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Sylvain Martel - INF1500 1

INF1500 :

Logique des systèmes numériquesCours 3: Systèmes de numération, addition, soustraction, multiplication, division - Circuits combinatoires plus complexes (MSI)

Sylvain Martel - INF1500 2

Introduction aux systèmes de numération

Dans le système décimal (base 10), les chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9. Dans le système binaire (base 2), les chiffres sont

0 et 1.

Dans le système hexadécimal (base 16), les

chiffres sont : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,

E et F.

Sylvain Martel - INF1500 3

Exemplesb3 b2 b1 b0 = b2

3 + b2 2 + b2 1 + b2 0

1101 = 1x8 + 1x4 + 0x2 + 1x1 = 13

En format Hex: D

1C8A = 0001 1100 1000 1010

Code ASCII (combinaison de 7 1s et/ou 0s)

pour autres symboles (ex. du clavier)

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Conversion

Sylvain Martel - INF1500 5

EXERCICESConvertir en HEX

0001 1100 1111 1000:

1100 1111 0000 0101:

1010 1001 0110 0000:

24 en binaire =

12 en binaire = ____ en HEX = _____

15: en HEX =

F4E en binaire = ____ en Dec. = _____

Sylvain Martel - INF1500 6

Représentation de nombres binaires signésIl y a trois approches communes : signe et grandeur , complément

àun

, et complément à deux

Dans chaque cas, le bit le plus significatif indique le signe dunombre : 0 pour positif et 1 pour négatif.

Pour les nombres positifs, il est donc essentiel de toujours ajouter un '0' en position la plus significative.

Un nombre positif a la même représentation dans chaque système.

Pour changer le signe d'un nombre :

En signe et grandeur, on inverse le bit le plus significatif; En complément à un, on inverse tous les bits; En complément à deux, on inverse tous les bits et on ajoute 1.

Sylvain Martel - INF1500 7----1000-----8100010011111-7100110101110-6101010111101-5101111001100-4110011011011-3110111101010-2111011111001-11111----1000-0

Complément à1(N')

Complément à2 (N*)

Signe et grandeur

Nombres positifs (+N)Nombres négatifs (-N)

Représentation de nombres binaires

signés - Suite

Sylvain Martel - INF1500 8

Exemples (avec 8 bits)

Sylvain Martel - INF1500 9

Avec n bits, la gamme des nombres entiers signés pouvant être représentés est :

Nombres représentables avec un nombre de

bits donné

Sylvain Martel - INF1500 10

EXERCICES45 en compl. 1 et compl. 2

-45 en compl. 2

0011 en compl. 2 =

10011111 en compl. 2 = ?

11000101 en compl. 2 = ?

45 + (-5) = en compl. 2

24 + 5 = en compl. 2

24 - 5 = en compl. 2

Sylvain Martel - INF1500 11

ADDITION1 + 1 = 2; 0001 + 0001 = 0010

XOR et...

Sylvain Martel - INF1500 12

Circuits logiques pour l'addition et la

soustraction - Additionneur à 2 entrées ou demi-additionneur (half-adder) Si on additionne deux bits X et Y, on obtient une retenue C (carry) et une somme S. La table de vérité pour ces deux fonctions est donnée ici :

On obtient facilement les équations

booléennes pour C et S:

C = XY

S = X

Y = X'Y + XY'

Sylvain Martel - INF1500 13

Diagramme de portes logiques

OU-EXCLUSIF

XY C

Sylvain Martel - INF1500 14

Additionneur à trois entrées ou additionneur complet (full adder) Si on additionne trois bits X, Y et Z, on obtient une retenue C

(carry) et une somme S. La table de vérité est donnée ici :À l'aide d'une table de Karnaugh, on obtient les équations

booléennes pour C et S:

C = XY + XZ + YZ

S = X Y Z

Sylvain Martel - INF1500 15

Diagramme de portes logiques

XY R n R n+1 XY XR n YR n S XY

HalfHalf--adderadderHalf

Half--adderadder

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Additionneur à deux nombres avec retenue

déferlante (ripple carry adder)Le principe consiste à reproduire le processus d'addition usuel, ou deux nombres sont additionnés un chiffre à la fois. Pour chaque 'colonne', on additionne en fait trois chiffres : un chiffre de chaque opérande, et la retenue de la colonne précédente. Dans le cas de l'additionneur à retenue déferlante, on c'est la même chose qui se produit. La retenue d'un étage est appliquée à l'une des trois entrées de l'étage suivant. Le premier étage ne recevant pas de retenue d'un étage précédent, on peut utiliser un additionneur à 2 entrées au lieu de 3.

Sylvain Martel - INF1500 17

Additionneur à deux nombres avec retenue

déferlante (ripple carry adder) - Suite On débute avec le bloc additionneur à trois entrées de la section précédente :

Sylvain Martel - INF1500 18

Additionneur à deux nombres avec retenue

déferlante (ripple carry adder) - Suite Pour faire un additionneur de deux nombres de quatre bits, A et B, on utilise quatre additionneurs à trois entrées, connectés comme suit :

La somme S est

exprimée sur 5 bits.

Sylvain Martel - INF1500 19

SOUSTRACTION1 - 1 = 0

OU

1 + (-1) = 0;

0001 + 1111 = 0000

Compl. 2

Sylvain Martel - INF1500 20

Soustracteur à deux nombres

Pour faire une soustraction, il s'agit de changer le signe de l'opérande à soustraire, puis d'additionner. En complément à deux, pour changer le signe d'une opérande il

faut inverser tous les bits et ajouter 1. Un soustracteur peut donc être réalisé à l'aide

de l'additionneur de la section précédente et d'inverseurs.

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Soustraction (A - B ou A + (-B))

AB

Complément de 2

Sylvain Martel - INF1500 22

Pentium

Additionneur

Sylvain Martel - INF1500 23

Additionneur [74x283] - Circuit MSI

74x283

A0 C0 B0 S0 S1 7 4 105
6 A1 B1 3 2 A2 B2 14 15 A3 B3 12 11 S2 S3 9 C4 1 13

Copyright © 2000 by Prentice Hall, Inc.

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Sylvain Martel - INF1500 24

Additionneur 16 bits

X0 X1 X2 X3 S0 S1 S2 S3Y0 Y1 Y2 Y3 X4 X5 X6 X7Y4 Y5 Y6 Y7

74x283

A0 C0 B0 S0 S1 7 4 105
6 A1 B1 3 2 A2 B2 14 15 A3 B3 12 11 5 6 3 2 14 15 12 11 S2 S3 9 C4 1 13

74x283

A0 C0 B0 S0 S1 7 4 10 A1 B1 A2 B2 A3 B3S2 S3 9 C4 1 13 S4 S5 S6 S7

X[15:0]Y[15:0]

C0 C4 U1 U2 X8 X9 X10 X11 S8 S9 S10 S11Y8 Y9 Y10 Y11 X12 X13 X14

X15Y12

Y13 Y14 Y15

74x283

A0 C0 B0 S0 S1 7 4 105
6 A1 B1 3 2 A2 B2 14 15 A3 B3 12 11 5 6 3 2 14 15 12 11 S2 S3 9 C4 1 13

74x283

A0 C0 B0 S0 S1 7 4 10 A1 B1 A2 B2 A3 B3S2 S3 9 C4 1 13 S12 S13 S14 S15 C12U3 U4 C8 C16

S[15:0]

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MULTIPLICATION/DIVISION2 x 2 = 4

0010 x 0010 = 0100

2 x 4 = 8 = 1000

8 / 4 = 2; 1000 -> 0010

Muliplication: shift gauche;

Division: shift droite

Sylvain Martel - INF1500 26

ExercicesAdditions

Soustractions

Multiplications

Divisions

Sylvain Martel - INF1500 27

Représentation des circuits MSI

1/2 74x139

A G BY0 Y1 Y2 Y3 (a)

1/2 74x139

A G BY0 Y1 Y2 Y3 (b) Y0_L Y1_L Y2_L

Y3_LG_L

A B

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1/2 74x139

A G BY0 Y1 Y2

Y3(a) (b)

1/2 74x139

A G BY0 Y1 Y2 Y3

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Décodeur

Sylvain Martel - INF1500 29

Décodeur 2-à-4

Sylvain Martel - INF1500 30

Exemples de composants décodeur 2-à-4

Sylvain Martel - INF1500 31

Data Sheet

Sylvain Martel - INF1500 32

Décodeur 3-à-8

Sylvain Martel - INF1500 33

Décodeur 3-à-8

Sylvain Martel - INF1500 34

Décodeurs 4-à-16

Sylvain Martel - INF1500 35

Décodeurs 5-à-32

74x138

G2A G1 G2BY0 Y1 Y2 Y3 BA CY4 Y5 Y6 Y7

74x138

G2A G1 G2BY0 Y1 Y2 Y3 BA CY4 Y5 Y6 Y7

DEC0_L

DEC1_L

DEC2_L

DEC3_L

DEC4_L

DEC5_L

DEC10_L

DEC11_L

DEC12_L

DEC13_L

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