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INTRODUCTION AUX FONCTIONS SP´ECIALES

Vadim Schechtman

Notes du cours. Automne 2006

Toulouse

1 2

Table de Mati`eres

Leitfaden . . . 3

Prologue. Jardin de fonctions sp´eciales . . . 4

Chapitre I. Fonctions Gamma et Beta

1. Fonctions Γ et. . . 5

2. S´erie de Stirling . . . 16

Chapitre II. Fonction hyperg´eom´etrique de Gauss

1. S´erie hyperg´eom´etrique . . . 20

2. Int´egrale de Barnes . . . 26

3.´Equation de Riemann . . . 28

4. Polynˆomes d"Euler et fonction hyperg´eom´etrique . . . 29

Chapitre III. Fonctions de Whittaker

1. Fonctions de Kummer() . . . 31

2. Fonctions de Whittaker() . . . 33

3. Fonctions d"Hermite . . . 35

Chapitre IV. Fonctions de Bessel

1. Fonctions() . . . 39

2. L"ordre semi-entier . . . 45

3. Fonctions de Macdonald . . . 46

Chapitre V. Fonctions de Legendre

1. Polynˆomes de Legendre . . . 48

2. Fonctions de Legendre . . . 50

3. Fonctions adjointes . . . 52

Chapitre VI.

´Equations de Maxwell et l"´equation d"ondes

1. Des ´equations de Maxwell `a l"´equation d"ondes . . . 53

2. Une solution de l"´equation d"ondes . . . 57

Bibliographie . . . 59

3

LEITFADEN

Jacob BERNOULLI, 1654 - 1705

Leonhard EULER, 1707 - 1783

Jean Baptiste Joseph FOURIER, 1768 - 1830

Johann Carl Friedrich GAUSS, 1777 - 1855

Friedrich Wilhelm BESSEL, 1784 - 1846

Charles HERMITE, 1822 - 1901

Leopold KRONECKER, 1823 - 1891

Georg Friedrich Bernhard RIEMANN, 1826 - 1866

James Clerk MAXWELL, 1831 - 1879

Hermann HANKEL, 1839 - 1873

Heinrich Martin WEBER, 1842 - 1913

Robert Hjalmar MELLIN, 1854 - 1933

Edmund Taylor WHITTAKER, 1873 - 1956

Peter Joseph William DEBYE

(Petrus Josephus Wilhelmus DEBIJE), 1884 - 1966

George Nevill WATSON, 1886 - 1965

4

PROLOGUE

JARDIN DES FONCTIONS SPECIALES

0.1.Toutes les fonctions sp´eciales qu"on va discuter, peuventˆetre ´ecrites sous

une forme de certainsint´egrales d´efinies(oup´eriodes) ou les int´egrales curvilignes (le long d"un contour).

On peut les diviser en deux classes:

la premi`ere classe, deux facteurs sous int´egrale: 2

1(1)(2)la fonction() (beta) d"Euler

Cas d´eg´en´er´e, ou cas limite:

()la fonction Γ() (gamma)

0.2.La deuxi`eme classe, trois facteurs sous int´egrale:

j i(1)(2)(3)fonction hyperg´eom´etrique de Gauss(;)

Cas particuliers:

polynˆomes de Jacobi; fonctions (polynˆomes) de Legendre

Cas limite:

(1)(2)fonctions de Whittaker() oufonctions hyperg´eom´etriques confluentes.

Cas particuliers:

polynˆomes deLaguerreet polynˆomes d"Hermite.quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5