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110 m ( ) Solution Ex-T1 3 1) D'apr`es l'équation d'état du gaz parfait, le nombre de molécules par unité de volume est L'état final étant un état d' équilibre thermodynamique, 2 Ex-T6 5 Machine thermique et changement d' état Dans un
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PROBL
EMES DE
THERMODYNAMIQUE (L2)
et leurs corrigesChristian Carimalo
Novembre 2004
I.Un bloc de cuivre de 100 grammes porte a une temperature de 0C est plonge dans 50 grammes d'eau a 80 C. Le systeme atteint une temperature d'equilibre T. On supposera que l'ensemble Eau + Cuivre est isole ( on ne tient pas compte des parois du recipient). La chaleur massiqueCCudu cuivre (capacite calorique par unite de masse) est de 400 J kg1K1, celle de l'eauCeauest de 4180 J kg1K1. Elles sont supposees constantes et independantes de la temperature. Pour l'application numerique, on prendraCeau= 4000 J kg1K1. En appliquant le premier principe de la thermodynamique, determiner la temperature d'equilibre T. II.Un gaz d'equation d'etatV=V(T;P)a pour coecient de dilatation thermique isobare =R=PVet pour coecient de compressibilite isothermeT=RT=V P2ouRest la constante des gaz parfaits (constante de Mayer). Donner en fonction deet deT l'expression de la dierentielledVdu volume du gaz en fonction dedTetdP. Par integration, en deduire l'equation d'etat du gaz sachant que pourV= 2bon aT=bP=R. On rappelle les denitions des coecientsetT: =1V @V@T P T=1V @V@P T III.xmoles d'un gaz parfait monoatomique de masse molaire m sont comprimees dans un compresseur compose d'un cylindre et d'un piston. Le compresseur a une masseMet une chaleur massiqueC. Ce compresseur est thermiquement isole de l'exterieur. Le gaz passe de l'etatA(T1;V1)a l'etatB(T2;V2)de facon quasi-statique et reversible. Les parois du compresseur absorbent de la chaleur de maniere reversible ce qui implique qu'a tous les instants la temperature de l'ensemble gaz + compresseur est uniforme. 1 )Determiner la quantite de chaleur recue par le metal du compresseur lors d'une variation dTde sa temperature. 2 )Quel est le travail elementaire recu par le gaz lors d'une variationdVde son volume? 3 )Quelle est la capacite calorique a volume constantCvdesxmoles du gaz monoato- mique? 4 )Quelle est la variation d'energie interne du gaz pour des variationsdTetdVde sa temperature et de son volume, respectivement? 5 )A l'aide du premier principe applique au gaz, determiner l'equation dierentielle liant la temperature du gaz a son volume. 6 )Deduire par integration de cette equation la temperature nale du gaz en fonction deR, C,x,T1,V1,V2etM.Christian Carimalo3Problemes de Thermodynamique IV.Dans un moteur de Stirling, une moled'un gaz parfait diatomique de chaleur molaire a volume constantCvparcourt de facon quasi-statique et reversiblele cycleA1;A2;A3;A4 comprenant une transformation isochore ou le gaz passe de l'etatA1(T1;V1;P1)a l'etatA2(T2;V1;P2) avecT2> T1; une transformation isotherme ou le gaz passe de l'etatA2a l'etatA3(T2;V2;P3); une transformation isochore ou le gaz passe de l'etatA3a l'etatA4(T1;V2;P4); la compression isothermeA4A1. Les donnees du cycle sont : les temperatures extr^emesT1etT2, le volumeV2, le taux de compressiona=V2V1. Dans la gamme de temperatures entreT1etT2, on prendraCv=5R2
1 )Dessiner le cycle dans le diagramme(P;V)(diagramme de Clapeyron). Pour quelle raison ce cycle est-il moteur? 2 )Determiner les pressionsP1;P2;P3etP4en fonction deT1;T2;V2;aetR. 3 )Calculer les travauxW12;W23;W34;W41recus par le gaz sur chaque branche du cycle, en fonction des donnees. 4 )Calculer les chaleursQ12;Q23;Q34;Q41recues par le gaz sur chaque branche du cycle, en fonction des donnees. Preciser sur quelles branches le gaz recoit eectivement de la chaleur. 5 )Le rendement du cycle est=WQ12+Q23ouWest le travail total recu par le gaz a la
n du cycle. Calculeren fonction deT1;T2eta. 6 )Application numerique. On donnea= 2;ln2 = 0;7;t1= 20C;t2= 300C. Donner, pour chaque cycle parcouru, l'ordre de grandeur de l'energie consommee par le moteur et l'energie recuperable.Christian Carimalo4Problemes de ThermodynamiqueCorrige
- I - Ueau+ UCu= 0(systeme isole). CommeUeau=MeauCeau(TfT1),UCu= MCuCCu(TfT2), on en deduit
T f=MeauCeauT1+MCuCCuT2M eauCeau+MCuCCu;outf=MeauCeaut1+MCuCCut2M eauCeau+MCuCCu= 67C xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - II - dV=V dTV TdP=RdTP RTdPP2=dRTP
, d'ouV=K+RTP ouKest une constante telle queV= 2b=K+RP bPR =K+b, soitK=b. On obtient ainsi l'equation d'etatP=RTVb
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - III - 1 )dQcompr:=MCdT=dQgaz. 2 )dW=PdV=xRTV dV. 3 )Cv=x3R2 4 )dU=CvdT. 5 )CvdT=xRTVMCdT, d'ouadVV
=dTT , aveca=xRC v+MC. 6 )L'integration donneTVa= constante, puisT2=T1V1V 2 a xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx - IV - 1 )Dans le plan(P;V), le cycle est parcouru dans le sens inverse du sens trigonometrique (voir gure). Le cycle est donc moteur. 2 )On applique l'equation d'etat :P1=RT1V1,P2=RT2V
1,P3=RT2V
2=RT2aV
1,P4=RT1V
2= RT 1aV 1. 3)W12=W34= 0(isochores);W23=RT2lna,W41=RT1lna(isothermes).Christian Carimalo5Problemes de Thermodynamique
V A1 V 1V2A 4A 3A 2P4 )Q12= 12U=Cv(T2T1)>0,Q34= 34U=Cv(T1T2)<0;U= 0pour une isotherme (gaz parfait), doncQ23=W23>0,Q41=W41<0. 5 1T1T 2 11 + 52lna1T1T 2quotesdbs_dbs4.pdfusesText_8