Allez à : Correction exercice 1 : Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Une fonction est bijective si et seulement si elle est injective et surjective
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Allez à : Correction exercice 1 : Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Une fonction est bijective si et seulement si elle est injective et surjective
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donc f est surjective (c) L'application g est-elle injective ? Oui, car la donnée du couple (x, x2) permet de retrouver x
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Corrigés des exercices 11 Théorème de la bijection pour les fonctions numériques Pour démontrer que f : E −→ F est injective sur E : on se donne ( x1,x2)
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Exercice II 3 Ch2-Exercice3 Soit f : R+ → R définie par f (x) = x Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu'elle
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fonctions ne sont pas injectives (certains éléments ont plusieurs correspondants) La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice
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Exercice 3 On consid`ere quatre ensembles A,B,C et D et des applications f : A → B, g : B → C, h : C → D Montrer que : g ◦ f injective ⇒ f injective, g ◦ f
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1) L'application f est-elle surjective ? Est-elle injective ? 2) Montrer qu'il existe un sous-ensemble F de R et une bijection g de R \ {1}
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La fonction f est-elle injective ? surjective ? Exercice 2 : Soit f : R −→ R l' application définie par : f(x) = −2x2 + 1 Déterminer les ensembles images f(R), f ([2,3])
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Donner un exemple où g ◦ f est bijective, mais f n'est pas surjective et g n'est pas injective Exercice 2 : [corrigé] Étudier l'injectivité, la surjectivité, la bijectivité de
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Exercice 2 : Les fonctions suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ? Donner la fonction réciproque de celles qui sont bijectives 1 f1 de N dans N,
pdf Injection surjection bijection - e Math
jest injective et surjective donc bijective Correction del’exercice6 N 1 Pour z=x+iy le module de ez =ex+iy =exeiy est ex et son argument est y 2 Les résultats : ez+z0=e zez0 ez =e e z =(ez) 1 (ez)n =enz 3 La fonction exp n’est pas surjective car jezj= ex > 0 et donc ez ne vaut jamais 0 La fonction exp n’est
TD 9 Bijections et fonctions réciproques usuelles - heb3org
Exercice 11 : [corrigé] 1 Montrerque:?x ? [?1;1]cos ? 2 ?Arcsin(x) =cos(Arcos(x)) Endéduire:?x ? [?1; 1] Arcos(x)+ Arcsin(x)= ? 2 2 Retrouver le résultat précédent en étudiant la dérivée de la fonction f dé?nie sur [?1; 1]par f(x)= Arcos(x)+Arcsin(x) Exercice 12 : [corrigé] 1
1 Bijection et fonctions réciproques
Démontrer que g f est encore bijective et que (g f)?1 = f?1 g?1 2 La somme de deux bijections est-elle une bijection? Exercice 9 (Fonction impaire et bijective) Soit f: I ? J une fonction impaire et bijective (I est donc symétrique par rapport à 0) Démontrer que J est symétrique par rapport à 0 puis montrer que f?1 est impaire
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Pascal Lainé
1Ensembles-Applications
Exercice 1 :
Soit ݂ǣܫ՜ܬ
1. Donner des ensembles ܫ et ܬ
2. Donner des ensembles ܫ et ܬ
3. Donner des ensembles ܫ et ܬ
4. Donner des ensembles ܫ et ܬ
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ1. Montrer que ݂ est injective.
On pourra montrer la contraposée (et on rappelle que ݔଵ്ݔଶ équivaut à ݔଵ൏ݔଶ ou ݔଶ൏ݔଵ)
2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
Soit ݂ǣԳଶ՜Գ définie pour tout ሺ݊ǡ݉ሻא Soit ݃ǣԳ՜Գଶ définie pour tout ݊א1. ݂ est-elle injective ?
2. ݂ est-elle surjective ?
3. ݃ est-elle injective ?
4. ݃ est-elle surjective ?
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Soient
Où ܧ
Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃לAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ
Montrer que ݂ est surjective.
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Soit ݂ǣԺ՜Ժ définie par ݂ሺ݊ሻൌ-݊1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Soit ݂ǣܧ՜ܨ une application, où ܽܥݎ݀ሺܧሻൌܽܥݎ݀ሺܨ
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijectiveAllez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un
calcul ou un contre-exemple.1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל
aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.2. ݂ǣԳଷ՜Գǣሺܽǡܾǡܿ
(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
3. Soit ݊אԳךሼ-ǡͳሽ߮ǣԺ՜Գ ݈א
euclidienne de ݈ par ݊ est une application.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
1. Soient ݍଵאԳךሼ-ǡͳሽ et ݍଶאԳך
Montrer que :
2. Soit ݂ǣԺൈԳך
Pascal Lainé
3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ1. On suppose ݊-. Combien y-a-t-݂ǣܫଶ՜ܫ
2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ՜ܫ
injective, surjective, bijective ?Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל
2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל
3. Que peut-on conclure sur ݃ל
4. Montrer que si ݃ל
5. Montrer que si ݃ל
6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ
suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫAllez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
Soient ܺ et ܻ deux ensembles non vides et ݂ une application de ܺ dans ܻ. Une application ݏ, de ܻ
ܺ, telle que ݂לݏൌܫ
1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.
2. Montrer que toute section de ݂ est injective.
Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.
4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.
5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.
6. En déduire que si ݂ possède à la fois une section ݏ et une rétraction ݎ, alors ݂ :
ݎൌݏሺൌ݂ିଵ par conséquent).Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
1. Soit ݂ ሼͳǡ-ǡ͵ǡͶሽ dans lui-même définie par :
Déterminer ݂ିଵሺܣሻ lorsque ܣൌሼ-ሽ, ܣൌሼͳǡ-ሽ, ܣ
2. Soit ݂ Թ dans Թ définie par ݂ሺݔሻൌݔଶ. Déterminer ݂ିଵሺܣሻ lorsque ܣൌሼͳሽ, ܣ
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
1. Soit ݂ǣԹଶ՜Թ définie par ݂ሺݔǡݕሻൌݔ. Déterminer ݂ሺሾ-ǡͳሿൈሾ-ǡͳሿሻ, ݂ିଵሺሾെͳǡͳሿሻ.
Pascal Lainé
42. Soit ݂ǣԹ՜ሾെͳǡͳሿ définie par ݂ሺݔሻൌ...ሺߨ
Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Soit ܦൌሼሺݔǡݕሻא
Soit ݂ǣܦ
1. Représenter ܦ
2. a. Montrer que si deux couples de réels ሺݔଵǡݕଵሻ et ሺݔଶǡݕଶሻ vérifient
Alors ሺݔଵǡݕଵሻൌሺݔଶǡݕଶሻ (autrement dit ݔଵൌݔଶ et ݕଵൌݕଶ).
b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..3. Est-ce que ݂ est surjective ?
Allez à : Correction exercice 17 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
1. ܫൌሾ-ǡͳሿ et ܬ
2. ܫൌሾെͳǡͳሿ et ܬ
3. ܫൌሾെͳǡͳሿ et ܬ
4. ܫൌሾ-ǡͳሿ et ܬ
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
݂ሺെͳሻൌ݂ሺͳሻ donc ݂Une fonction est bijective si et
bijective. Car ݔଵ- et ݔଶ-. ݂ est injective. Pour tout ݕאԹכݔൌඥݕאԹכtel que : ݕൌ݂ሺݔሻ, en effet ݂ሺݔሻൌ൫ඥݕ൯ଶൌݕ donc ݂ est surjective.
݂ est bijective.
Car ݔଵ- et ݔଶ-. ݂ est injective.Pascal Lainé
5݃ est une fonction dérivable, ݃ᇱሺݔሻൌͳ͵ݔଶ- donc ݃ est strictement croissante sur Թ.
La contraposée de ݃ሺݔଵሻൌ݃ሺݔଶሻ֜ݔଵൌݔଶ est ݔଵ്ݔଶ֜
Supposons que ݔଵ്ݔଶ, alors ݔଵ൏ݔଶ (ou ݔଶ൏ݔଵ, ce que revient au même), on en déduit que ݃ሺݔଵሻ൏
݃ሺݔଶሻ car ݃ est strictement croissante, par conséquent ݃ሺݔଵሻ്݃ሺݔଶሻ, ݃ est injective.
݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation.݄ est une fonction dérivable sur Թ. ݄ᇱሺݔሻൌ-ݔ͵ݔଶൌݔሺ-͵ݔሻ
Le " ݔଷ ݔଶ ».
Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨ Comme ݄ሺെͳሻൌ-ൌ݄ሺ-ሻ, ݄Pour tout ݕאԹ il existe ݔא
Pour tout ݕא
ଶሾ il existe trois valeurs ݔ tel que ݕൌ݄ሺݔሻ, pour ݕൌସ
ଶ, il y en a deux pour les autres ݕOn va étudier cette fonction, ݇ est dérivable et ݇ᇱሺݔሻൌͳͶݔଷ
Le " ݔସ ݔ ».
Pour tout ݕെଷ
య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.Pascal Lainé
6Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1.Si ݔଵ൏ݔଶ alors ݂ሺݔଵሻ൏݂ሺݔଶሻ donc ݂ሺݔଵሻ്݂ሺݔଶሻ
Si ݔଵݔଶ alors ݂ሺݔଵሻ݂ሺݔଶሻ donc ݂ሺݔଵሻ്݂ሺݔଶሻ