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Mathématiques (L3) - Quelques exercices supplémentaires

OPTIMISATION CONTRAINTE

§ 1. - Optimisation contrainte à deux variables . . . . . . . . . . . . 1 § 2. - Optimisation contrainte à trois variables . . . . . . . . . . . . 5

§ 1. -

Optimisation contrainte à deux v ariablesExercice1.1.Onconsidèrelafonctionf(x;y)=x2+y24xysoumiseàlacontraintex2+y2=8.Quels sont les extremums de cette fonctions?

variables soumise à une contrainte donnée sous forme d"égalité. On utilise donc la méthode du

Lagrangien. Posons'(x;y)=x2+y2. Les fonctionsfet'sont des polynômes donc admettent des dérivées partielles continues de tous les ordres sur l"ouvertU=R2. '(x;y)=8 est régulière. Pour cela, on montre que le système suivant n"a pas de solutions : 8 >>>>><>>>>>:@'@x=0 @'@y=0 '(x;y)=8()8 >>>>><>>>>>:2x=0 2y=0 x

2+y2=8()8

>><>>:x=y=0 0=8 La dernière équation est impossible, donc le système n"a pas de solution. Points stationnaires du Lagrangien.On forme le Lagrangien et on détermine les points stationnaires, c"est-à-dire les solutions du système suivant :

8>>>>><>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@ =0()8 >>>>><>>>>>:2x4y2x=0

2y4x2y=0

x

2+y2=8

1 Notons que, d"après les deux premières équations, sixouyest nul, alors ils le sont tous les

deux. Or, d"après la troisième équation,xetyne peuvent pas être nuls en même temps, doncx

etysont nécessairement non nuls. On peut donc diviser parxetyà volonté :

8>>>>><>>>>>:=x2yx

=y2xy x

2+y2=8()8

>>>>><>>>>>:=x2yx x2yx =y2xy x

2+y2=8()8

>>>>><>>>>>:=x2yx xy2y2=xy2x2 x

2+y2=8()8

>>>>><>>>>>:=x2yx x 2=y2 x

2+y2=8

()8 >>>>><>>>>>:=x2yx x 2=y2

2x2=8()8

>><>>:=x2yx x

2=y2=4()8

>>>>><>>>>>:x=2 y=2 =x2yx On trouve donc les quatre points stationnaires suivants : le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=1; le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;2) auquel correspond=1. Nature des points stationnaires.Pour chacun des points stationnaires précédents, puisque les fonctions admettent des dérivées partielles d"ordre deux continues, on peut déterminer leur nature en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents. L"espace tangent à la courbe de contrainte'(x;y)=8 en (x;y)=(x;y) est l"espace vecto- rielTdonné par ()xu+yv=0: La forme quadratique hessienne au point (x;y;) est donnée par =(22)u28uv+(22)v2 Nature du point(x;y)=(2;2). Pour ce point, on a=1, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=4u28uv+4v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=4u2+8u2+4u2=16u2>0;

donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(2;2). Ici (ce n"est pas le cas en général), le calcul est le même que dans le cas précédent, donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(2;2). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=4u28uv4v2: 2 Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=4u28u24u2=16u2<0;

donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un maximum. Nature du point(x;y)=(2;2). Ici (ce n"est pas le cas en général), le calcul est le même que

dans le cas précédent, donc le point (x;y)=(2;2) correspond à un minimum.Exercice 1.2.On considère la fonctionf(x;y)=x3+y3soumise à la contraintex2+y2=4.Quels sont les extremums de cette fonctions?

variables soumise à une contrainte donnée sous forme d"égalité. On utilise donc la méthode du

Lagrangien. Posons'(x;y)=x2+y2. Les fonctionsfet'sont des polynômes donc admettent des dérivées partielles continues de tous les ordres sur l"ouvertU=R2. '(x;y)=4 est régulière. Pour cela, on montre que le système suivant n"a pas de solutions :

8>>>>><>>>>>:@'@x=0

@'@y=0 '(x;y)=4()8 >>>>><>>>>>:2x=0 2y=0 x

2+y2=4()8

>><>>:x=y=0 0=8 La dernière équation est impossible, donc le système n"a pas de solution. Points stationnaires du Lagrangien.On forme le Lagrangien

L(x;y;)=f(x;y)('(x;y)B)=x3+y3(x2+y24);

et on détermine les points stationnaires, c"est-à-dire les solutions du système suivant :

8>>>>><>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@ =0()8 >>>>><>>>>>:3x22x=0

3y22y=0

x

2+y2=4

Distinguons trois cas.

-premier cas:x=0; alors la troisième équation fournity2=4 et doncy=2; la deuxième équation fournit alors=32 y=3. -deuxi`eme cas:y=0; alors la troisième équation fournitx2=4 et doncx=2; la deuxième équation fournit alors=32 x=3. -troisi`eme cas:x,0 ety,0; alors la première équation se récrit 3x=2et la deuxième

3y=2; par suite, 3x=3yet doncx=y; la troisième équation fournit alors 2x2=4

c"est-à-direx2=2 c"est-à-direx=p2. On a doncx=y=p2 et=32 x=32 p2. On trouve donc les six points stationnaires suivants : le point ( x;y)=(0;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(0;2) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;0) auquel correspond=3; le point ( x;y)=(2;0) auquel correspond=3; 3 -le point ( x;y)=(p2;p2) auquel correspond=32 p2; le point ( x;y)=(p2;p2) auquel correspond=32 p2. Nature des points stationnaires.Pour chacun des points stationnaires précédents, puisque les fonctions admettent des dérivées partielles d"ordre deux continues, on peut déterminer leur nature en examinant le signe de la forme quadratique hessienne sur les espaces tangents. L"espace tangent à la courbe de contrainte'(x;y)=4 en (x;y)=(x;y) est l"espace vecto- rielTdonné par ()xu+yv=0: La forme quadratique hessienne au point (x;y;) est donnée par =(6x2)u2+(6y2)v2: Nature du point(x;y)=(0;2). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()v=0 etQ(u;v)=6u2+6v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;0)=6u2<0;

donc le point (x;y)=(0;2) correspond à un maximum. Nature du point(x;y)=(0;2). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()v=0 etQ(u;v)=6u26v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;0)=6u2>0;

donc le point (x;y)=(0;2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(2;0). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()u=0 etQ(u;v)=6u26v2: Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()v,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(0;v)=6v2<0;

donc le point (x;y)=(2;0) correspond à un maximum. Nature du point(x;y)=(2;0). Pour ce point, on a=3, (u;v)2T()u=0 etQ(u;v)=6u2+6v2: 4 Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()v,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(0;v)=6v2>0;

donc le point (x;y)=(2;0) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(p2;p2). Pour ce point, on a=32 p2, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=3p2(u2+v2): Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=6p2u2>0;

donc le point (x;y)=(p2;p2) correspond à un minimum. Nature du point(x;y)=(p2;p2). Pour ce point, on a=32 p2, (u;v)2T()v=uetQ(u;v)=3p2(u2+v2): Soit (u;v)2T, on a (u;v),(0;0)()u,0 et, sous cette condition,

Q(u;v)=Q(u;u)=6p2u2>0;

donc le point (x;y)=(p2;p2) correspond à un maximum.

§ 2. -

Optimisation contrainte à tr oisv ariablesExercice 2.1.Trouver les extremums de la fonctionf(x;y;z)=(x2)2+y2+z2soumise à lacontraintex2+2y2+3z2=1.Corrigé de l"exercice 2.1.Posons'(x;y;z)=x2+2y2+3z2.

Première étape :les fonctionsfet'sontC2sur un certain ouvertUR3. Puisquefet'sont des polynômes, ils sontC1surU=R3.

Deuxième étape :la surface de contrainte est régulière. Pour cela, on montre que le système

suivant n"a pas de solutions :

8>>>>>>>><>>>>>>>>:@'@x=0

@'@y=0 @'@z=0 '(x;y;z)=1()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:2x=0 4y=0 6z=0 x

2+2y2+3z2=1()8

>><>>:x=y=z=0 0=1 Le système n"a donc pas de solutions donc la surface de contrainte est régulière. Troisième étape :points stationnaires du lagrangien. Formons le lagrangien : 5

Déterminons les points stationnaires :

8>>>>>>>><>>>>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@z=0 @L@ =0()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:2(x2)2x=0

2y4y=0

2z6z=0

(x2+2y2+3z21)=0()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:x(1)=2 y(12)=0 z(13)=0 x

2+2y2+3z2=1

D"après la première équation, on ax,0 et,1. Montrons que,12 et,13 . Si=12 , on a qui est absurde. De même, si=13 , on ax=3 et donc troisième équation devient 2y2+3z2=8 ce qui est absurde. Par suite, puisque,12 et,13 , les deuxièmes et troisièmes équations fournissenty=z=0 et doncx2=1 d"oùx=1. D"après la première équation, on a=12x donc six=1, on a=1 et six=1, on a=3.

Il y a donc deux points stationnaires :

le point ( x;y;z)=(1;0;0) correspondant à=1; le point ( x;y;z)=(1;0;0) correspondant à=3. Quatrième étape :nature des points stationnaires. Puisquefet'sontC2, on utilise les condi- tions du second ordre. La forme quadratique hessienne est =2(1)u2+2(12)v2+2(13)w2: Lorsque=1, on aQ(u;v;w)=4u2+6v2+8w2donc, dès que (u;v;w),(0;0;0),Q(u;v;w)>

0. Sans même calculer l"équation de l"espace tangent, on peut donc dire que dans ce cas on est

en présence d"un minimum au point (1;0;0). De même, lorsque=3, on aQ(u;v;w)=4u210v216w2donc, dès que (u;v;w), (0;0;0),Q(u;v;w)<0. Sans même calculer l"équation de l"espace tangent, on peut donc dire

que dans ce cas on est en présence d"un maximum au point (1;0;0).Exercice 2.2.Optimiser la fonction définie parf(x;y;z)=13

x3+y+z2sous les contraintesx+y+z=0 etx+yz=0.Corrigé de l"exercice 2.2.Posons'(x;y;z)=x+y+zet (x;y;z)=x+yz.

Première étape :les fonctionsf,'et sontC2sur un certain ouvertUR3. Puisquef,'et sont des polynômes, elles sontC1surU=R3.

Deuxième étape :la courbe de contrainte est régulière. On doit montrer que les deux systèmes

suivants n"ont pas de solutions :8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:@'@x=0 @'@y=0 @'@z=0 '(x;y;z)=0 (x;y;z)=0et8 >>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:@ @x=0 @ @y=0 @ @z=0 '(x;y;z)=0 (x;y;z)=0 6

Puisque

@'@x=1 et@ @x=1, les deux premières équations de ces deux systèmes sont impossibles donclacourbe'(x;y;z)= (x;y;z)=0estrégulière(cettecourbeestenfaitladroited"équation z=0 ety=x, donc est régulière en tant que droite). Troisième étape :points stationnaires du lagrangien. On définit le lagrangien :

L(x;y;z;;)=f(x;y;z)'(x;y;z) (x;y;z)

13 x3+y+z2(x+y+z)(x+yz):

Trouvons les points stationnaires :

8>>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:@L@x=0

@L@y=0 @L@z=0 @L@ =0 @L@ =0()8 >>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:x 2=0 1=0 2z+=0 (x+y+z)=0 (x+yz)=0()8 >>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:+=x2 +=1 =2z x+y=z x+y=z()8 >>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>>:x 2=1 +=1 =0 z=0 y=x()8 >>>>>>>><>>>>>>>>:x=1 y=x z=0 ==12 On trouve donc deux points stationnaires pour lesquels on a==12 le point ( x;y;z)=(1;1;0); le point ( x;y;z)=(1;1;0). Quatrième étape :nature des points stationnaires. Puisque les fonctionsf,'et sontC2, on peut utiliser les conditions du second ordre pour déterminer la nature des points stationnaires.

La forme quadratique hessienne est

=2xu2: On n"a pasQ(u;v;w)>0 pour tout (u;v;w),(0;0;0) ouQ(u;v;w)<0 pour tout (u;v;w), (0;0;0), donc on doit déterminer les équations des espaces tangents. L"espace tangentTà la courbe de contrainte'(x;y;z)= (x;y;z)=0 est donné par (u;v;w)2T()8 @ @x(x;y;z)u+@ @y(x;y;z)v+@ @z(x;y;z)w=0 ()8 >><>>:u+v+w=0 u+vw=0()8 >><>>:w=0 v=u En particulier, l"espace tangent est indépendant du point considéré. Soit (u;v;w)2T. On a (u;v;w),(0;0;0)()(u;u;0),(0;0;0)()u,0 et, dans ce cas, lorsque (x;y;z)=(1;1;0)

Q(u;v;w)=Q(u;u;0)=2u2>0;

7 donc le point correspond à un minimum; lorsque (x;y;z)=(1;1;0), on a, toujours quand u,0,

Q(u;v;w)=Q(u;u;0)=2u2<0;

donc le point correspond à un maximum. 8quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12