Fonctions exponentielles – Classe de Terminale ES Page 1 fonction exponentielle de base est le prolongement de cette suite Fonction dérivée et convexité
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Fonctions exponentielles - Classe de Terminale ES Page 1
Fonctions exponentielles
1. Fonctions exponentielles de base
Fonction ↦ , avec > 0Définition. Soit
un réel strictement positif. La suite de terme général = est une suite géométrique. La fonction exponentielle de base est le prolongement de cette suite. Elle est définie par Théorème. La fonction exponentielle de base est dérivable sur ℝ, donc continue sur ℝ.Théorème. Pour tout réel
, on a >0.On a représenté ci-contre la fonction
↦ 1,5 ainsi que les premiers termes de la suite 1,5. Théorème (sens de variation). En accord avec le sens de variation des suites on a que, pour une fonction exponentielle de base , avec >0· si
> 1, la fonction ↦ est strictement croissante sur ℝ ;· si
0<<1, la fonction ↦ est strictement décroissante sur ℝ ;
· si
=1, la fonction ↦=1 est constante sur ℝ ; Formules de calculThéorème. Soit
la fonction exponentielle de base > 0, = . Elle transforme les produits en sommes : ou encoreIl en résulte les formules suivantes, pour
> 0. = 1 et = ;· pour tous réels
et , on a = et =· pour tout réel
et tout entier , on a· pour tout entier
> 0, le nombre " est tel que # = , on l"appelle " racine - ième deExemple
· 1,03=1,03×1,03 ;
2,5'=',()
',(=0,4×6,25 ; 2516 /=2, en effet 20=16. Fonctions exponentielles - Classe de Terminale ES Page 2
2. Fonction exponentielle de base 1
Fonction exp et nombre 2 Définition. Parmi toutes les fonctions exponentielles de base , une seule vérifie 30= 1. On appelle sa base 1, on l"appelle fonction exponentielle de base 1 ou plus simplement fonction exponentielle et on la note exp. On a donc par définition exp = 1, exp′0 = 1 et exp1 = 1.
Le nombre
1 vaut environ 2,718 > 1 donc exp est
croissante.Pour tout
, on a 1> 0. Comme toute fonction exponentielle, la fonction exp transforme les sommes en produit. On a donc :1= 1 ;
· pour tous réels
et , 1= 11 ; 1=: : et en particulier 11= 1 ;· pour tous reéls
et , 1 = 1, en particulier 1'=1Exemple
· 1=1×1=1×1 ;
1;×1'=1;'=1'; ;
11+21 =1×1+1×21=1+21' ; Résolution d"équationsComme pour tout
Théorème. Soit
> et ? deux réels. On a1@= 1A⇔ > = ?.
Autrement dit, deux exponentielles sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux.En particulier comme
1 = 1, l"équation 1@= 1 équivaut à > = 0.
Exemple
1'=1⟺2+1=0⟺=-
1;=1'⟺3-1=2-⟺=;
0. Fonctions exponentielles - Classe de Terminale ES Page 33. Étude de la fonction exponentielle (de base 1)
Fonction dérivée et convexitéThéorème. La dérivée de la fonction exponentielle est elle-même. Autrement dit si l"on pose
= 1, alors 3 = 1.Exemple
Soit =2-31. Alors par la formule donnant la dérivée d"un produit
3 =2×1+2-3 ×1 donc en mettant1 en facteur,
3 =2-11. L"étude du signe de
′ est alors très simple puisque1>0 pour tout .
Comme 33= 1> 0 on a le résultat suivant. Théorème. La fonction exponentielle est convexe sur Résolution d"inéquations