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Mécanique des milieux continus

MATH-F-426

Gregory Kozyreff

Université Libre de Bruxelles (U.L.B.)

Faculté des Sciences

Optique Non Linéaire Théorique CP 231

24 mars 2014

ii AvertissementCes notes se veulent un repère mathématique pour le cours oral. Elles viennent en accompagnement du cours. Les principales sources de ce cours sont : - 'Applied Solid Mechanics", P. Howell, G. Kozyreff, and J. Ockendon,

Cambridge University Press 2009

- 'Elementary Fluid Dynamics", D. J. Acheson, Oxford University Press 1990
- 'An Introduction to Fluid Dynamics", G. K. Batchelor, Cambridge Uni- versity Press 2000

Les notes historiques sont tirées de

- 'A History and Philosophy of FLuid Mechanics", G.A. Tokaty, Dover, 1994
- 'A treatise on the Mathematical Theory of Elasticity", A. E. H. Love,

Dover, 1944

©2012, Gregory Kozyreff

Reproduction libre, sauf à des fins commerciales.

Table des matières

1 Déformations et contraintes 3

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Fluides et solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Dérivée matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Déformations (Strain) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Contraintes (Stress) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5.1 Valeurs propres et directions principales . . . . . . . . 10

1.6 Rappels sur la notation indicielle . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Lois de conservation 15

2.1 Théorème de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3 Impulsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 variablespetT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4.2 variablesetT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Fluides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.1 Fluides inviscides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.2 Fluides parfaits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.3 Fluides newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Solides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.1 Elasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.6.2 Énergie élastique (Strain energy) . . . . . . . . . . . . 27

2.6.3 Incompressiblité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Applications des équations générales 31

3.1 Équations sous forme adimensionnelle . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Écoulements inviscides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.2.1 Vorticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1

2TABLE DES MATIÈRES

3.2.2 Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.3 Fluide compressible dans une tuyère . . . . . . . . . . 35

3.2.4 Vagues en eau profonde . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.2.5 Trainée hydrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.6 Vagues en eau peu profonde. Ondes solitaires . . . . . . 46

3.2.7 Circulation atmosphérique et océanique . . . . . . . . . 49

3.3 Écoulements visqueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.1 Équations de Stokes, Équations de Oseen . . . . . . . . 52

3.3.2 Écoulements à 2D - fonction de courant . . . . . . . . . 53

3.3.3 Théorie de la lubrification . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.4 Percolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.4 Ondes élastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.1 Ondes S et P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.4.2 Réfraction et réflexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.4.3 Ondes de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Théories approchées de l"élasticité 69

4.1 Cordes et membranes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.2 Poutres I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

4.2.1 RelationB=M@2w@x

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Plaques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.1 Couple produit par

@2w@x

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3.2 Couple produit par

@2w@y

2. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

4.3.3 Couple produit par

@2w@x@y . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4.3.4 Synthèse des cas précédents . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.5 Equations d"une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

4.3.6 Conditions aux bords . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.3.7 Équations de von Kármán . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4.4 Poutres II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

A Etude multi-échelle 87

Chapitre 1

Déformations et contraintes

1.1 Introduction

La mécanique du point fait intervenir des masses, des ressorts et des 'dashpots". SiLest la longueur de référence,`la longueur instantanée etT la force appliquée aux extrémités, on a, pour un ressort,

T=k(`L)(1.1)

et pour un frein visqueux (dashpot),

T=d`dt:(1.2)

Ces lois valent pour des éléments ponctuels; il nous faut les adapter aux milieux continus. Nous verrons queLetTse généralisent par les notions de tenseurs des déformations et des contraintes. La loi de proportionnalité (1.1) fut découverte par Hooke en 1660, mais énoncée par lui bien plus tard en

1676 et 1678. Mariotte la découvrit indépendemment en 1680 et l"appliqua

au problème fondateur de l"élasticité, la résistance des poutres, étudié par Galilée aux alentours de 1638; le problème fut repris par Jacques (James)

Bernoulli

1, puis par Euler quelques années plus tard (voir plus loin dans le

cours).

1.2 Cinématique

Un milieu continu est supposé décrit par une portion d"espace euclidien

à trois dimensions. Un point matériel est donné par le vecteur positionX.1. Jacques Bernoulli, 1654-1705, équation del"élastica, Ch. 4, à ne pas confondre avec

son neveu Daniel Bernoulli, 1700-1782, à qui est associé l"équation de Bernouilli pour les fluides non visqueux, Ch. 3. 3

4CHAPITRE 1. DÉFORMATIONS ET CONTRAINTES

Xest aussi la position initiale d"un point d"un corps déformable; après dé- formation, ce point se trouve à x=x(X;t):(1.3) On a doncx(X;0) =X. À noter queXest une variable continue.Xest attaché au point matériel, c"est la variable deLagrange. Si on fixeXdans (1.3), on suit la trajectoire d"un point matériel au cours du temps. D"autre part,xest la variable d"Euler. Supposons qu"on puisse inverser la relation ci-dessus et écrire

X=X(x;t)(1.4)

Dans ce cas, si l"on fixex, le point matérielXassocié à cette position variera généralement au cours du temps. Exemple. On se tient au bord de l"eau et on regarde l"eau couler sous un pont : c"est une description en variables d"Euler; on suit du regard une feuille emportée par le courant : Lagrange. Rappelons enfin qu"entre les éléments de volume des deux variables existe la relation dx=JdX;(1.5) où le facteur de dilatation

J=det@xi@X

j (1.6) est supposé non nul et borné.

1.2.1 Fluides et solides

D"un point de vue mécanique, un solide se caractérise essentiellement par un champ dedéplacement u=xX(1.7) alors qu"un fluide se décrit plutôt par unécoulement2 v=@u@t :(1.8) Il s"agit là d"une notion intuitive et incomplète (eau dans un verre, dentifrice). Pour un fluide, la variable d"Euler est souvent la plus appropriée. Pour un

solide, où les déplacements sont petits, les variables de Lagrange sont souvent2. Dans ce cours, nous utilisonsvpour les vitesses, afin d"éviter la confusion avecu,

que nous réservons aux déplacements.

1.2. CINÉMATIQUE5

utilisées; néanmoins, pour les très petites déformations d"un solide (élasticité linéaire), les deux descriptions sont indistingables en première approximation. Pour visualiser un écoulement fluide, on a recours auxlignes de courant (anglais : streamlines). Il s"agit des courbes qui, à un instant donné, sont parallèles en tout point au vecteur vitesse. Chacune de ces courbes peut être paramétrée parx= (x(s);y(s);z(s));où dxds=vx;dyds=vy;dzds=vz:(1.9) Pour un écoulement stationnaire, les lignes de courant décrivent la trajectoire d"un paquet fluide.

1.2.2 Dérivée matérielle

Soit une fonctionf(x;t). D"une part, on peut considérer la variation de fdans le temps en un pointxfixé (ex. : sous le pont), auquel cas, on calcule simplement @f(x;t)@t :(1.10) D"autre part, on peut s"intéresser à la variation de cette grandeur àXfixé, càd. en suivant un point matériel ou un 'paquet fluide". Dans ce cas, on est amené à calculer l"évolution def(x(t);t), càd. lim t!0f(x(t+t);t+t)f(x(t);t)t = (vr)f+@f@t ;(1.11) où (vr) =v1@@x

1+v2@@x

2+v3@@x

3=vi@@x

i:(1.12) Nous définissons ainsi ladérivée matériellepar

DfDt=@f@t

+ (vr)f:(1.13) Le premier terme de cette dérivée donne la variation defàxfixé. D"autre part, si l"on dénote pars=v=jvjla direction de la vitesse, le second terme n"est autre que la dérivée directionnelle,jvj@=@sdans le sens de l"écoule- ment. Autrement dit, c"est un terme dû au déplacement du fluide oud"ad- vection. Lorsque nous transposerons la loi de Newton à un milieu continu, nous devrons calculer l"accélération d"un paquet fluide. Celle-ci sera donnée, en coordonnées d"Euler, par la dérivée matérielle de la vitesse.

6CHAPITRE 1. DÉFORMATIONS ET CONTRAINTES

1.3 Déformations (Strain)

Pour généraliserLet`dans (1.1), soient les points voisinsXetX+X. Après déformation, le premier se trouve déplacé enx=X+u(X;t), le second en

X+X+u(X+X;t) =X+u(X;t) +X+ (Xr)u(X;t) +:::

(1.14) À la variationXcorrespondxet la distanceL2=jXj2devient

2=jX+ (Xr)u(X;t)j2(1.15)

Aussi,

2L2= 23X

i;j=1E ijXiXj= 2EijXiXj(1.16) où 3 E ij=12 @ui@X j+@uj@X i+@uk@X i@u k@X j :(1.17) Il s"agit du tenseur des déformations (anglais : strain tensor), utilisé pour dé- crire l"allongement relatif d"un élément solide. Nous reviendrons plus loin sur le sens du mot 'tenseur". Dans le cas des petites déformations, on peut négli- ger les termes quadratiques ci-dessus; de plus, on peut assimilerXàxdans l"argument deu, ce qui donne le tenseur des déformations évanouissantes : e ij=12 @ui@x j+@uj@x i :(1.18) La plupart du temps, s"agissant des solides, nous resterons dans le domaine de l"élasticité linéaire et nous écrironsE= (eij): Pour les fluides, il est plus commode d"utiliser le tenseur desvitesses de déformation(anglais : rate of strain) v ij=12 @vi@x j+@vj@x i :(1.19) Notons que(eij)et(vij)sont tous deux symétriques et ne possèdent donc que 6 composantes indépendantes.

1.4 Contraintes (Stress)

Pour un fluide parfait, on est déjà familier (PHYS-F101) avec la notionquotesdbs_dbs14.pdfusesText_20