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Exercice 3
Corrigé
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL
SESSION 2015
MATHÉMATIQUES
SÉRIE S
Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité D Ce sujet comporte 6 pages numérotées de la page 1/6 à la page 6/6. L'usage des calculatrices est autorisé selon les termes de la circu laire n°
99-186 du 16 novembre 1999.
Le candidat doit traiter les quatre exercices.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. BACCALAURÉAT GÉNÉRAL - Série SSESSION 2015
ÉPREUVE : MATHÉMATIQUES
SUJET C
Page 1/6
Durée : 4 heures
Baccalauréat SA. P.M. E.P.
Exercice 37 points
Commun à tous les candidats
Soitaun nombre réel fixé non nul.
Le but de cet exercice est d"étudier la suite
(u n )définie par : u 0 aet, pour toutndeN,u n1 e 2u n e u n On remarquera que cette égalité peut aussi s"écrire :u n1 e u n (e u n 1).
1.Soitgla fonction définie pour tout réelxpar :
g(x)e 2x e x x. a)Calculerg (x) et prouver que, pour tout réelx:g (x)(e x 1)(2e x 1). b)Déterminer les variations de la fonctionget donner la valeur de son mi- nimum. c)En remarquant queu n1 u n g(u n ), étudier le sens de variation de la suite (u n
2.Dans cette question, on suppose quea
?0. a)Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln,u n ?0. b)Déduire des questions précédentes que la suite(u n )est convergente. c)Dans le cas oùavaut 0, donner la limite de la suite(u n
3.Dans cette question, on suppose quea0.
La suite
(u n )étant croissante, la question 1. permet d"affirmer que, pourtout entier natureln,u n ?a. a)Démontrer que, pour tout entier natureln, on a :u n1 u n ?g(a). b)Démontrer par récurrence que, pour tout entier natureln, on a : u n ?ang(a). c)Déterminer la limite de la suite(u n
4.Dans cette question, on prenda0,02.
L"algorithme suivant a pour but de déterminer le plus petit e ntierntel que u n M, oùMdésigne un réel positif. Cet algorithme est incomplet.
Variablesnest un entier,uetM
sont deux réels uprend la valeur 0,02
Initialisationnprend la valeur 0
Saisir la valeur deM
TraitementTant que ...
Fin tant que
SortieAffichern
a)Sur la copie, recopier la partie "Traitement» en la complétant. b)À l"aide de la calculatrice, déterminer la valeur que cet algorithme affi- chera siM60.
Centres étrangers310 juin 2015
1 alainpiller. fr 1. a. a1.
Calculons g':
Ici, pour tout réel x: g (x) = e
2 x - e x - x.
Posons:
g = u + v + w, avec:
º xx) = e
2 x v (x) = - e x et w (x) = - x. u + v + w.
º xg'(x) = 2e
2x - e x - 1.
Au total: º xx) = 2e
2x - e x - 1. 1. a. a2.
Montrons que g'
(x) = ( e x - 1 2 e x + 1
Nous savons que:
º xx) = 2 e
2 x - e x - 1. Or: ( e x - 1 ) ( 2 e x + 1 ) = 2 e 2 x + e x - 2 e x - 1 cad: ( e x - 1 ) ( 2 e x + 1 ) = 2 e 2 x - e x - 1.
Au total, nous avons bien:
g' (x) = ( e x - 1 ) ( 2 e x + 1
EXERCICE 3
[ Centres Étrangers 2015 ] 2 alainpiller. fr 1. b.
Tableau de variation de g + "
son minimum Pour déterminer le minimum de g, résolvons l'équation: g' (x) = 0. g' (x) = 0 <=> 2 e x - e x - 1 = 0 <=> ( e x - 1 ) ( 2 e x + 1 ) = 0 <=> ( e x - 1 ) = 0 et/ou ( 2 e x + 1 ) = 0. (1 )
º x
x > 0 => 2 e x > 0 => 2 e x + 1 > 1.
D'où:
g' (x) = 0 <=> e x - 1 = 0 <=> e x = e 0 => x* = 0.
Le minimum de g est donc le point A, avec:
A ( 0, g (0) ) cad A ( 0, 0 ).
D'où le tableau de variation de g:
x-0+ g' (x)-0+ g (x) 0 1. c.
Etudions le sens de variation de la suite (U
n Soit: g (U n ) = U n 1 - U n
Ici, n est un entier naturel.
Or, sur -:
g (U n ( tableau de variation précédent ).
D'où, pour tout entier naturel n:
U n 1 - U n U n 1 n
Donc sur -, (U
n ) est croissante. 3 alainpiller. fr 2. a.
Montrons que, pour tout entier naturel, U
n
Nous allons ainsi montrer par récurrence que:
" pour tout entier naturel n: U n U U 1 = e 2 a - e a <=> U 1 = e a e a car: e a et e a n et montrons qu'alors: U n 1 U n (1 ) (1 ) => e U n => e U n - 1 => e U n => e U n e U n - 1 U n ( car: e U n => U n 1 U n 2. b. (U n
Nous savons que:
(Un U n (U n ) est croissante. (U n ) est convergente. 4 alainpiller. fr 2. c.
Déterminons la limite de la suite (U
n ) quand a = 0:
Si a = 0: U
0 = 0 U 1 = e 2 x 0 - e 0 U 1 = 0 U 2 = e 2 x 0 - e 0 U 2 = 0 U n 1 = 0 U n = 0. Ainsi, quand a = 0, nous sommes en présence d'une suite stationnai re car: U 0 = U 1 = U 2 = ... = U n
D'où: lim U
n n = 0. n 1 - U n Sur [
0, + [ , nous savons que la fonction g est croissante.
Par conséquent:
U n n <=> U n 1 - U n (car: g (U n ) = U n 1 - U n
Au total, pour tout entier naturel n:
U n 1 - U n U n
Nous allons ainsi montrer par récurrence que:
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Sujet du bac S Mathématiques Obligatoire 2015 - Sujet de bac