[PDF] INJECTIONS, SURJECTIONS, BIJECTIONS - Christophe Bertault PDF Cours%20-%20Injections,%20surjections,%20bijections.pdf

Définition (Bijection) Soit f : E −→ F une application Les assertions suivantes sont équivalentes : • f est injective sur E et surjective de E sur F • ∀y ∈ F

[PDF] Chapitre I Applications, généralités

L'application est injective et surjective, elle est donc bijective III – Opérations générales sur les applications 1 Restriction Définition : On suppose et donnés

[PDF] Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques:

Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques: Exercice 11 Soit E, F et Montrer que f est injective et que g l'est aussi si f est surjective 2 On suppose g ◦ f dans F Montrer que f est bijective ssi f est surjective ssi f est injective

[PDF] §54 Injectivité, surjectivité, bijectivité

On dit qu'une application linéaire f : Rn → Rm est injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective Si Im(f ) atteint tout l'espace d' arrivée Rm

[PDF] Applications - Injections - Surjections - Bijections - Lycée dAdultes

20 août 2017 · Définition 10 : Soit f une application de E dans F f est bijective sur F si f est injective et surjective Tout élément de F possède un et un seul

[PDF] Injection, surjection, bijection

1 f est-elle injective ? surjective ? 2 Montrer que Exercice 3 On consid`ere quatre ensembles A,B,C et D et des applications f : A → B, g : B → C, h : C → D

[PDF] Applications linéaires injectives, surjectives, bijectives - Base

application linéaire, ainsi que les définitions générales d'injectivité, de surjectivité , et de bijectivité Injectivité Propriété : L'application linéaire f est injective si

[PDF] Fonctions et applications - Institut de Mathématiques de Toulouse

le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 1 5 5 −5 On se donne deux parties A et B de E et on définit l'application f : P(E) −→ P(E)

[PDF] Corrigé du TD no 6

(a) L'application f est-elle injective? En d'autres bijective, en particulier elle est injective et surjective Comme f n'est pas surjective, elle n'est pas bijective

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INJECTIONS,SURJECTIONS,BIJECTIONS

Cechapitregénéralise un certainnombre deconceptsimportants duchapitre "Rappels etcompléments sur les fonctions ».

Nous avons manipulé ensemble déjà pas mal defonctions,maispresque toujours définies sur une partie de?et à valeurs dans

?. Nous aurons désormais souvent l"occasion de travailler avec des fonctionsDÉFINIES SUR DES ENSEMBLES QUELCONQUES

etÀ VALEURS DANS DES ENSEMBLES QUELCONQUES des ensembles de ce que vous voulez, pas forcément des ensembles

de nombres. Dans tout ce chapitre,E,F,G... sont des ensemblesQUELCONQUES.

1 VOCABULAIRE USUEL DES APPLICATIONS

Qu"est-ce qu"une fonction? On se contente généralement de dire ce qu"une fonctionFAITpour éviter d"avoir à dire ce

qu"elleEST: " Une fonction associe à tout élément d"un ensemble un unique élément d"un autre ensemble. » Ceci hélas n"est

pas une définition, quel est donc ce quelque chose qui " associe » une chose à une autre?

Intuitivement, une fonction c"est une figure, une courbe, ungraphe. La fonctionx?-→x2par exemple peut être vue

comme l"ensemble des points du plan de coordonnéesx,x2,xdécrivant?. On vous a sans doute expliqué qu"il ne faut pas

confondre une fonction et sa courbe représentative. Avec ladéfinition qui suit, au contraire, très anglo-saxonne et bien peu

française, toute fonctionESTson graphe. Définition(Application/fonction, image et antécédents)

Application/fonction :On appelleapplication(oufonction)de E dans Ftoute partiefdeE×Fpour laquelle :

?x?E,?!y?F,(x,y)?f.

La présence du pseudo-quantificateur?! permet de noterf(x)l"uniquey?Fde la proposition ci-dessus. La

proposition(x,y)?fn"est donc en fait jamais notée ainsi mais plutôty=f(x).

Image/antécédents :Pour tousx?Eety?F, siy=f(x), on dit queyestL"image de x par fet quexestUN

antécédent de y par f.

Ensemble de définition, ensemble d"arrivée, image : L"ensembleEest appelé l"ensemble de définition(oude départ)de f.

L"ensembleFest appelé unensemble d"arrivée de f.

L"ensemblef(E) =

y?F| ?x?E,y=f(x) =f(x)|x?Eest appelé l"image de f. Ses éléments sont appelés lesvaleurs de f.

Expression " à valeurs dans... » :SoitBune partie deF. On dit quefestà valeurs dans Bsi toute valeur de

fest élément deB, i.e. si :?x?E,f(x)?B, ou encore si l"image defest incluse dansB:f(E)?B.

On représente classiquement les applications de deux façons soit au moyen de " patates » (figure de gauche), soit au

moyen d"un graphe (figure de droite). Et à droite, pour représenter l"imagef(E)def, on projette simplement le graphe de

fsur l"axe des ordonnées. E F f(E) ??xf(x)ff(E) EF y=f(x) ?Attention !En général, l"image defest plus petite queF!

ExempleLa fonctionz?-→Re(z)2définie sur?est à valeurs dans?, mais son image est (seulement)?+.

La fonctionx?-→ixdéfinie sur?est à valeurs dans?, mais son image est (seulement) l"ensemble i?des imaginaires purs.

La fonctionθ?-→eiθdéfinie sur?est à valeurs dans?, mais son image est (seulement)?.

ExempleSoitAune partie deE. L"applicationX?-→X?Adéfinie sur?(E)est à valeurs dans?(E), mais son image est

(seulement) l"ensemble des parties deEqui contiennentA. 1

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Définition(Restriction et prolongements)SoitAune partie deE. Restriction :Soientf:E-→Fune application. On appellerestriction de f à A, notéef

A, l"application définie

surASEULEMENTpar la relationf

A(x) =f(x)pour toutx?A.

Prolongements :Soitf:A-→Fune application. On appelleprolongement de f à Etoute applicationgdeE

dansFpour laquelleg

A=f, i.e. pour laquellef(x) =g(x)pour toutx?A.

Restreindre/prolonger une application, c"est diminuer/augmenter la taille de son ensemble de définition.

?Attention !Toute application possèdeBEAUCOUPde prolongements, on parle toujours d"UNprolongement et non " du » prolongement. Les figures ci- contre représentent deux prolongements de la fonctionx?-→1 définie sur[1,2]. Définition(Ensembles d"applications)L"ensemble des applications deEdansFest notéFEou?(E,F). ?Attention !Ne confondez pasFEetEF!

Définition(Famille)SoitIun ensemble. On appellefamille(d"éléments)de E indexée par Itoute application deI

dansE. Les familles, au lieu d"être notée comme des applications,sont presque toujours notées sous la forme(xi)i?I.

L"ensemble des familles deEindexée parIest naturellement notéEI.

Une famille(x1,...,xn)d"éléments deEn"est rien de plus que l"applicationfde?1,n?dansEdéfinie par les relations :

f(1) =x1, ...,f(n) =xn, qui associe à chaque position l"élément qui lui correspond. Exemple??est l"ensemble des suites réelles,??celui des suites complexes.

ExempleUne famille d"éléments deEindexée par l"ensemble vide est une application de∅dansEet ça existe! Par

définition d"une application, l"ensemble vide une application de∅dansEet c"est la seule, appelée lafamille vide de E.

Définition-théorème(Identité, composition, itérées)

Identité :On appelle (application)identité de E, notée IdE, l"application " qui ne fait rien »!E-→E

x?-→x.

Composition :Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. On appellecomposée de f suivie de g

l"applicationg◦fdéfinie par la relationg◦f(x) =gf(x)pour toutx?E. La composition estassociative pour toutes applicationsf:E-→F,g:F-→Geth:G-→H: h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

En outre, pour toute applicationf:E-→F: IdF◦f=f◦IdE=f(neutralité de l"identité).

Itérées :Soitf:E-→Eune application. On posef0=IdEetfn=f◦...◦f? ntermespour toutn??. Les applications ainsi définies sont appelées lesitérées de f.

?Attention !En général, la composition n"est possible que dans un seul sens, et quand elle est possible dans les deux,

fetgn"ont aucune raison de commuter.

2 INJECTIONS,SURJECTIONS,BIJECTIONS

2.1 INJECTIONS

Définition(Injection)Soitf:E-→Fune application. On dit quefestinjective sur Eou que c"est uneinjection sur

Esi :?x,x??E,f(x) =f(x?) =?x=x?,

ce qui revient à dire que tout élément deFpossèdeAU PLUSun antécédent dansEparf. 2

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Plus précisément, sifest injective, les éléments de son imagef(E)possèdent tous exactement un antécédent parfalors

que les éléments deF\f(E)n"en possèdent aucun. ?y x1x2x3 fN"estPASinjective,

CERTAINSyont plusieurs

antécédents. ??y x fest injective,

AUCUNyn"a plusieurs

antécédents, certains même n"en ont pas. f(E) E F x x ?f(x) =f(x?) f Ici,fN"estPASinjective.D"un point de vue calculatoire, une application injective est une application que l"on peut " simplifier » en cours de calcul. Dès quef(x) =f(x?), alors x=x?après " simplification ». On comprend également bien l"injectivité en contraposant sa définition. L"applicationfestinjectivelorsqu"elle donnedes valeurs différentesàdespoints différents six?=x?, alorsf(x)?=f(x?). f(E)E F ??xf(x)fOn peut aussi dire les choses autrement. Parce quefdistingue à l"arrivée les éléments qui le sont au départ, l"image defest comme une copie deEà l"intérieur deF. ExempleLa fonctionz?-→zz-iest injective sur?\i. DémonstrationSoientz,z???\i. Sizz-i=z?z?-i, alorsz(z?-i) =z?(z-i), donc évidemmentz=z?. ExempleL"applicationXf?-→X?0n"est pas injective sur?(?)car par exemplef(∅) =0=f0. Théorème(Injectivité et composition)Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. (i) Sifetgsont injectives,g◦fl"est aussi. (ii) Sig◦fest injective,fl"est aussi.

?Attention !Dans l"assertion (ii),gn"a aucune raison d"être injective. Pensez par exemple aux fonctionsxf?-→exet

x g?-→x2de?dans?.

Démonstration

(i) Soientx,x??E. Sig◦f(x) =g◦f(x?), alorsf(x) =f(x?)par injectivité deg, puisx=x?comme voulu

par injectivité def. (ii) Soientx,x??E. Sif(x) =f(x?), alorsgf(x)=gf(x?)après composition parg, doncx=x?par injectivité deg◦f.

Le théorème suivant a été démontré et étudié au chapitre " Rappels et compléments sur les fonctions ».

Théorème(Injectivité et stricte monotonie)Soitf:E-→?une fonction oùEest une partie de?.

Sifest strictement monotone,fest injective.

?Attention !La réciproque est fausse en général comme le montre le graphede la fonction injective représentée un

peu plus haut. Cette fonction est injective sans être monotone, mais du coup elleN"estPAScontinue. Nous verrons plus tard

qu"une fonction injective et continue sur un intervalle y est toujours strictement monotone.

2.2 SURJECTIONS

Définition(Surjection)Soitf:E-→Fune application. On dit quefestsurjective de ESURFou que c"est une

surjection de ESURFsi : ?y?F,?x?E,y=f(x), ce qui revient à dire que l"image defest égale àF:f(E) =F, ou encore que tout élément deFpossèdeAU MOINSun antécédent dansEparf.

L"applicationfest bien sûr à valeurs dans son imagef(E)et tout élément def(E)possède un antécédent parf, donc...

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Toute application est surjective de son ensemble de définitionSUR SON IMAGE.

Attention, on ne dit pas quefest surjective deE" dans »Fmais qu"elle l"est deESURF, carfatteint alors tous les

éléments deF. En ce sens,E" couvre »Fà traversf. Cette idée d"une " couverture » justifie l"emploi de la préposition " sur ».

ExempleL"applicationX?-→X?0n"est pas surjective de?(?)sur?(?)car par exemple∅n"a pas d"antécédent par

f, il n"existe pas de partieXde?pour laquelle∅=X?0. Théorème(Surjectivité et composition)Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications. (i) Sifetgsont surjectives,g◦fl"est aussi. (ii) Sig◦fest surjective,gl"est aussi.

?Attention !Dans l"assertion (ii),fn"a aucune raison d"être surjective. Pensez par exemple auxfonctions :

f:!?-→? x?-→ex-1etg:!?-→?+ x?-→x2.

Démonstration

(i) Soity?G. Montrons queypossède un antécédent parg◦f. Ory=g(t)pour un certaint?Fpar surjectivité deg, puist=f(x)pour un certainx?Epar surjectivité def, doncy=g(t) =g◦f(x). (ii) Soity?G. Montrons queypossède un antécédent parg. Ory=g◦f(t)pour un certaint?Epar surjectivité deg◦f, doncy=g(x)si on posex=f(t)?F.

2.3 BIJECTIONS

Définition(Réciproque)Soitf:E-→Fune application. On appelleréciproque de f sur Ftoute application

g:F-→Epour laquelleg◦f=IdEetf◦g=IdF.

En termes simples,gdéfait le travail effectué parf et vice versa. Ce que l"une tricote, l"autre le détricote.

Définition-théorème(Bijection)Soitf:E-→Fune application. Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) Tout élément deFpossèdeUN ET UN SEULantécédent dansEparf:?y?F,?!x?E,y=f(x). (ii)fest injective surEet surjective deEsurF. (iii)fpossède une réciproque surF. On dit dans ces conditions quefestbijective de ESURFou que c"est unebijection de ESURF. En outre,fne possède alors qu"une seule réciproque, notéef-1. Pour tousx?Eety?F: y=f(x)??x=f-1(y).

Dans le cas d"une fonction de?dans?, cette équivalence signifie géométriquement que le graphe defet celui def-1

sont symétriques l"un de l"autre par rapport à la droite d"équationy=x. ExempleL"application IdEest bijective deEsurEde réciproque elle-même car IdE◦IdE=IdE. ExempleSoienta???etb??. La fonctionx?-→ax+best bijective de?sur?de réciproquex?-→x-ba.

DémonstrationIl nous suffit de montrer que les fonctionsxf?-→ax+betxg?-→x-bade?dans?sont

réciproques l"une de l"autre. Or pour toutx??:g◦f(x) =(ax+b)-b a=xetf◦g(x) =a×x-ba+b=x.

ExempleSoitf:E-→Euneinvolution de E, i.e. une application pour laquellef◦f=IdE. Alorsfest une bijection et

f -1=f.

Théorème(Bijectivité, réciproque et composition)Soientf:E-→Fetg:F-→Gdeux applications.

(i) Sifest bijective deEsurF,f-1est bijective deFsurEet :f-1-1=f. (ii) Sifetgsont bijectives,g◦fl"est aussi et :g◦f-1=f-1◦g-1. 4

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?Attention !Gare à l"ordre! C"est bieng◦f-1=f-1◦g-1et non pasg◦f-1=g-1◦f-1. Si vous cachez un trésor

dans un coffre (f), puis ce coffre sous terre (g), et si ensuite vous voulez récupérer votre trésor (défaireg◦f), vous devez

d"abord déterrer le coffre (g-1), puis l"ouvrir (f-1) i.e. appliquer la composéef-1◦g-1.

Démonstration

(i) Les égalitésf-1◦f=IdEetf◦f-1=IdF qui expriment la bijectivité def expriment pour la même

raison la bijectivité def-1et cela montre bien quef-1-1=f. (ii) Pour commencer : f-1◦g-1◦g◦f=f-1◦g-1◦g◦f=f-1◦IdF◦f=f-1◦f=IdEet de même :g◦f◦f-1◦g-1=IdG, doncg◦fest bijective de réciproquef-1◦g-1.

Et comment montre-t-on concrètement qu"une application est bijective? Le tableau suivant résume la marche à suivre.

Priorité

1 2

3Ce qu"on fait

Si on connaît spontanément une expression explicite def-1, on appellegla fonc- tion en question et on vérifie simplement queg◦f=IdEetf◦g=IdF. Si on ne connaît pas spontanémentf-1, on peut essayer d"en trouver une expres- sion explicite via l"équivalence :y=f(x)??x=f-1(y). Si on ne se sent pas capable de trouver une expression explicite def-1, on montre en deux temps quefest à la fois injective et surjective.Ce qu"on obtient

Bijectivité+Réciproque

Bijectivité

ExempleL"applicationzf?-→z+iz-iest bijective de?\isur?\1de réciproquez?-→iz+1z-1. f, et plus précisément quef ?\i =?\1.

ExempleL"application(x,y)g?-→(x+y,x y)de?2dans?2n"est pas injective car par exempleg(0,1) = (1,0) =g(1,0),

mais elle est bijective de (x,y)??2|x?yquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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INJECTIONS,SURJECTIONS,BIJECTIONS

1 VOCABULAIRE USUEL DES APPLICATIONS

 L"ensemblef(E) =

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A, l"application définie

A(x) =f(x)pour toutx?A.

A=f, i.e. pour laquellef(x) =g(x)pour toutx?A.

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2.1 INJECTIONS

Esi :?x,x??E,f(x) =f(x?) =?x=x?,

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CERTAINSyont plusieurs

AUCUNyn"a plusieurs

Démonstration

Sifest strictement monotone,fest injective.

2.2 SURJECTIONS

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Démonstration

2.3 BIJECTIONS

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Démonstration

Priorité

3Ce qu"on fait

Bijectivité+Réciproque

Bijectivité+Réciproque

Bijectivité

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L"ensemblef(E) =

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