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- Si a < 0, f admet un maximum pour x = α Ce minimum est égal à β Remarque : Soit la fonction f définie sur R par : f (

On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum (s'il existe) • Si Propriété : Si une fonction , dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en

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- Si a < 0, f admet un maximum pour x = α Ce minimum est égal à β Remarque : Soit la fonction f définie sur R par : f (

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En mathématiques (élémentaires), le tracé de la courbe représentative d'une fonction est précédé d'une La fonction f poss`ede en x0 ∈ Df un maximum ( resp un minimum) si ∀x ∈ Df , f(x) 1 − x2, admet en 1 et -1 des minimums locaux et un maximum strict intervalle et décroissante sur le second Elle poss` ede un

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2) f admet-elle un extremum sur R? 3) Démontrer le résultat précédent M Herbaut 4/4 Seconde

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2nde Variations des Fonctions 2020 Les variations d'une fonction sur son ensemble de définition sont souvent résumées Écrire la traduction mathématique de cet énoncé sur le f admet en a un maximum sur l'intervalle I signifie que :

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Ainsi, f admet pour maximum β atteint en x = α 11 3 Représentation graphique d' un polynôme du second degré Tout comme la fonction carré, les polynômes

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Proposer, avec ce codage, le message correspondant au second message ci- dessus 7) Le professeur de mathématiques, qui passe dans la cour, aperçoit les enfants Dire que f admet un maximum en a sur l'intervalle I signifie que :

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On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme Toute fonction polynôme admet une forme canonique http:// mathematiques daval free -1- Maximum Dans un repère (O; −→ i ; −→ j ), la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole,

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Condition d'optimalité du1er ordre Condition d'optimalité du second ordre 4 On dit que f admet un minimum (resp maximum ) local au point x∗, s'il existe un

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de conforter l'acquisition par chaque élève de la culture mathématique nécessaire à la vie en On admet qu'une fonction dérivable sur un L' algorithme utilise des fonctions max et min opérant sur des listes (ou tableaux), renvoyant le plus

1 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur

par une expression de la forme : f(x)=ax 2 +bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0

. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : -

f(x)=3x 2 -7x+3 g(x)= 1 2 x 2 -5x+ 5 3 h(x)=4-2x 2 k(x)=(x-4)(5-2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x)=5x-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x)=5x 4 -3x 3 +6x-8

est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur

par f(x)=ax 2 +bx+c peut s'écrire sous la forme : f(x)=ax-α 2 , où α et β

sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. La forme canonique d'une fonction est de la forme :

f(x)=

J(x - J)2 + J où J, J et J sont des nombres réels. Exemples : f(x)=32x-1()2+4 g(x)=-2x+5()2-4 h(x)=-3x-5()2-12

2 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frMéthode : Démontrer qu'une expression est la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/M3vCMgYzvM8 Soit la fonction f définie sur

par : f(x)=2x 2 -20x+10

. Démontrer que 2x-5()2-40est la forme canonique de f. 2x-5()2-40=2x2-10x+25()-40=2x2-20x+50-40=2x2-20x+10=f(x) III. Variations et représentation graphique Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :

f(x)=2x-1 2 +3

Alors :

f(x)≥3 car 2x-1 2 est positif. Or f(1)=3 donc pour tout x, f(x)≥f(1)

. f admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par

f(x)=ax-α 2 , avec a≠0 . - Si a>0 , f admet un minimum pour x=α . Ce minimum est égal à β . - Si a<0 , f admet un maximum pour x=α . Ce minimum est égal à β . Remarque : Soit la fonction f définie sur par : f(x)=ax 2 +bx+c , avec a≠

0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour

x=- b 2a . - Si a>0 : x -∞ f(x) β

3 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr - Si

a<0 : x -∞ f(x) β Dans un repère orthogonal O,i ,j

, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation x=α. Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/pXWDPw3B3ms Soit la fonction f définie sur par

f(x)=-x 2 +4x

. 1) Démontrer que -x-2()2+4 est la forme canonique de f. 2) Représenter graphiquement la fonction f.

4 sur 4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1) -x-2()2+4=-x2-4x+4()+4=-x2+4x-4+4=-x2+4x=f(x) 2) On a donc f(x) = -(x - 2)2 + 4 f admet donc un maximum pour x = 2. Ce maximum est égal à égal à 4. Il est possible de le vérifier : ()

2 (2)2244 f=--+= . Les variations de f sont donc données par le tableau suivant : x -∞

2 +∞

f(x) 4 On obtient la courbe représentative de f : Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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