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L1 Eco - Analyse 2
Cours d'optimisation
T. DUMONT, C. L
EONARD, X. MARY, H. MOHAMED
Contents
1 Semaine 1 : Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1 Points et vecteurs deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2
1.1.1 Premiere denition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.1.2 Operations sur les points et les vecteurs . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2 Vecteurs : Norme et Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.1 La norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
1.2.2 Le produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
1.3 Domaines deR2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3
2 Semaine 2 : Fonctions de 2 variables relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.1 Fonctions 2 variables relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2 Derivees partielles et vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3 Derivees partielles du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
3 Semaine 3 : Developpement de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
4 Semaine 4 : Optimisation de fonctions d'une variable reelle . . . . . . . . . . .
10
4.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
4.2 Application a l'optimisation sous contrainte d'une fonction de deux vari-
able : Methode de substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.3 Convexite et caractrisation des extremums . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
5 Semaine 5 : Optimisation libre des fonctions de deux variables . . . . . . . . .
14
5.1 Condition du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
5.2 Conditions du second ordre et convexite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
6 Semaine 6 : Optimisation sous contrainte d'egalite : la methode du Lagrangien
20
6.1 Condition necessaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
6.2 Caracterisation faible des extremums locaux sous contrainte - Condition
susante du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.3 Extremums globaux sous contrainte d'egalite . . . . . . . . . . . . . . . .
24
6.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
7 Semaine 7 : Methode du Lagrangien : La bonne condition susante du second
ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Universite Paris Ouest - Nanterre - La Defense
1 2
1. Semaine 1 : Geometrie
1.1. Points et vecteurs deR2
1.1.1. Premiere denition
R
2=f(x;y)jx2Ry2Rg
ExempleP= (2;3) est un point deR2.
l'ensemble de pointsR2est un espace ane avec comme origineO= (0;0).
ExempleP= (2;3) est un point deR2.
Pour chaque paire de points (P;Q) deR2, (P= (xP;yP)Q= (xQ;yQ)) on peut denir le vecteur!PQ= (xQxP;yQyP) (exemple)
SiQ=P,PPest le vecteur nul~0 = (0;0).
Attention : points et vecteurs sont denis par des coordonnees (x;y) cependant, durant ce cours nous ferons la distinction entre les deux! (exemples graphiques)
1.1.2. Operations sur les points et les vecteurs
- Combinaison lineaire de vecteurs. Soientn2N,~u1= (x1;y1);:::;~un= (xn;yn) des vecteurs deR2et1;:::;ndes scalaires (i2R). Alors1~u1+2~u2+:::+n~un est un vecteur deR2de coordonnees (1x1+:::+nxn;1y1+:::+nyn). Exemples. - Addition d'un point et d'un vecteur. SiP= (xP;yP) et~u= (x~u;y~u),Q=P+~u est un POINT deR2de coordonnees (xP+x~u;yP+y~u). Exemples. - Addition de POINTS ensemble possible mais on s'interdira de le faire.
1.2. Vecteurs : Norme et Produit scalaire
1.2.1. La norme
- Theoreme de Pythagore (+demonstration). - Denition : Norme (longueur) d'un vecteur.
Propriete 1.1.Soient~u;~vvecteurs deR2et2R
1.~u=~0si et seulement sijj~ujj= 0.
2.jj~ujj=jj jj~ujj.
3. In egalitet riangulaire.jj~u+~vjj jjujj+jjvjj(sans preuve) - Denition : vecteurs colineaires. Soient~u;~vvecteurs deR2avec~v6=~0.~uet~vsont colineaires s'il existe2Rtel que~u=~v. (Remarque:~upeut ^etre le vecteur nul.)
Propriete 1.2.Soient~u;~vvecteurs deR2et2R
Mathematiques 2 : Optimisation3
1.
L eve cteurnul est c olineaire atout ve cteur.
2. Si ~u=~vavec0,~uet~vsont colineaires dans le m^eme sens et (cas degalite de l'inegalite triangulaire)jj~u+~vjj=jj~ujj+jj~vjj 3. Si ~u=~vavec0,~uet~vsont colineaires de sens oppose etjj~u+~vjj= j jj~ujj jj~vjj j.
1.2.2. Le produit scalaire
- DansRle produit scalaire de deux reelsuetvest le produit classiqueuv. Il apparait dans l'identite remarquable: (u+v)2=u2+v2+ 2uv - De la m^eme maniere on cherche a denir un produit scalaire dansR2a partir de l'identitejj~u+~vjj2=jj~ujj2+jj~vjj2+2~u~v. Comment denir le produit~u~vpour qu'une telle identite s'applique? Denition 1.1.Soient~u;~vvecteurs deR2(~u= (x~u;y~u)et~v= (x~v;y~v)). On deni le produit scalaire~u~vpar ~u~v=x~ux~v+y~uy~v:
Propriete 1.3.Soient~u;~v; ~wvecteurs deR2et;2R
1.jj~ujj2=~u~u
2. (sym etrie)~u~v=~v~u 3. (bilin eairite)~u(~v+~w) =~u~v+~u~w Proposition 1.2(Orthogonalite et reciproque de Pythagore).Soient~u;~vvecteurs de R 2 ~u?~v,~u~v= 0
De plus
jj~u+~vjj2=jj~ujj2+jj~vjj2,~u~v= 0 - Application : equation de la tangente pour les graphs de fonctions d'une variable.
1.3. Domaines deR2
- Domaines denis par une equation - Cas particulier graphe d'une fonction - Les cercles. (exemples) - Domaines denis par une inequation (exemples) - Domaines denis comme intersection ou reunion d'autres domaines. - Complementaire d'un domaine. 4
2. Semaine 2 : Fonctions de 2 variables relles
2.1. Fonctions 2 variables relles
- Fonction reelle de deux variables reellesf: (x;y)7!f(x;y)2R. - Domaine de denitionDf=(x;y)2R2jf(x;y) "est bien deni". - Exemples : Don- ner et representer les domaines de denition (Df) des fonctions suivantes f(x;y) =xy f(x;y) = ln(x+y) f(x;y) = ln(xy) - Representation 3D (cf. pdf) - Courbes de niveau : La courbe de niveaud'une fonctionfest deni par l'ensemble des points (x;y) appartenant a l'ensemble de denition def(Df) veriantf(x;y) =.
On la noteC.
C =f(x;y)2 Dfjf(x;y) =g: Exemples : Dessiner les courbes de niveauCpour les fonctions et niveaux suivants : f(x;y) =yx
2, niveaux=1 et= 2
f(x;y) =xy, niveau= 0 et= 1 f(x;y) =xln(xy), niveau= 0 et= 1 - Ensembles de niveaux : exemples - Continuite d'une fonction de deux variables : Denition 2.1.Soitfune fonction denie surDfet(x0;y0)2 Df. fest continue en(x0;y0)si lim (x;y)!(x0;y0)jf(x;y)f(x0;y0)j= 0 c'est a dire, si quelque soit >0aussi petit qu'on veut, il existe un rayonr >0 tel que : si un point(x;y)deDfest dans le disque de rayonret de centre(x0;y0) alorsf(x0;y0) < f(x;y)< f(x0;y0) +. fest continue sur un domaineD Dfsifcontinue en tout point deD.
2.2. Derivees partielles et vecteur gradient
Fonctions partielles :
Denition 2.2.Soitfune fonction de deux variables denie sur un domaine D fR2. Soit(x0;y0)un point deDf. On peut denir deux fonctions d'une vari- able, appeles fonctions partielles obtenues en "xant" l'une des deux variables:
Mathematiques 2 : Optimisation5
f x:x7!f(x;y0) f y:y7!f(x0;y) f xetfysont donc des fonctions d'UNE variable denies respectivement surDx= fx2Rj(x;y0)2 DfgetDy=fy2Rj(x0;y)2 Dfg.
Exemples : donner les fonctions partielles :
{f(x;y) =xy3en (x0;y0) = (2;3) {f(x;y) =p1x2y2en (x0;y0) = (1=2;1)
Derivees partielles
Denition 2.3.
{ La derivee partielle de la fonctionfpar rapport axen (x0;y0)est la derivee de la fonction partielle : x7!f(x;y0);enx0:
Elle est notee
@@x f(x0;y0)ou@f@x (x0;y0)(comprendre "Derivee defpar rapport axen(x0;y0)"). @@x f(x0;y0)existe si la fonction partielle x7!f(x;y0) est derivable enx0. {La derivee partielle de la fonctionfpar rapport ayen(x0;y0)est la derivee de la fonction partielle : y7!f(x0;y);eny0:
Elle est notee
@@y f(x0;y0)ou@f@y (x0;y0)(comprendre "Derivee defpar rapport ayen(x0;y0)").@@y f(x0;y0)existe si la fonction partielle y7!f(x0;y) est derivable eny0.
Exemples : Calculer les derivees partielles@@x
f(x0;y0) et@@y f(x0;y0) des fonctions et pour les points suivants : f(x;y) =x(y1) (x0;y0) = (0;0) f(x;y) =xexp(xy) (x0;y0) = (1;0) f(x;y) = lnxy (x0;y0) = (1;1) f(x;y) =p1x2y2(x0;y0) = (0;0) 6quotesdbs_dbs6.pdfusesText_11
[PDF] OPTIMISATION CONTRAINTE