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1

Fonction de transfertFonction de transfert

2 Plan Fonction de transfert d"un système▪Définition▪Exemples

Connexions de fonctions de transfert▪Fonctions de transfert en série▪Fonctions de transfert en parallèle

Fonction de transfert d"un système bouclée

Propriétés de la fonction de transfert

3

Fonction de transfert

Soit un système tel que:On appelle la

fonction de transfert d"un système, le rapport de la transformée de Laplace du signal de sortie

à celui de

l" entrée

SYSTEME

s(t)e(t) S(p)

F(p) =

E(p) 4

Fonction de transfert

SYSTEME

s(t)e(t) Écrire l"équation différentielle qui lie l"entrée e(t) et la sortie s(t) du systèmeAppliquer la Transformée de Laplace à l"équation différentielle S(p)

F(p) =

E(p) Exprimer la fonction de transfert F(p) du système 5

Exemple 1

CR s(t) = V c(t) e(t) = V e(t) ce c dV (t)

V (t) = RC + V (t)

dt

S(p) 1F(p) = = E(p) 1 + RC p

( ) ( ) ( ) 0e cV t R i t V t C dV t i t C dt

Loi des mailles :

e c cV (p) = RCpV ( ) V (p) p

Transformée de Laplace :

Fonction de transfertCircuit RC

6

Exemple 2

2 (Mp +Bp+K)Y(p) = F(p)

Système mécanique

Kf r(t)= K x(t) y(t) M Bf v(t)= Bv(t) f(t) dy(t) v(t) = dt 2

2d y(t)

M =f(t) - Ky(t) - Bv(t)

dt 2 2 dy (t) dy(t)

M + B + Ky(t) = f(t)

dt dt 2

Mp Y(p) + BpY(p) + KY(p) = F(p)

Fonction de transfert du système :

- Sortie y(t) - Entrée f(t) 2

Y(p) 1 =F(p)

Mp + Bp + K

7

Forme générale

nm

0 1 n 0 1 m

nm de(t) d e(t) ds(t) d s(t) a e(t)+a +...+a = b s(t)+b +...+bdt dt dt dtSYSTEME s(t)e(t) n m

0 1 n 0 1 m

E(p) a + a p +...+ a p = S(p) b + b p +...+ b p

2 n

0 1 2 n

2 m

0 1 2 ma + a p + a p ...+ a p

S(p)F(p) = = E(p)

b + b p + b p ...+ b p 8

Pôles et zéros

2 n

0 1 2 n

2 m

0 1 2 m

a + a p + a p ...+ a p

S(p) ( )

F(p) = =

E(p) ( )

b + b p + b p ...+ b p

N pD p=

Pôles et ZérosLes

zéros de la fonction de transfert: N(p) = 0 Les pôles de la fonction de transfert: D(p) = 0

Les zéros: z

iet les pôles p jpeuvent être réels ou complexes. La puissance la plus élevée du dénominateur donne l"ordre du système. 9

Réponse temporelle

F(p)

S(p)E(p)

S(p)

F(p) =

E(p)

S(p) = F(p) × E(p)

-1 s(t) = TL F(p)×E(p)

Pour un système donné : La réponse du système peut être déterminée par :

10

Propriétés

La fonction de transfert d"un système est la transformée de Laplace de sa réponse impulsionnelle. système s(t)e(t) = Impulsion

S(P) = E(p) ´F(p)

E(p) = 1

S(P) = F(p)

11

Propriétés

On peut déterminer la fonction de transfert d"un système à partir de son

équation différentielle.

Exemple:

Considérons le système dont l"équation différentielle est: La transformée de Laplace de cette équation avec les valeurs initiales nulles est:

La fonction de transfert:

dy(t) du(t) + 2y(t) = + u(t) d(t) dt(p + 2)Y(p) = (p + 1)U(p)

Y(p) p + 1

F(p) = =

U(p) p + 2

12

Propriétés

On peut obtenir l"équation différentielle d"un système à partir de la fonction de transfert en remplaçant la variable p par l"opérateur différentiel

D défini par:

d D dt

Exemple:

Étant donné

22p + 1

F(p) =

p + p + 1 L"équation différentielle du système est: 2 s 2D + 1 = e

D + D + 1

2D s + Ds + s = 2Ds + e

2

2d s(t) ds(t) de(t)

+ + s(t) = 2 + e(t) dt dt dt 13

Propriétés

On peut déterminer la stabilité d"un système linéaire àpartir de son équation caractéristique: Elle s"obtient en égalant à zéro le dénominateur: D(p) = 0Le système est stable si toutes les racines du dénominateur ont leur partie réelle négative.

Stabilité

14

Connexions

Fonctions de transfert en série:

F1(p) E(p) F2(p) S(p) Fn(p)

Feq(p)

E(p) S(p) eq S(p)

F (p) =

E(p) n

1 2 n ii=1

= F (p) × F (p) × ... × F (p) = F p - La fonction de Transfert équivalente est: 15

Connexions

Fonctions de transfert en parallèle:

Feq(p)

E(p) S(p) eq S(p)

F (p) =

E(p) F1(p) E(p) F2(p) S1(p) Fn(p) S2(p) Sn(p)

S(p) = ∑∑∑∑S

i(p)( )

1 2 n i1

= F (p) + F (p) + ... + F (p) = F p n i=∑ 16

Systèmes bouclés

En contre réaction (positive)

G(p)H(p)

S(p) R(p) E(p) e(p) eq S(p)

F (p) =

E(p) G(p)

1 - G(p) H(p)=×

1

S(p) = E(p)

1 - G(p)H(p)?´S(p) = G(p) ×

ε(p)(

S(p) = G(p)× E(p) + R(p)

S(p) = G(p)× E(p) + H(p)×S(p)

G(p) 17

Système bouclé

En contre réaction (négative)

G(p)H(p)

S(p) R(p) E(p) e(p) eq S(p)

F (p) =

E(p) G(p)

1 + G(p) H(p)=×

1

S(p) = E(p)

1 + G(p)H(p)?´S(p) = G(p) ×

ε(p)(

S(p) = G(p)× E(p) - R(p)

S(p) = G(p)× E(p) - H(p)×S(p)

G(p) 18quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10