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TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20161
Travaux dirigés d"automatiqueNo1
Exercice 1 - transformée de Laplace
Démontrer les propriétés suivantes de la transformée de Laplace :1. La transformée de Laplace d"un produit de convolution de deux fonctions du temps est égale
au produit des transformées de Laplace de ces fonctions.2. La réponse d"un système linéaire invariant s"obtient en faisant la convolution de sa réponse
impulsionnelle avec le signal d"entrée.3. La fonction de transfert d"un système est la transformée de Laplace de sa réponse impulsion-
nelle.4.f(tτ)=eτsF(s)avecF(s) =f(t)etf(t)causale.
Exercice 2 - réponse harmonique d"un système Un système a la fonction de transfert suivante :F(s) =Y(s)
U(s)=1s+a
aveca >0. On applique à l"entrée de ce système un signal sinusoïdalu(t) =Asin(ωt)Γ(t).1. Calculer la transformée de LaplaceU(s)deu(t)sans utiliser les tables de transformées.
2. En déduire la transformée de LaplaceY(s)de la sortie, puis son expression temporelley(t).
3. Vérifier quey(t) =AF(jω)sin(ωt+ arg(F(jω)))en régime permanent.
4. Démontrer, que cette propriété est vraie dans le cas général à condition que les pôles deF(s)
soient à partie réelle négative.Exercice 3 - modélisation d"un système
On désire modéliser le système d"entraînement des têtes de lecture/écriture d"un disque dur. Le
bras supportant ces têtes est en rotation autour d"un axe et sa position est donnée par la grandeur
Un actionneur électromagnétique permet de le mouvoir. Le bras a une inertieJet son axe a uncoefficient de frottement visqueuxf. L"effet de l"actionneur est compensé par un ressort de raideur
K r(en Nm/rad) qui est au repos lorsqueθ= 0.Le coupleΓgénéré par l"actionneur est proportionnel au courantIbcirculant dans une bobine :
Γ =KbIb. La bobine qui a une résistanceRbet une inductanceLbest alimentée par une tension u.1. Ecrire les équations différentielles du système.
2. En déduire la fonction de transfert entreU(s) =u(t)etΘ(s) =θ(t).
3. On donne les valeurs suivantes pour les constantes du système :J= 1e5m2.kg,Kb=
0.05N.m/A,Rb= 1Ω,Lb= 1mH,f= 1e5Nms/rad,Kr= 0.1Nm/rad. Faites l"applica-
tion numérique et déduisez-en la réponse indicielle du système.TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20162
Travaux dirigés d"automatiqueNo2
Exercice 1 - Calcul d"une réponse temporelle
On considère un système de fonction de transfertG(s) =0.1(s+10) (s+2)(s+1).1. Calculez la réponse indicielle du système dans le cas où ilest initialement au repos
2. Calculez la réponse indicielle dans le cas où
-y(0) = 2 -y(0) = 03. Comparez le comportement en régime permanent dans les deux cas
Exercice 2 - Tracé d"une réponse temporelle
On considère un système de fonction de transfertG(s) =10(s+2) (s+5)(s+50).1. Calculez le gain statique du système
2. Tracez l"allure de la réponse indicielle qu"on obtiendrait s"il n"y avait pas de zéro dansG(s).
3. Déterminez l"allure de la réponse indicielle en prenant en compte le zéro.
4. Calculez exactement la réponse indicielle deG(s).
Exercice 3 - Approximations et tracés
On donne les fonctions de transfert suivantes :
1.G(s) =10(s+ 100)
(s2+ 10s+ 50)(s+ 50)2.G(s) =100(s+ 2)
s(s+ 10)23.G(s) =5 + 0.05s
s2+ 12s+ 20Pour chacune tracez la réponse indicielle en vous ramenant,si possible, à des systèmes simples.
Exercice 4 - Tracé d"une réponse temporelle
Un système a pour fonction de transfertG(s) =32 s(s+8).1. Ce système est-il stable?
2. Tracez la forme de sa réponse indicielle sans calcul.
3. On reboucle le système à l"aide d"une rétroaction négative de gain unité. Donnez la fonction
de transfert de la boucle fermée. Tracez la réponse indicielle de la boucle fermée.Exercice 5 - Identification indicielle
On a relevé la réponse indicielle d"un procédé :TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20163
01234560
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7Step Response
Time (sec)
Amplitude
A partir de cette réponse proposez une fonction de transfertpour ce procédé.TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20164
Travaux dirigés d"automatiqueNo3
Exercice 1
Soit la fonction de transfert :
G(s) =10(s+ 10)
s(s+ 2)(s+ 5)1. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques deG(s)(amplitude et phase).
2. Calculer l"erreur commise à l"intersection des asymptotes entre les diagrammes de Bode
asymptotiques et les diagrammes réels.Exercice 2
Soit la fonction de transfert :
G(s) =10e0.2s(s+ 2)
s2+ 2s+ 1001. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de l"amplitude et de la phase deG(s).
2. Calculer l"erreur commise à l"intersection des asymptotes dans le diagramme d"amplitude.
3. Calculer la phase enω= 2etω= 10.
Exercice 3
Soit le système bouclé suivant :
???G(s) =4s(s+5)? r(t)y(t)+1. Tracer les diagrammes de Bode asymptotiques de l"amplitude et de la phase deG(s).
2. En déduire directement un diagramme de Bode asymptotiquede l"amplitude deT(s) =Y(s)
R(s) (la fonction de transfert du système bouclé) sans calculerT(s).3. Comparer ce dernier diagramme au diagramme de Bode asymptotique de l"amplitude deT(s)
obtenu après calcul deT(s).TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20165
Travaux dirigés d"automatiqueNo4
Exercice 1 - simplification de shémas
Simplifier les schémas fonctionnels suivants et donner la fonction de transfert entreU(s)et Y(s). +-F1(s)-+F1(s)U(s)Y(s) +-U(s)F1(s)+-F2(s)Y(s) +-U(s)F1(s)F2(s)-++-F3(s)Y(s) F4(s)Exercice 2 - moteur à courant continu
Soit un moteur à courant continu dont les caractéristiques sont les suivantes : Induit : courant
I, tensionU, inductanceL= 3mH, résistanceR= 1 Ω, inertieJ= 0.01m2kg, frottement visqueuxf= 3.103Nm/rad.s1. Coefficient de couple = coefficient de fcem =K= 1.3Nm/A=1.3V/rad.s1. Le moteur produit un coupleΓsur l"arbre dont la vitesse angulaire de rotation est
1. Etablir le schéma fonctionnel du moteur en faisant apparaître les grandeursU,I,ΓetΩ,
ainsi qu"une entrée de perturbation de couplePvenant s"additionner au couple moteur.2. Simplifier ce schéma de manière à obtenir la relationΩ(s) =F(P(s),U(s)).
3. Déterminer numériquement les pôles de la fonction de transfertΩ(s)
U(s).4. Même question pourJ= 0.1m2kg. Conclusion.
Exercice 3 - réducteur avec élasticité (DIFFICILE) Donner la fonction de transfert du dispositif ci-dessous dont l"entrée estΓmet la sortieθa.Donner le schéma bloc du système et dessiner l"allure de la réponse indicielle.JmetΓmsont
Réducteur
1/NΓmJm
JrΘr
KrRessortAxe de sortieAxe moteur
ΓaJaΘa
respectivement l"inertie et le couple de l"axe moteur. Le réducteur a un rapport de réduction de
1/N. L"axe de sortie du réducteur a une inertieJret la position angulaire de l"axe de sortie est
TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20166
notéeθr. La flexibilité est modélisée par un ressort en torsion de raideurKr. L"axe de sortie a une
inertieJa, le couple qu"il subit estΓaet sa position angulaire etθa.TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20167
Travaux dirigés d"automatiqueNo5
Exercice 1
Déterminez si les systèmes suivants sont stables : a)G(s) =10(s+ 20) s(s2+ 12s+ 20) b)G(s) =5e0.2s (s2)(s10)(s50) c)G(s) =20(s10) s42s3+s2+ 5s+ 10Exercice 2
En utilisant le critère de Routh, déterminer en fonction dek, la stabilité des systèmes bouclés
dont l"équation caractéristique est la suivante : a)d(s) =s3+ (k+ 1)s2+ks+ 50 b)d(s) =s4+ 20s3+ 15s2+ 2s+k c)d(s) =s4+ 2ks3+ 2s2+ (k+ 1)s+ 2 d)d(s) = 2s4+s2+s+ 10kDéterminer les valeurs dektelles que ces systèmes sont à la limite de stabilité et donner la
fréquence des oscillations si ces systèmes sont oscillants.Exercice 3
Un système a la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :G(s) =k(s+ 10)(s+ 20)
s2(s+ 2)En utilisant le critère de Routh, déterminer en fonction dek, la stabilité de ce système bouclé par
retour unitaire. Déterminer les valeurs dektelles que le système bouclé est à la limite de stabilité
et donner la fréquence des oscillations si le système boucléest oscillant. Faites de même en utilisant le critère de Nyquist.Exercice 4
Un système a la fonction de transfert en boucle ouverte suivante :G(s) =k(s+ 2)
s(1 +Ts)(1 + 2s) Déterminer en fonction deketT, la stabilité de ce système bouclé par retour unitaire.TD d"automatique - Licence 3 ESA - 2015/20168
Travaux dirigés d"automatiqueNo6
Exercice 1
Tracer le lieu de Nyquist des fonctions de transfert suivantes en indiquant les intersections avecl"axe réel et déterminer en appliquant le critère de Nyquistles valeurs dek0pour lesquelles les
systèmes de fonction de transfert en boucle ouverteG(s)sont stables en boucle fermée avec retour
unitaire. 1.