s le graphique, la courbe représentative C ′ de la fonction f′ est en dessous de l'axe des
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Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012
Corrigé du baccalauréat S Métropole–La Réunion 21 juin 2012 EXERCICE 1 4 points
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12MASCOME1
Obligatoire
1.D"après le graphique, la courbe représentativeC?de la fonctionf?est en dessous de l"axe des abscisses sur l"intervalle
[-3;-1], par suite pour toutxde l"intervalle[-3;-1],f?(x)?0. L"affirmation estvraie.2.D"après le graphique, pour toutx?[-1;2]on af?(x)?0, ainsi la fonctionfest croissante sur cette intervalle.
L"affirmation estvraie.
3.D"après la question précédente,fest strictement croissante sur l"intervalle[-1;0], or d"après l"énoncéf(0) =-1, par
suitef(-1)< f(0). L"affirmation estfausse.4.Une équation de la tangente àCau point d"abscisse 0 esty=f?(0)x+f(0). Or,f?(0) = 1etf(0) =-1, ainsi cette
équation esty=x-1et le point de coordonnées(1;0)appartient bien à cette droite. L"affirmation estvraie.
1. a) ?D 0,4?E 1 0,7? E2 0,25E20,75
E10,3 D0,6 b)On aP(E1) =P(E1∩D) =PD(E1)×P(D) = 0,7×0,4 = 0,28.?????? ?????c)F=E2. Par ailleurs,P(E2) =P(E2∩E1) =PE1(E2)×P(E1) = 0,25×0,28 = 0,07. Par suite,P(E2) = 0,93.????? ?????
2. a)L"expérience qui consiste pour une de ces personnes à savoir si elle est recrutée ou non est une épreuve de Bernoulli de
paramètrep= 0,07dont le succès est "la personne est recrutée». En répétant 5 fois de manière indépendantes cette
expérience, on obtient un schéma de Bernoulli. La variable aléatoireXqui compte ne nombre de succès de ce schéma
de Bernoulli suit la loi binomiale de paramètresn= 5etp= 0,07. b)P(X= 5) =Ç25å0,072×0,933?0,039à10-3près.?????? ?????
3.Il s"agit de determiner le nombre minimum de dossiers que le cabinet doit traiter pour que la probabilité de ne recruter
aucun candidat soit inférieur à0,001. La probabilité de ne par recruter un candidat étant de0,93, s"agissant de la
répétition d"expériences indentiques et indépendantes, il faut trouvernpour que0,93n?10-3.
Or,0,93n?10-3?nln0,93?-3ln10?n?-3ln10
ln0,93carln0,93<0. Mais,-3ln10ln0,93?95,2. Il au moins traiter 96 dossiers.Partie A
1.limx→+∞1
x+ 1= 0, en posantX=xx+ 1, on alimx→+∞X= limx→+∞xx= 1, or la fonctionlnétant continue en1, on a
lim X→1lnX= ln1 = 0. Par compositionlimx→+∞lnÅx x+ 1ã = 0. Par somme,limx→+∞f(x) = 0.2.x+ 1?= 0etx
x+ 1>0pourx?[1;+∞[, par composée et somme de fonction dériavables,fest dérivable sur[1;+∞[et
f ?(x) =-1 (x+ 1)2+u?(x)u(x)avecu(x) =xx+ 1etu?(x) =1(x+ 1)-x×1(x+ 1)2=1(x+ 1)2, par suitef?(x) =-1(x+ 1)2+ 1 (x+1)2 x x+1=-1(x+ 1)2+1x(x+ 1)=-x+x+ 1x(x+ 1)2=1x(x+ 1)2. Ainsi, pourx?[1;+∞[,f?(x)>0et la fonctionfest strictement croissante sur[1;+∞[. x1 +∞ 0 f(x) 1 2-ln2Page 1 / 4
12MASCOME1
3.Puisque1
2-ln2<0, et le tableau de variation de la fonctionf,fest négative sur[1;+∞[.
Partie B
1.On trouve1 +1
2+13=116.
2.Variables :ietnsont des entiers naturels
uest un réel Entrée : Demander à l"utilisateur la valeur denInitialisation : Affecter àula valeur0
Traintement : Pourivariant de 1 àn
Affecter àula valeuru+1iSortie : Afficheru-lnn
3.La suite(un)semble décroissante et convergente vers un réel proche de0,577.
Partie C
1.Pourn?N?,
u n+1-un= 1 +12+13+...+1n+ 1-ln(n+ 1)-1-12-13-...-1n+ lnn=1n+ 1+ lnnn+ 1=f(n).
D"après la question3.de la partie A, on en déduit queun+1-un<0pour tout entier naturelnet la suite(un)est
strictement décroissante.2. a)Pourx?[k;k+ 1],
on ak?x?k+ 1, la fonction inverse étant décroissante sur]0;+∞[, on a1 k+ 1?1x?1k, d"où1k-1x?0, en passant à l"intégrale dans l"inégalité, on obtient k+1 kÅ 1 k-1xã dx?0.Or, par linéarité de l"intégrale,
k+1 kÅ 1 k-1xã dx=? k+1 k1kdx-? k+1 k1xdx=1k-? k+1 k1xdx. Par suite,1k? k+1 k1 xdx. Or, k+1 k1 xdx= [lnx]k+1 k= ln(k+ 1)-lnk, ainsiln(k+ 1)-lnk?1k. b)ln2-ln1?1 ln3-ln2?1 2... ln(n+ 1)-lnn?1nEn ajoutant membres à membres les inégalités, on obtient :ln2-ln1 + ln3-ln2 +...+ ln(n+ 1)-lnn?1 +1
2+13+...+1n, c"est-à-direln(n+ 1)?1 +12+13+...+1n.
c)Pourn?N?, d"après la question précédente : 1+ 12+13+...+1n-lnn?ln(n+1)-lnn, d"oùun?lnÅn+ 1nã
. Or, pourn?1,n+ 1n>1, par suitelnÅn+ 1nã >0. d"oùun?0.3.(un)étant une suite décroissante et minorée par0, elle converge.
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12MASCOME1
Obligatoire
1. a)O#»u#»
v DD1 C ?C1? A1? B1 U b)zA?=1zA+ 1=1-12+ 1= 2, z B?=1 -12+i+ 1=1 1 2+i=1 2-i 14+ 1=45Å
12-iã
=25-45i. z C?=1 -12-12i+ 1=1 2+12i 14+14= 2Å12+12iã
= 1 +i. c)z# »A?B?=zB?-zA?=25-45i-2 =85-45i etz# »A?C?=zC?-zA?= 1 +i-2 =-1 +i. En observant, leurs affixes, il est
clair que les vecteurs# »A?B?et# »A?C?ne sont pas colinéaires et que les pointsA?,B?etC?ne sont pas alignés.
2. a)gest une translation de vecteur#»ud"affixe1.
b)Voir la figure. c)D1étant l"image de la droiteDd"équationx=-12, par la translationgainsiD1est la droite d"équationx=12, c"est
donc la médiatrice du segment[OU]oùUest le point d"affixe1.Ainsi,M?D1?UM=OM? |z-1|=|z|.
3. a)A1=g(A)eth(A1) =h◦g(A) =f(A) =A?, de même pourh(B1) =B?eth(C1) =C?.
b)Pourz?C?,????1 z-1???? = 1?????1-zz???? = 1?|1-z||z|= 1? |1-z|=|z| ? |z-1|=|z|car|1-z|=| -(z-1)|=|z-1|. c)SoitM(z)?D1, on a|z-1|=|z|, donc d"après la question précédente????1 z-1???? = 1, par suite|h(z)-1|= 1, ainsi h(z)appartient au cercleCde centreU(1)et de rayon1.4.Puisqueg(D) =D1d"après la question2.b),h◦g(D) =h(D1) =Cd"après la question précédente, d"oùf(D) =C\{O}.
L"image de la droiteCparfest le cercleCprivé deO.Page 3 / 4
12MASCOME1
Spécialité
1.Dans le repère(O;#»u,#»v), on aA(-1;1),B(0;2)etC(1;3), de plus-1+2 = 1,0+2 = 2et1+2 = 3, ainsi les pointsA,
BetCappartiennent à la droiteDd"équationy=x+ 2.O#»u#»
v D D1C A? B? C A 1? B 1 A?B??C??V
2.(1 +i)z+ 3-i= 0?(1 +i)z=-3 +i?z=-3 +i1 +i=(-3 +i)(1-i)2=-4-2i2=-2-i. D"oùS={-2-i}.
De plus,-2 + 2 = 0?=-1, ainsi le point d"affixe-2-i n"appartient par à la droiteD.3. a)gest de la formez?→az+boùaetbsont des nombres complexes avecanon nul,gest alors une similitude directe
de rapportk=|1 +i|=⎷2et d"angleθ= arg(1 +i) =π4[2π].
Le centreΩd"affixeωvérifieh(Ω) = Ω?(1 +i)ω+ 3-i=ω?iω=-3 +i?ω=-3 +i i= 1 + 3i. AinsiΩ =C. b)zA1= (1 +i)(-1 +i) + 3-i=-2 + 3-i= 1-i. zB1= (1 +i)×2i+ 3-i= 1 +i.
z C1=zC= 1 + 3i (vu à la question précédente).c)Par une similitude directe, l"image d"une droite est une droite. D"après la question précédente cette droite passe par les
pointsA1etB1d"affixes respectives1-i et1+i de même partie réelle égale à1, il s"agit donc de la droite d"équation
x= 1.4. a)SoitA?=h(A1),B?=h(B1)etC?=h(C1).
On azA?=1
1-i=1 +i2=12+12i,zB?=11 +i=1-i2=12-12i etzC?=11 + 3i=1-3i10=110-310i.
b)Soitz?C?,????1 z-12???? =12?????2-z2z???? =12?|2-z||2z|=12? |2-z|=|2z|2? |2-z|=2|z|2? |z-2|=|z|car |2-z|=|z-2|.c)D1étant la droite d"équationx= 1, c"est la médiatrice du segment[OU]oùUest le point d"affixe2.