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E -mesurable si et seulement si elle est constante sur chaque partie A ∈ A c Soient E une tribu de E, (fn)n∈N une suite de fonctions mesurables réelles sur E

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Si fprend au moins deux aleursv aet bdans F alors f1(a) 6= ;et f1(a) 6= E donc fn'est pas mesurable En revanche si fest constante alors elle est mesurable En e et si fprend pour unique aleurv a2F alors pour tout AˆF on a soit f1(A) = E(si a2A) soit f1(A) = ;(si a=2A) donc fest mesurable

Fonctions mesurables intégrale de Lebesgue - e Math

Fonctions mesurables intégrale de Lebesgue Exercice 1 Montrer les égalités ensemblistes suivantes : [a;b]= ¥ n=1 ]a 1 n ;b+ 1 n [ et ]a;b[= [¥ n=1 [a+ 1 n ;b 1 n ] Correction H[005933] Exercice 2 Soit (W;S;m) un espace mesuré et f : W

1 Tribus fonctions mesurables - univ-toulousefr

On rappelle que ?(C) est la plus petite tribu sur R qui rend bor´eliennes toutes les fonctions de C 3 Pour a>0 b? R on d´e?nit ? ab: R ? R par ? ab(x) = e?ax 2+bx Soit C 0:= ? ab; (ab) ? Q? + ×Q · (a) Montrer que la fonction x7?ebx est ?(C 0)-mesurable pour tout b? Q (b) En d´eduire que x7?xest aussi ?(C 0

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Si 0 2=A h 1(A) h (Rnf0g) = Net donc h 1 est lui-même négligeable donc mesurable Si au contraire 0 2A h 1(A)c= h 1(Ac) est mesurable d'après le cas précédent et donc h 1(A) est mesurable Ainsi dans tous les cas h 1(A) est mesurable et donc hest mesurable Supposons f mesurable Comme g= f h la fonction gest mesurable Réciproquement

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

[Inégalité de Tchebychev]Soitf:Rd!R+une fonction intégrable à valeurs positives qui est Lebesgue-intégrable. Pour >0, on pose : E :=x2Rd:f(x)> :

Montrer que (figure-bonus possible) :

m E61 Z f:

Exercice 2.

En dimensiond>1, soit une fonction mesurablef:Rd!R+à valeurs positives finies. (a)Rappeler la définition initiale de la mesurabilité d"une fonction, puis des caractérisa- tions équivalentes. (b)Montrer que, pour tout entierk2Z, les sous-ensembles : E k:=x2Rd: 2k1< f(x)62k sont mesurables dansRd. (c)Montrer que l"on a la réunion disjointe (figure-bonus possible) : 1[ k=1E k=x2Rd:f(x)>0: (d)Pour tout entiern2N, on introduit la fonction étagée : F n:=k=+nX k=n2 k1Ek; ainsi queF:=limn!1Fn. Montrer que l"on a en tout point : 1 2

F6f6F:

(e)Montrer que la fonction d"originefest Lebesgue-intégrable si et seulement siP1 k=12km(Ek)<1. 1

2FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

(f)Aveca;b2R, on introduit les deux fonctions : f(x) :=8 :1 jxjapour00autrement;etg(x) :=8 :1 jxjbpourjxj>1;

0autrement:

En utilisant(e), montrer quefest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsquea < d, et aussi, montrer quegest Lebesgue-intégrable surRdexactement lorsqueb > d.

Exercice 3.

Sur un segment compact[a;b]bR, soitf: [a;b]!Rune fonction réelle quelconque, pas forcément bornée. Montrer qu"on peut néanmoins définir sans modifica- tion la notion de Riemann-intégrabilité def, mais montrer alors que si, pour tout" >0, il existe une subdivisionde[a;b]telle que la différence entre les sommes de Darboux supérieure et inférieure defsatisfait(f)(f)6", alors ceci implique en fait que fest nécessairement bornée.

Exercice4.

SoientE1;E2;E3; :::Rduneinfinité dénombrable d"ensemblesmesurables emboîtés de manière décroissante les uns dans les autres : E kEk+1(k>1):

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

mEk0<1:

En utilisant un théorème fondamental énoncé avec soin concernant les réunions dénom-

brables disjointes d"ensembles mesurables, montrer que (figure-bonus possible) : m 1\ k=1E k =limK!1mEK; puis trouver un exemple simple faisant voir que cette conclusion peut être mise en défaut sans l"existence dek0tel quem(Ek0)<1.

Exercice 5.

Le but de cet exercice est de montrer que recouvrir les sous-ensemblesERd par un nombrefinide cubes ne suffit pas à produire un concept réellement satisfaisant de mesure extérieurem(E). On se restreint ici à la dimensiond= 1. En effet, la mesure extérieure de Jordan mJ(E)peut être définie par : m

J(E) =infJX

j=1 Ij; où l"infimum est pris sur les recouvrementsfinis : EJ[ j=1I j; par des intervalles fermésIj. (a)Montrer quemJ(E) =mJ E pour tout sous-ensembleER. (b)Trouver un sous-ensemble dénombrableE[0;1]tel quemJ(E) = 1, tandis que sa mesure extérieure de Lebesgue vautm(E) = 0.

1.Examen 13

Exercice 6.

DansRd, soit un nombre fini quelconquen>1de sous-ensembles mesurables A

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

m(A1)<1; m(A2)<1; ::::::; m(An)<1:

Montrer que (figure-bonus possible) :

m A

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

16i1 A i1\Ai2\ \Aik
Exercice 7.
Soitmla mesure de Lebesgue surRet soit" >0arbitrairement petit.
Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(
)6".
Exercice 8.
Soitf2C0c(Rd;R)une fonction réelle continue à support compact. Montrer que :
0 =limh!0Z
R df(xh)f(x)dx:
Indication:
Sisupp(f)B(0;R)pour un rayonR1assez grand, se limiter àh2Rdavec jhj<1et se ramener àR
B(0;R+1).

Exercice 9.
Trouver une suite de fonctions en escalierfn: [0;1]!R+satisfaisant :
0 =limn!1Z
1 0 f n(x)dx; mais telle que, entoutpointx2[0;1], la suite numérique :fn(x)1 n=1 soit bornée et ne converge vers aucune valeur réelle.
Indication:

Utiliser la suite double
F k;m(x) :=1[k1 m ;k m ]pour16k6m, illustrer son comportement pourm= 1;2;3;4,
décrire en mots les idées qui viennent à l"esprit, et enfin, rédiger en détail une démonstra-
tion rigoureuse.
4FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.
Commef:Rd!R+est Lebesgue-intégrable, pour tout réel >0, l"en- semble de sur-niveau : E :=x2Rd:f(x)> est mesurable dansRd. De plus, l"inégalité entre fonctions : f(x)>1E(x)(8x2Rd); est claire lorsquex62Ecarf(x)>0 =0par hypothèse, et vraie aussi lorsquex2E, carf(x)> =1, donc elle est satisfaite partout. Par intégration de cette inégalité, nous obtenons instantanément :Z R df>mE; ce qui donne bienm(E)61 R R df. R R df E E E m(E) Géométriquement, l"hypographe def:(x;y)2RdR+: 06y6f(x); dont la mesure(d+ 1)-dimensionnelle vautR R dfd"après un théorème du cours, est "coupé» à hauteur >0, et sur le sous-ensembleERdoùf > , on ne retient que la valeur-type, ce qui correspond à restreindre la considération au " pseudo-rectangle» de hauteuret de "base»E, lequel est entièrement contenu dans l"hypographe def au-dessus deE:(x;y):x2E;06y6(x;y):x2E;06y6f(x);
et par intégration "visuelle», on trouve bien que l"aire de ce pseudo-rectangle est inférieure

à l"aire intégrale totale :
mE6Z R df:
2.Corrigé de l"examen 15

Exercice 2.
(a)Une fonctionf:E! f1g [R[ f1gdéfinie sur un sous-ensemble mesurableERdest dite mesurablesi, pour touta2R, son ensemble de sous-niveau : f
1[1; a[=x2E:f(x)< a;
est un sous-ensemblemesurabledeRd. Dans le cours, on a obtenu les caractérisations
équivalentes suivantes :
pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)6a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)>a est mesurable; pour touta2R, l"ensemble :x2E:f(x)> a est mesurable; pour tout couple de nombres réels finis :
1< a < b <+1;
les ensembles-tranches : a < f < b sont mesurables; plus généralement, il en va de même en remplaçantfa < f < bgpar l"un des trois ensembles :a6f < b;a < f6b;a6f6b: (b)On en déduit que pour toutk2Z, les ensemblesEk:=fx2Rd: 2k1< f(x)6 2 kgsont mesurables dansRd. (c)Pour toutk2Z, l"ensembleEk=fx2Rd: 2k1< f(x)62kgest contenu dans l"ensemble : E :=x2Rd:f(x)>0; donc : k2ZE kE: Pour l"inclusion opposée, soitx2Equelconque. Commef(x)>0, et comme la réunion d"intervalles enchaînés :a k2Z
2k1;2k= ]0;1[
est disjointe, il existe un unique entierkx2Ztel que : 2 kx1< f(x)62kx; ce qui signifiex2Ekx, et donne bien :[ k2ZE kE:
6FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud
(d)Soitx2Rdquelconque fixé. Sif(x) = 0, alors pour toutn2N, puisquex62Ekquel que soitk2Z, on a : F n(x) =X jkj6n2 k1Ek(x) = 0; puis en faisantn! 1:
F(x) = 0 =f(x);
d"où trivialement 1 2
F(x)6f(x)6F(x), car1
2
06060, c"est très vrai, mon bébé!
Si maintenantf(x)>0, il existe un uniquekx2Ztel quex2Ekx, d"où pour tout n>jkxj: F n(x) = 2kx; puis en faisantn! 1:
F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :
1 2
F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);
en relaxant la " strictitude» de l"inégalité à gauche, nous obtenons bien1 2
F(x)6f(x)6
F(x). (e)Commef:Rd!R+est mesurable à valeurs positives finies,fest Lebesgue- intégrable (par définition!) si et seulement siR R df <1. Or une intégration de l"enca- drement defparFobtenu à l"instant dans la question précédente donne : 1 2 Z R dF6Z R df6Z R dF; doncfest Lebesgue-intégrable surRdsi et seulement siFl"est. Maintenant, il est temps d"observer que la suite(Fn)1n=1de fonctions positives est crois- sante : F n+1(x)Fn(x) = 2(n+1)1En1(x) + 2n+11En+1(x)>0; ce qui permet d"appliquer le théorème de convergence monotone pour obtenir :Z R dF=Z R d limn!1Fn =limn!1Z R dFn =limn!1Z R d X jkj6n2 k1Ek =limn!1X jkj6n2 kmEk X k2Z2 kmEk
2R+[ f1g;
et donc on a bien : Z R df <1 ()Z R dF <1 ()X k2Z2 kmEk:
2.Corrigé de l"examen 17
(f)Avec un exposanta2R, la fonction : f a(x) :=(jxjalorsque00ailleurs;

est mesurable à valeurs>0. Puisque dans la boule unité ferméefjxj61g, on ajxjc61pour tout exposant réel c>0, la fonctionfaest toujours intégrable lorsquea60. Supposons donca >0, et, en application de ce qui précède, regardons, pour toutk2Z, les ensembles : E k=x2Rd: 2k1< fa(x)62k x2Rd: 06jxj<1 2 k1 a qui s"avèrent ainsi visuellement être une collection infinie d"anneaux (en dimensiond= 2), ou de coquilles sphériques (en dimensiond= 3), emboîtés. Or lorsquek60, on voit queEk=;, et donc seuls lesEkaveck>1interviennent. Maintenant, grâce à la question(e),fest Lebesgue-intégrable si et seulement si : 1X k=12 kmEk<1: Mais chacune de ces coquillesd-dimensionnellesEkaveck>1apparaît manifestement comme étant la dilatée du facteur 1 2 k a de la coquille de référence : C a:=x2Rd: 16jxj<1 2 1 a évidemment de mesure strictement positive finie0< m(Ca)<1, et donc d"après la propriété naturelle de dilatation de la mesure de Lebesgue : mF=dm(F)(>0; FRdmesurable); on obtient ici : mEk=1 2 k a d mCa; d"où enfin, en reconnaissant une série géométrique sérendipitrice : 1 X k=12 kmEk=mCa1X k=12 k(1d a )=8 :1lorsquea>d; m(Ca)2(1d a 12(1d a )lorsque0< a < d; ce qui montre quefaest intégrable si et seulement sia < d. Passons maintenant au cas fort similaire! de la fonction : g b(x) :=(jxjblà oùjxj>1;

0ailleurs:

Lorsqueb>0, elle est manifestement non-intégrable.

Supposons doncb >0. Dans ce cas :

E k=x2Rd:jxj>1et1 2 k b

6jxj<1

2 k1 b

8FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud

avecEk=;pourk>1. Toujours avec : C b:=x2Rd: 16jxj<1 2 1 b on vérifie que : 0 X k=12 kmEk=mCb0X k=12 k(1d b )=8 :1lorsque0< b6d; m(Cb)1 12d b

1lorsqueb > d;

ce qui montre quegbest intégrable si et seulement sib > d.

Exercice 3.

Soitf: [a;b]!Rune fonction réelle quelconque, pas forcément bornée. Dans la définition des sommes de Darboux associées à des subdivisions[a;b], il se peut alors que l"infimum defsur un intervalle de la subdivision (ou son supremum) soit infini, auquel cas la somme de Darboux correspondante est infinie. Dans tous les cas rien ne nous empêche de vérifier si pour tout" >0, il existe une subdivision de[a;b]: a=x0< x1<< xn1< xn=b; telle que :quotesdbs_dbs5.pdfusesText_9

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Examens corrigés

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

1.Examen 1

Exercice 1.

Montrer que (figure-bonus possible) :

Exercice 2.

F6f6F:

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0autrement:

Exercice 3.

Exercice4.

On suppose que pour un certain entierk0>1, on a :

Exercice 5.

J(E) =infJX

1.Examen 13

Exercice 6.

1;A2;:::;AnRdde mesures finies :

Montrer que (figure-bonus possible) :

1[A2[ [An

16k6n(1)k1X

Exercice 7.

Construire un ouvert

Rdense dansRtel quem(

Exercice 8.

0 =limh!0Z

Indication:

B(0;R+1).

Exercice 9.

0 =limn!1Z

Indication:

Utiliser la suite double

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2.Corrigé de l"examen 1

Exercice 1.

à l"aire intégrale totale :

2.Corrigé de l"examen 15

Exercice 2.

1[1; a[=x2E:f(x)< a;

équivalentes suivantes :

1< a < b <+1;

2k1;2k= ]0;1[

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F(x) = 0 =f(x);

F(x)6f(x)6F(x), car1

06060, c"est très vrai, mon bébé!

F(x) = 2kx:

Comme par définition dekxon a :

F(x) = 2kx1< f(x)62kx=F(x);

F(x)6f(x)6

2R+[ f1g;

2.Corrigé de l"examen 17

0ailleurs:

Supposons doncb >0. Dans ce cas :

6jxj<1

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1lorsqueb > d;

Exercice 3.