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Analyse et synthese des ltres numeriques: une

introduction

Olivier Sentieys

ENSSAT - Universite de Rennes 1

IRISA - CAIRN

sentieys@irisa.fr http://r2d2.enssat.fr/enseignements/Tns

28 mai 2008

Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction Plan

0Introduction

1Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Transformee enZTransformee de Fourier d'un signal discret Condition d'existence de laTFTransformee de Fourier discrete 3/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction Plan

2Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps Representation frequentielle des systemes discrets

3Filtres numeriques

Filtrage numerique : introduction

Representation d'un ltre numerique

Specication d'un ltre numerique

Filtres non recursifs RIF

Filtres recursifs RII

4/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction Plan

4Synthese des ltres numeriques RIF

Introduction

Filtres a phase lineaire

Synthese par fen^etrage

Synthese par echantillonnage frequentiel

Synthese par approximation optimale de fonctions

5References

5/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Introduction

Introduction

Traitement (numerique) du signal (numerique) :Modeliser{ ou identier { consiste en l'analyse d'un signal

ou d'un systeme, dans le domaine temporel ou frequentiel (i.e.

spectral). On parlera egalement d'estimation.Synthetiser{ ou generer { un signal.Transmettreun ensemble de signaux sur un support.Transformerun ensemble de signaux a l'aide d'un systeme

lineaire (ltrer, moduler, coder, ...) ou non lineaire (()2,j j, 6/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discrets

SequenceXde nombres dans laquelle lenieme nombre est x(n). On ecrira : X=fx(n)g 1Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4) 8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Signaux a temps discret de base

Signaux a temps discret de base

1Impulsion unite(n),(nk)2Echelon uniteu(n)

u(n) =1X k=0(nk) =nX k=1(k) (n) =u(n)u(n1)3x

1(n) =An,x2(n) =Anu(n)4Sinuso

de :x3(n) =Acos(n!0+')5Cas general :x(n) =P+1 k=1x(k)(nk) e.g.p(n) =(n) + 0:5(n2)0:5(n4)8/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee enZTransformee enZ

La transformee enZbilaterale d'un signal a temps discretx(n)est denie par :

Z[x(n)] =X(z) =1X

n=1x(n)zn(1) ouzest une variable complexe (z2C) denie partout ou cette serie converge. 9/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier d'un signal discret

TFd'un signal discret (non periodique)

Pour un signalx(n)discret quelconque non periodique, sa transformee de Fourier (TF) s'ecrit : X(ej ) =1X n=1x(n)ej n(2) X(ej )peut ^etre exprime a partir de la transformee enZpar la relation : X(ej ) =1X n=1x(n)znz=ej =X(z)jz=ej (3)X( )estperiodiquede periode2. Ceci implique quele spectre d'un signal discret est periodique.

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier d'un signal discret

TFd'un signal discret non periodique

Exemple :x(n) =anu(n)0246810121416180

0.5 1 an avec a=0.75 -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50 1 2 3 4

Module

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1 -0.5 0 0.5 1

Argument11/ 59

Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier d'un signal discret

TFd'un signal discret non periodique

Exemple :x(n) =an;pourn= 0:::N10246810121416180

0.5 1 an limité à 6 points -0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.50 1 2 3 4

Module

-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-2 -1 0 1 2

Argument12/ 59

Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Condition d'existence de laTFCondition d'existence de laTF(1/3) Une condition susante a la convergence de laTFpeut ^etre determinee comme suit (x(n)est diteabsolument sommable) : jX(ej )j 1X n=1jx(n)j<1 De plus, la serie converge uniformement vers une fonction continue de Certaines sequences ne sont pasabsolument sommablesmais sont decarre sommable(ou a energie nie), i.e. 1 X n=1jx(n)j2<1(4)

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Condition d'existence de laTFCondition d'existence de laTF(2/3) Ces sequences peuvent ^etre representees par une transformee de Fourier mais sans convergence uniforme de la somme innie denissantX(ej

Cela signie que l'erreurjX(ej

)XM(ej )jne tend pas vers0quand M! 1mais que par contre l'energie de l'erreur tend vers0.

Exemple :

H(ej ) =1;j j< c 0; c14/ 59 Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Condition d'existence de laTFCondition d'existence de laTF(3/3) H M(ej ) =MX n=Msinn cnejn

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Signaux a temps discrets

Transformee de Fourier discrete

Transformee de Fourier discrete

X(k) =N1X

n=0x(n)ej2knN ;k= 0;;N1(5) x(n) =1N N1X k=0X kej2knN ;n= 0;;N1(6)AH(A)^W ()^W A

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Systemes discrets

4. Systemes discrets

1Systemes lineaires invariants dans le temps

2Representation temporelle

3Analyse par transformee enZ4Representation frequentielle

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

1Un signal d'entreee(n)esttransformeen un signal de sortie

s(n): s(:) =T[e(:)]2Un systeme est ditlineaireetinvariantdans le temps ssi :

T[ae1(n) +be2(n)] =a T[e1(n)] +b T[e2(n)]

8e1(:);8e2(:);8(a;b)

e(n)T!s(n))e(nk)T!s(nk)8e(:);8k2(N)

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

Produit de convolution (1/2)

e(n) =+1X k=1e(k)(nk) s(n) =T[e(n)] =T[+1X k=1e(k)(nk)] =+1X k=1e(k)T[(nk)]

On poseh(n) =T[(n)], alors

s(n) =+1X k=1e(k)h(nk) =e(n)h(n) =h(n)e(n)

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

Produit de convolution (2/2)

Un systeme discret est donc entierement caracterise par sareponse impulsionnelleh(n). L'operationliant la sorties(n)a l'entree e(n)et a la reponse impulsionnelle du systemeh(n)est appelee produit de convolution.

Exemple-30-20-1001020300

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 indice temporel: n reponse impulsionnelle h(n) -30-20-1001020300 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 indice temporel: n signal entrée e(n) -30-20-1001020300 1 2 3 4 5 6 7 8 indice temporel: n signal de sortie y(n)h(n): reponse impulsionnelle;e(n): entree du systeme;s(n): reponse du systeme a l'entree

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Analyse et synthese des ltres numeriques: une introduction

Systemes discrets

Systemes discrets lineaires invariants dans le temps

Equation aux dierences nies

Une equation aux dierences nies peut s'ecrire sous la forme : s(n) =NX k=1a ks(nk) +MX k=0b ke(nk)(7)Systemerecursifounon-recursifReponse impulsionnelle innie (RIIou IIR) ou nie (RIFou FIR)

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