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Condition d'optimalité du1er ordre Condition d'optimalité du second ordre 4 On dit que f admet un minimum (resp maximum ) local au point x∗, s'il existe un

On appelle extremum de sur D son maximum ou son minimum (s'il existe) • Si Propriété : Si une fonction , dérivable sur un intervalle I, admet un extremum en

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- Si a < 0, f admet un maximum pour x = α Ce minimum est égal à β Remarque : Soit la fonction f définie sur R par : f (

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En mathématiques (élémentaires), le tracé de la courbe représentative d'une fonction est précédé d'une La fonction f poss`ede en x0 ∈ Df un maximum ( resp un minimum) si ∀x ∈ Df , f(x) 1 − x2, admet en 1 et -1 des minimums locaux et un maximum strict intervalle et décroissante sur le second Elle poss` ede un

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2) f admet-elle un extremum sur R? 3) Démontrer le résultat précédent M Herbaut 4/4 Seconde

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2nde Variations des Fonctions 2020 Les variations d'une fonction sur son ensemble de définition sont souvent résumées Écrire la traduction mathématique de cet énoncé sur le f admet en a un maximum sur l'intervalle I signifie que :

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Ainsi, f admet pour maximum β atteint en x = α 11 3 Représentation graphique d' un polynôme du second degré Tout comme la fonction carré, les polynômes

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Proposer, avec ce codage, le message correspondant au second message ci- dessus 7) Le professeur de mathématiques, qui passe dans la cour, aperçoit les enfants Dire que f admet un maximum en a sur l'intervalle I signifie que :

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On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction P définie sur R de la forme Toute fonction polynôme admet une forme canonique http:// mathematiques daval free -1- Maximum Dans un repère (O; −→ i ; −→ j ), la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole,

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Condition d'optimalité du1er ordre Condition d'optimalité du second ordre 4 On dit que f admet un minimum (resp maximum ) local au point x∗, s'il existe un

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de conforter l'acquisition par chaque élève de la culture mathématique nécessaire à la vie en On admet qu'une fonction dérivable sur un L' algorithme utilise des fonctions max et min opérant sur des listes (ou tableaux), renvoyant le plus

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOptimisation d"une fonction d"une variable

1ère année

E.N.S.T.B.B.

I.P.B.

Année Universitaire 2015-16

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

4Convexité

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherche x vérifiant

Minimiserf(x)

x2I on dit que l"on a un problème d"optimisation.

La f onctionfest

souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La f onctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéOn s"intéresse ici à la recherche de minimum ou maximum d"une fonction réellef:IR!R.Lorsque l"on cherchex vérifiant

Minimiserf(x)

x2Ion dit que l"on a un problème d"optimisation.La fonctionfest souvent appelée fonction objectif.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéC. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéPlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global

sur I au point x , si

8x2I f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) local au point x , s"il existe un intervalle ouvert JI contenant x tel que

8x2J f(x)f(x):

(resp: f(x)f(x))C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexitéminimum global et local

Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un extremum en x

si et seulement si f admet un maximum ou un minimum en x .Si les inégalités des définitions précédentes sont strictes, on parle d"extremum (min ou max) strict.Remarque

Un extremum global est un extremum local.

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Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité

Figure:la f onctionx7!x2présente un minimum global strict en 0.C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

Convexité-5

0 5 10

0.00.51.01.52.02.53.0

Maximum localMaximum global

Minimum local

Figure:

f onctionprésentant des maxim umsstr ictslocaux et globaux, un minimum local et des minima globaux non stricts sur[5;10]C. NazaretOptimisation

Introduction

Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéFigure:f onctionprésentant des e xtremanon str icts.

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

1Introduction

2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrethéorème de Weierstrass L"existence d"extrema n"est pas garantie pour toute fonction. Mais sur un intervalle fermé borné...Théorème Soient f une fonction définie sur un intervalle fermé borné I= [a;b]. Si f est continue, alors la fonction f est bornée et atteint ses bornes, autrement dit f admet un minimum et un maximum global sur I. A priori, ces extrema ne sont pas uniques (peuvent être atteints plusieurs fois sur I).

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreExistence Si la recherche d"un minimum ne se limite pas à un intervalle fermé borné, on a aussi le résultat suivant:Définition Une fonction f est dite coercive surRsi " elle tend vers l"infini à l"infini » limjxj!+1f(x) = +1 ou coercive sur un intervalle ouvert]a;b[si lim x!af(x) = +1etlimx!bf(x) = +1C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreSoit

un intervalle ouvert.Théorème

Toute fonction continue et coercive sur

atteint son minimum sur .C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordrePlan

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2Définition: minimum, maximum

3Propriétés

Existence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

4Convexité

Définition et propriétés d"une fonction convexe

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreCondition d"optimalité du 1er ordre

Théorème

Si f est une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert

I et si f admet en un point x

de I un extremum alors f

0(x) =0:C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

ConvexitéExistence: Théorème de Weierstrass

Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordreRemarque

La réciproque de ce théorème est fausse (la fonction x7!x3admet une dérivée nulle en0mais ce n"est pas un extremum).Si f

0(x) =0, on dit que xest un point critique de f. Les

extrema sur l"ouvert I sont à chercher parmi les points critiques.Si on cherche un extremum sur un intervalle fermé[a;b], on fera l"étude sur]a;b[ouvert puis on comparera à f(a)et f(b).C. NazaretOptimisation

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Définition: minimum, maximum

Propriétés

quotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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1ère année

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Condition d"optimalité du1er ordre

Condition d"optimalité du second ordre

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La f onctionfest

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Condition d"optimalité du second ordre

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Définition

Soit f une fonction définie sur I et x

2I.On dit que f admet un minimum (resp. maximum ) global

8x2I f(x)f(x):

8x2J f(x)f(x):

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Définition: minimum, maximum

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