ, et le terme ݬݢݧࠋ est indépendant de ߽
donc écrire : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 7 Finalement, on obtient le résultat classique ݒ ൩ Γࠅݑ2. On doit calculer :
Avec : ݞ
On est en coordonnées curvilignes, donc on ne peut pas sortir le vecteur ݞ ௨Ճ car il n'estpas indépendant du point d'intégration (du point de la sphère de surface ݝݒ). En
revanche, les trois vecteurs de la base cartésienne ont cette propriété, et peuvent être sortis de l'intégrale. On peut donc remplacer ݞ ంՃ par son expression, et écrire dans la base ݁ ൩ݞ Du fait de la périodicité des fonctions trigonométriques, on a :Par ailleurs, on a :
Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 8Donc :
La primitive de la fonction ݜݨݬ
ࠋݬݢݧࠋ est la fonction ௳ఃౌ , donc : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 9Problème. On considère un mouvement défini dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ par sa
représentation lagrangienne (ࠎ est une constante positive) :1. Calculer le tenseur gradient ݅ൄ, le tenseur des dilatations ݂̿, et le tenseur des
déformations ݄ൄ de ce mouvement au point ݗՃ et à l'instant ݭ.2. A quelle classe particulière ce mouvement appartient-il ?
3. Pour un instant ݭ donné, calculer la dilatation en un point ݗՃ et dans une direction ݝݗ
4. Pour un instant ݭ donné, calculer le glissement en un point ݗՃ et pour deux directions
orthogonales ݝݗ Ճ et ݝݗԿՃ.5. On considère un milieu animé de ce mouvement, muni d'une masse volumique
homogène ࠆ masse volumique du milieu à l'instant ݭ.6. Calculer le champ de vitesse ݕ
coordonnées lagrangiennes.7. Exprimer les coordonnées initiales à partir des coordonnées actuelles. Calculer le
champ de vitesse ݕ ՃݱՃǾݭቘ et le champ d'accélération ߸ eulériennes.8. Calculer les tenseurs des taux de déformations eulériens ݃ݱՃǾݭቘ et des taux de
rotation ɐݱՃǾݭቘ.9. On définit les coordonnées polaires lagrangiennes ݑǾɀǾ8
ቘ par le changement de variablesǾݗǾ8ቘ൩ݑ ϋ ݜݨݬɀǾݑ ϋ ݬݢݧɀǾ8ቘ et les coordonnées eulériennes
ቘ par le changement de variables ݱǾݱǾ·ቘ൩ݫ ϋ ݜݨݬ߽Ǿݫ ϋ ݬݢݧ߽
Expliciter les fonctions ݗ
ం et ݗబ définissant une nouvelle représentation lagrangienne du mouvement de la forme : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 10 On note alors le champ de vitesse dans cette nouvelle base : Indiquer l'expression des composantes polaires ݕ ం, ݕబ et ݕ du champ de vitesse eulérien.11. Calculer l'accélération centrifuge ߸
ంݫǾ߽Ǿݭቘ et l'accélération tangentielle ߸బݫǾ߽
du mouvement étudié.12. Définir les trajectoires associées à ce mouvement
Examen partiel : Etude cinématique d'un tourbillon.On considère un mouvement,
défini dans la base orthonormée ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ par la représentation eulérienne
suivante : Dans cette représentation, ݀ est une fonction scalaire des deux coordonnées ݱ et ݱ, définie par l'expression ݀ݱCe mouvement est donc uniquement défini pour
1. De quel type de mouvement s'agit-il ?
ൄൄൄൄൄൄݕՃ dans la baseՃǾݞՃǾݞՃቘ s'exprime par :
3. En déduire immédiatement les matrices du tenseur des taux de rotation ɐݱՃǾݭቘ et du
tenseur des taux de déformation eulériens ݃ݱՃǾݭቘ.4. On considère un milieu continu de masse volumique ࠆ
animé de ce mouvement. Calculer la divergence du champ de vitesse, et en déduire la Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 115. Montrer que l'accélération ߸
ǾݱǾݱǾݭቘ en coordonnées eulériennes cartésiennes (c'est-à-dire dans la base ݁ ൩ݞՃǾݞՃǾݞՃቘ) s'exprime par :
6. On définit les coordonnées polaires lagrangiennes ݑǾɀǾ8
ቘ par le changement de variablesǾݗǾ8ቘ൩ݑ ϋ ݜݨݬɀǾݑ ϋ ݬݢݧɀǾ8ቘ et les coordonnées eulériennes
ቘ par le changement de variables ݱǾݱǾ·ቘ൩ݫ ϋ ݜݨݬ߽Ǿݫ ϋ ݬݢݧ߽
On définit également une base curviligne polaire ݁ Calculer l'accélération ߸ՃݫǾ߽ Ǿݭቘ en coordonnées eulériennes polaires.7. Exprimer le champ de vitesse en coordonnées eulériennes polaires. En déduire que
les particules ont des trajectoires circulaires autour de l'origine, de vitesse angulaire : Donner sans calcul l'expression de la représentation polaire lagrangienne du mouvement sous la forme ݫ ൩ ݗ ంݑǾɀǾݱǾ³ቘ et ߽8. Démontrer que la représentation lagrangienne du mouvement dans la base
Montrer que, dans cette expression, on a : ࠎ ൩9. Définir les trajectoires associées à ce mouvement, ainsi que les champs de vitesse et
d'accélération10. On considère le point de vecteur position ݱՃ ൩ ݫ ϋ ݞ
Ճ. Calculer la matrice du tenseur des taux de déformations eulériens en ce point. De quel type de déformation s'agit-il ? En déduire les valeurs propres et les vecteurs propres du tenseur des taux de déformations eulériens en ce point. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 12Problème.
1. Le terme général de la matrice du tenseur gradient dans la base ݁ est ݅
ా௮ೲ, donc on a :Pour le tenseur des dilatations, on a ݂
௹௺൩ ݅ఀ௹݅ఀ௺ en notation d'Einstein, donc :Enfin, on sait que ݄ൄ൩
2. Le tenseur des déformations est nul, on est donc en présence d'un mouvement
rigidifiant.3. Puisque ݂̿൩ ݈̿, on peut dire que toute direction est direction principale. La dilatation
dans une direction quelconque ݝݗ4. Pour la même raison, le glissement entre deux directions orthogonales quelconques
Ճ et ݝݗԿՃ vaut : ߸5. Le jacobien de la transformation est le déterminant de ݅ൄ. On a donc :
Par conséquent la masse volumique du milieu est constante dans le temps et en tout point. Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 13 vecteurs exprimant les positions actuelles des particules : ݕDonc :
De même, le champ d'accélération s'obtient par ߸ Ces champs s'expriment en fonction de ݗՃ, et sont donc bien en coordonnées lagrangiennes.7. D'après l'énoncé, les coordonnées actuelles s'obtiennent à partir des coordonnées
initiales par le système suivant : On isole en particulier les deux premières équations de ce système : On cherche à inverser ce système pour exprimer ݗՃ en fonction de ݱՃ. On utilise la formule d'inversion d'une matrice 2*2 : Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 14Donc :
Cette matrice est orthogonale, car son inverse est égale à sa transposée. Elle traduit donc une rotation. On en déduit :Dans l'expression du champ de vitesse et du champ d'accélération calculés à la
question précédente, on peut alors remplacer les coordonnées initiales ݗՃ par leur
expression en fonction des coordonnées actuelles ݱՃ. On obtient la formulation eulérienne suivante : Ce dernier résultat pouvait aussi s'obtenir en passant par la formule donnant directement l'accélération par ߸ Mécanique des Milieux Continus Polytech Grenoble, Geo3 15 cours ాఈೲ. On remarque qu'il s'agit d'un gradient eulérien (g minuscule), donc les dérivations sont effectuées par rapport aux coordonnées actuelles ݱՃ : résultats peuvent être retrouvés par le calcul avec les formules de cours :9. En coordonnées polaires, on a les correspondances suivantes :
On cherche les expressions des fonctions ݗ
ం et ݗబ. On peut écrire à partir de ces expressions :2ǿݬݢݧɀ ൩ݗ
2Or on sait d'après l'énoncé que, dans le repère cartésien, le mouvement s'exprime par :