Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012 PDF Corrige_Metropole_sept

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Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 EXERCICE 1 4 points

Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012

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?Corrigé du baccalauréat S Métropole 13 septembre 2012?

EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

1.D"après le tableau de variationsfest croissante puis décroissante, donc :

f?(x)>0 sur ]-∞;a[;

f?(x)<0 sur ]a;+∞[;

f?(a)=0.

2. a.Seuls les points deC2ont des ordonnées positives puis négatives, donc seuleC2peut être la

courbe représentative def?. DoncC1est la courbe représentative d"une primitiveFdef. b.C2coupe l"axe des abscisses au point d"abscissea; d"après la figure 10.

3. a.Sig(x)=αx+β, alorsg?(x)=α.

On a donc :

g(x)-2g?(x)=x??αx+β-2α=x. Cette égalité est vraie quel que soit le réelx. En particulier pourx=0, on aβ-2α=0??β=2α.

Pourx=1, on aα+β-2α=1??α=1.

Finalementα=1 etβ=2α=2.

La fonctiongdéfinie surRparg(x)=x+2 vérifie l"équation différentielle. b.La dérivée de la fonctionf-gest la fonctionf?-g?et f ?(x)-g?(x)=1 La fonctionf-gest donc une solution de l"équation différentielley?=1 2y.

c.On sait que les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions définies par

x?-→ke1

2x, aveck?Rquelconque.

On a doncf(x)-g(x)=ke1

2x??f(x)=ke12x+g(x)=ke12x+x+2.

d.On af?(x)=k×1 2e1 2x+1.

On sait quef?(0)=1

2??k×12e1

2×0+1=12??k2+1=12??k2=-12??k=-1.

On a donc pour tout réelx,f(x)=x+2-e1

2x. Une primitive de la fonctionx?-→xest la fonctionx?-→x2 2; Une primitive de la fonctionx?-→2 est la fonctionx?-→2x;

Une primitive de la fonctionx?-→-e1

2xest la fonctionx?-→-2e12x;

On a doncF(x)=x2

2+2x-2e1

2x+CsurR.

CommeF(0)=-2?? -2+C=-2??C=0, on a finalement

F(x)=x2

2+2x-2e1

2xsurR.

Maximum def:f?(x)=0??1-1

2e1

2x=0??e12x=2??12x=ln2 (par croissance de la

fonction logarithme népérien)??x=2ln2. Donca=2ln2.

Le maximum est donc égal àf(2ln2)=2ln2+2-1

2e1

2×2ln2=2ln2+2-12eln2. Doncb=2ln2.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

AB OC 2 C

1-→

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

Les questions1et2sont indépendantes

1. a.On peut dresser l"arbre suivant :

R 1 4 6R 2 4 6 N 2 2 6 N 1 2 6R 2 4 5 N 2 1 5

On ap(R1∩R2)=p(R1)×pR1(R2)=4

6×46=49.

b.pN2=pR1(N2)+pN1(N2)=4

6×26+26×15=29+115=10+345=1345.

On apN2(R1)=p(N2∩R1)

p(N2)=p(R1∩N2)p(N2)=4

6×26

13 45=2
9 13

45=29×4513=1013.

2. a.La probabilité detirer une boule rouge,sachant qu"il y a4 rouges etnnoirespour un total den+4

boules est égale à :p=4 n+4. b.La probabilité de tirer quatre boules rouges est égale à?4 n+4? 4 , donc l"évènement contraire, soit l"une au moins des boules est noire, a une probabilité deqn=1-?4 n+4? 4 c.On aqn?0,9999??1-?4 n+4? 4 ?0,9999??0,0001??4n+4? 4 ??0,1?4n+4??

0,1(n+4)?4??0,1n+0,4?4??0,1n?3,6??n?36.

On a doncq36=0,9999.

Métropole213 septembre 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

1.fest dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur cet intervalle :

f ?(x)=1 2?

1-7x2?

=12x2?x2-7?qui est du signe dex2-7.

Doncf?(x)=0??x2-7=0???x-?

7??x+?7?=0??x=?7 oux=?7.

Il y a donc une solution dans l"intervalle ]0 ;+∞[ :? 7. Le trinômex2-7 est positif sauf entre ses racines donc ici sur?0 ;? 7?.

Conclusion :fest décroissante sur?0 ;?

7?puis croissante sur??7 ;+∞?; doncf??7?est le mini-

mum defsur ]0 ;+∞[. f

7?=12?

?7+7?7? =12??7+?7?=?7. Par définition du minimum, on a donc pour tout entier natureln,un??

7 y comprisu0=3, car 32>7.

2. a.un+1-un=1

2? u n+7un? -un=12?

7un-un?

=12?

7-u2nun?

Comme 1

2>0,un>0 et queun??7?u2n?7?u2n-7?0?7-u2n?0, on en conclut que

u n+1-un?0

Donc la suite

(un)est décroissante. b.La suite(un)étant décroissante et minorée par?

7 est donc convergente vers une limite supé-

rieure ou égale à? 7. c.?=1 2? ?+7?? ??2?=?+7????=7????2=7???=?7 (puisque la limite est positive).

3.un+1-?

7=12? u n+7un? -?7=12? u n+7un-2?7? =12? u2n+7-2un? 7 un? 12? un-? 7?2 un. (identité remarquable)

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EXERCICE15 points

Commun à tous lescandidats

1.D"après le tableau de variationsfest croissante puis décroissante, donc :

f?(x)>0 sur ]-∞;a[;

f?(x)<0 sur ]a;+∞[;

f?(a)=0.

2. a.Seuls les points deC2ont des ordonnées positives puis négatives, donc seuleC2peut être la

3. a.Sig(x)=αx+β, alorsg?(x)=α.

On a donc :

Pourx=1, on aα+β-2α=1??α=1.

Finalementα=1 etβ=2α=2.

2x, aveck?Rquelconque.

On a doncf(x)-g(x)=ke1

2x??f(x)=ke12x+g(x)=ke12x+x+2.

On sait quef?(0)=1

2??k×12e1

2×0+1=12??k2+1=12??k2=-12??k=-1.

On a donc pour tout réelx,f(x)=x+2-e1

Une primitive de la fonctionx?-→-e1

2xest la fonctionx?-→-2e12x;

On a doncF(x)=x2

2+2x-2e1

2x+CsurR.

CommeF(0)=-2?? -2+C=-2??C=0, on a finalement

F(x)=x2

2+2x-2e1

2xsurR.

Maximum def:f?(x)=0??1-1

2x=0??e12x=2??12x=ln2 (par croissance de la

Le maximum est donc égal àf(2ln2)=2ln2+2-1

2×2ln2=2ln2+2-12eln2. Doncb=2ln2.

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1-→

EXERCICE25 points

Commun à tous lescandidats

Les questions1et2sont indépendantes

1. a.On peut dresser l"arbre suivant :

On ap(R1∩R2)=p(R1)×pR1(R2)=4

6×46=49.

6×26+26×15=29+115=10+345=1345.

On apN2(R1)=p(N2∩R1)

6×26

45=29×4513=1013.

2. a.La probabilité detirer une boule rouge,sachant qu"il y a4 rouges etnnoirespour un total den+4

0,1(n+4)?4??0,1n+0,4?4??0,1n?3,6??n?36.

On a doncq36=0,9999.

Métropole213 septembre 2012

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

EXERCICE35 points

Commun à tous lescandidats

1.fest dérivable sur ]0 ;+∞[ et sur cet intervalle :

1-7x2?

Doncf?(x)=0??x2-7=0???x-?

7??x+?7?=0??x=?7 oux=?7.

Conclusion :fest décroissante sur?0 ;?

7?puis croissante sur??7 ;+∞?; doncf??7?est le mini-

7?=12?

7 y comprisu0=3, car 32>7.

2. a.un+1-un=1

7un-un?

7-u2nun?

2>0,un>0 et queun??7?u2n?7?u2n-7?0?7-u2n?0, on en conclut que

Donc la suite

7 est donc convergente vers une limite supé-

3.un+1-?

4. a.Initialisation:u0-?

7=3-?7≈0,35 etd0=1.

On a bienu0-?

Hérédité:

7, doncun>1 ou encore1un<1 (2).

Supposons qu"il existe un naturelntel queun-?

On a démontré à la question 3 que :

f?(x)>0 sur ]-∞;a[;

f?(x)<0 sur ]a;+∞[;

f?(a)=0.