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Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques: Exercice 11 Soit E, F et Montrer que f est injective et que g l'est aussi si f est surjective 2 On suppose g ◦ f dans F Montrer que f est bijective ssi f est surjective ssi f est injective

Définition (Bijection) Soit f : E −→ F une application Les assertions suivantes sont équivalentes : • f est injective sur E et surjective de E sur F • ∀y ∈ F

[PDF] Chapitre I Applications, généralités

L'application est injective et surjective, elle est donc bijective III – Opérations générales sur les applications 1 Restriction Définition : On suppose et donnés

[PDF] Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques:

[PDF] §54 Injectivité, surjectivité, bijectivité

On dit qu'une application linéaire f : Rn → Rm est injective si deux vecteurs différents ont des images différents surjective Si Im(f ) atteint tout l'espace d' arrivée Rm

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20 août 2017 · Définition 10 : Soit f une application de E dans F f est bijective sur F si f est injective et surjective Tout élément de F possède un et un seul

[PDF] Injection, surjection, bijection

1 f est-elle injective ? surjective ? 2 Montrer que Exercice 3 On consid`ere quatre ensembles A,B,C et D et des applications f : A → B, g : B → C, h : C → D

[PDF] Applications linéaires injectives, surjectives, bijectives - Base

application linéaire, ainsi que les définitions générales d'injectivité, de surjectivité , et de bijectivité Injectivité Propriété : L'application linéaire f est injective si

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le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 1 5 5 −5 On se donne deux parties A et B de E et on définit l'application f : P(E) −→ P(E)

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(a) L'application f est-elle injective? En d'autres bijective, en particulier elle est injective et surjective Comme f n'est pas surjective, elle n'est pas bijective

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Injectivite et surjectivite pour des applications quelconques: Exercice 11SoitE,FetGtrois ensembles non vides. Soitf2 F(E;F) etg2 F(F;G). 1. O nsu pposegfinjective. Montrer quefest injective et quegl'est aussi sifest surjective. 2. O nsu pposegfsurjective. Montrer quegest surjective et quefl'est aussi sigest injective. Demonstration.1.( a)Premiere methode:On suppose quegfest injective. Montrons quefest injective (c'est a dire que8x;x02E;(f(x) =f(x0))x=x0). Soitx;x02E. Sif(x) =f(x0), alors, en appliquant la fonctiong, on obtientg(f(x)) = g(f(x0)), c'est a diregf(x) =gf(x0). Commegfest injective,x=x0.

D'oufest injective.

Deuxieme methode:Soitx;x02E. Alors

f(x) =f(x0))g(f(x)) =g(f(x0)) )gf(x) =gf(x0) )x=x0cargfest injective:

D'oufest injective.

(b) O nsu pposed ep lusq uefest surjective. Soity;y02F. On suppose queg(y) =g(y0). Comme fest surjective, il existex;x02Etels quey=f(x) ety0=f(x0). On a alors gf(x) =g(f(x)) =g(y) =g(y0) =g(f(x0)) =gf(x0):

Commegfest injective, on obtientx=x0.

2. ( a)Premiere methode:Montrons quegest surjective (c'est-a-dire que8z2G;9y2F;g(y) =z). Soitz2G. La fonctiongfetant surjective, il existex2Etel quegf(x) =z, on pose alorsy=f(x), ce qui montre le resultat attendu.

Deuxieme methode:On a:

gfest surjective) 8z2G;9x2E; gf(x) =z ) 8z2G;9x2E; g(f(x)) =z ) 8z2G;9y2F; g(y) =z )gest surjective. (b) O nsu pposed ep lusq uegest injective. Montrons quefest surjective. Soity2F, on notez=g(y)2G. La fonctiongfetant surjective, il existex2Etel quegf(x) =z. On a alorsg(y) =g(f(x)) et donc, par injectivite deg,y=f(x). D'ou la surjectivite def.

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Exercice 13SoitEetFdeux ensembles non vides etf:E!F. 1.

Mo ntrerq ue,p ourt outBF,f(f1(B)) =B\f(E).

2. En d eduireq uesi fest surjective alors, pour toutB2 P(F),f(f1(B)) =B. 3.

Mo ntrerq ue,p ourt outAE,Af1(f(A)).

4. Mo ntrerq uesi fest injective alors, pour toutA2 P(E),f1(f(A)) =A. Demonstration.1.Cet teq uestiones tp resquet autologique,c ari ls utd er eecrirel esd enitionsd e y2f(A) etx2f1(B).

SoitBF.

Premiere methode:par double inclusion.

()O nco mmencep arm ontrerq uef(f1(B))B\f(E). Soity2f(f1(B)). Montrons quey2B\f(E).y2f(f1(B)) veut dire (par denition) qu'il existex2f1(B) tel quey=f(x).x2f1(B) veut dire (par denition) quef(x)2B, et de plusf(x)2f(E). D'ouy=f(x)2B\f(E) ()M ontronsm aintenantl 'inclusionr eciproque. Soity2B\f(E). Puisquey2f(E), il existex2Etel quef(x) =y. Orf(x) =y2B, doncx2f1(B), puisy2f(f1(B)). On a donc bienf(f1(B)) =B\f(E).Deuxieme methode:Directement en passant aux elements.

Soity2F. On a alors:

y2f(f1(B)), 9x2f1(B);y=f(x) , 9x2E;f(x)2B;f(x) =y ,y2Bety2f(E) ,y2B\f(E):

D'ouf(f1(B)) =B\f(E).

2. S ifest surjective, alorsf(E) =F, ainsi on a8BF;f(f1(B)) =B\f(E) =B\F=B. 3. S oitAE. Soitx2A. Par denition del'ensemblef1(), il sut de montrer quef(x)2f(A), ce qui est immediat! D'ouAf1(f(A)). 4. O ns upposem aintenantq uefest injective, on cherche a montrer l'inclusion reciproque dans la question precedente. SoitAE. Soitx2f1(f(A)). On a doncf(x)2f(A). Il existe doncx02Atel que f(x) =f(x0). Commefest injective, on obtientx=x02A. D'oux2A. On a ainsi montre Af1(f(A)).Exercice supplementaire 1SoitEetFdeux ensembles non vides etf:E!F. Montrer que f injective ssi8A;BE,f(A\B) =f(A)\f(B).

Une petite remarque: la contraposee de:

f injective) 8A;BE,f(A\B) =f(A)\f(B). est

9A;BE;f(A\B)6=f(A)\f(B))fn'est pas injective:

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Demonstration.On montre le resultat par double implication. ())O nsu pposefinjective. Montrons que8A;BE,f(A\B) =f(A)\f(B). D'apres l'exercice

7 de la che 2, il sut de montrer quef(A)\f(B)f(A\B).

SoitA;BE, et soity2f(A)\f(B).y2f(A) donc il existex2Atel quef(x) =y. De m^eme y2f(B) donc il existex02Btel quef(x0) =y. D'ouf(x) =f(x0), et commefest injective, x=x02A\B. Puisy=f(x)2f(A\B).

On a montre quef(A)\f(B)f(A\B).

(()O nsu pposeq ue8A;BE,f(A\B) =f(A)\f(B). Montrons quefest injective. Soitx;x02Etels quef(x) =f(x0). On posey=f(x),A=fxgetB=fx0g. D'apres l'hypothese, on a alors fyg=f(fxg)\f(fx0g) =f(fxg \ fx0g): Six6=x0, alorsfxg\fx0g=;ce qui est impossible vu quef(fxg\fx0g) =fyg 6=;. D'oux=x0. Ainsifest injective.Injectivite et surjectivite pour des applications sur des ensembles: Exercice supplementaire 2SoitE,Fdeux ensembles nis, etf:E!Fune application deE dansF. Montrer que: 1. f su rjectivei mpliquecard(E)card(F); 2. f i njectivei mpliquecard(E)card(F). Demonstration.C'est une application directe du principe des tiroirs: Le principe des tiroirs nous dit quecard(f(E))card(E). On a de plus egalite ssifest injective. 1. S upposonsfinjective. On af(E)F, donccard(f(E))card(F). Orfest injective, donc card(E) =card(f(E)). D'oucard(E)card(F). 2. S upposonsfsurjective, c'est a diref(E) =F. Par le principe des tiroirs, on acard(E)

card(f(E)). D'oucard(E)card(F).Exercice 10SoitE,Fdeux ensembles nis de m^eme cardinal, etf:E!Fune application deE

dansF. Montrer quefest bijective ssifest surjective ssifest injective. Demonstration.Il nous sut de montrer quefest injective ssifest surjective. ( )) On supposefinjective. On a alorscard(f(E)) =card(E) =card(F). Orf(E)Fdonc f(E) =F, c'est a direfest surjective (siAF, alorsA=Fssicard(A) =card(F)). ( () On supposefsurjective. On a alorscard(f(E)) =card(F) =card(E), ce qui montre quef est injective.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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Math I - CPGEI - P2 Correction DM 2

D'oufest injective.

Deuxieme methode:Soitx;x02E. Alors

D'oufest injective.

Commegfest injective, on obtientx=x0.

Deuxieme methode:On a:

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Mo ntrerq ue,p ourt outBF,f(f1(B)) =B\f(E).

Mo ntrerq ue,p ourt outAE,Af1(f(A)).

SoitBF.

Premiere methode:par double inclusion.

Soity2F. On a alors:

D'ouf(f1(B)) =B\f(E).

Une petite remarque: la contraposee de:

9A;BE;f(A\B)6=f(A)\f(B))fn'est pas injective:

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7 de la che 2, il sut de montrer quef(A)\f(B)f(A\B).

On a montre quef(A)\f(B)f(A\B).