[PDF] [PDF] TOPOLOGIE

[PDF] Chapitre 1 ESPACES TOPOLOGIQUES

L'intervalle [0, 1[ est un ouvert de [0, 2] muni de la topologie induite par Tu, Les notions d'intérieur, d'adhérence et de frontière dépendent de la topologie 

[PDF] Topologie générale

1 4 Intérieur, adhérence, frontière, limites 1 4 1 Définitions Définition 1 17 Soit (E ,τ) un espace topologique et A ⊂ E • a ∈ E est dit adhérent à A ssi ∀V ∈ Va, 

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5 fév 2016 · 4 Intérieur - Adhérence - Frontière - Point d'ac- cumulation Soient A et B deux parties d'un espace topologique X 4-a Intérieur Définition 4 1

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Topologie faible définie par une famille de sous-espaces 61 Ω dans R est continue, nulle sur la frontière de Ω et strictement positive dans Ω, donc

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4) Intérieur, adhérence, frontière, partes denses Un certain nombre de résultats d'analyse en sup sont de la topologie : la définition de la convergence

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ble ouvert, ils seraient points-frontière de tout ensemble et ne jouerait aucun rôle dans cette topologie Nous sup poserons qu'il n'y en a pas 3 On a encore les 

[PDF] TOPOLOGIE

Une partie A d'un espace métrique (X, d) est un ouvert pour la topologie Td Définition : Un point x ∈ X est un point frontière de A ⊂ X si tout voisinage de x 

[PDF] Topologie générale

euclidienne dans Rn (intérieur, adhérence, frontière, continuité, connexité, compacité) semble X et d'une topologie T sur X est appelé espace topologique

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Anne Cumenge.

Ces notions ont été dénies à l'aide de celles de distance et de norme, que nous rappelons ci-dessous.

(?1)º(x) = 0 =)x= 0E

Un espace vectoriel normé (plus précisément un K-espace vectoriel normé (en abrégé e.v.n., plus précisément K-

e.v.n.)) est un couple(E;º)??E??? ?? ?????? ??º??? ????? ???E? norme euclidienne :jjxjjeucl=¡nP j=1jxjj2¢1=2;????? ??? ?jjxjj1=max1·j·njxjj?º+(x) =nP j=1jxjj ??????? ????a2X??r????¸0? B(a;r) =fx2X=d(x;a)< rg??? ?? ????? ??????? ?? ??????a?? ?????r B

0(a;r) =fx2X=d(x;a)·rg??? ?? ????? ?????? ?? ??????a?? ?????r

?????? ??????? ?? ??????a?? ????? ? ???]a¡r;a+r[??????[a¡r;a+r]?? En pratique, on suppose toujours qu'un e.v.n. est muni de la distance associée à la norme. ????x= (x1;:::;xn);y= (y1;:::;yn)2Rn? d d +(x;y) =jx1¡y1j+:::+jxn¡ynj d

1(x;y) =max(jx1¡y1j;:::;jxn¡ynj):

1. Structure topologique : dénition par famille d'ouverts.

(O ?? ?????? ??X? exemples :[0;¼]?F=f0g [ f1 n ?;??X???? ??? ??????? (III); 2 F??X2 F? n ;x+1 n ?8V2 V(a) :a2V ???V12 V(a)??V22 V(a)? ?????V1\V22 V(a) ???V2 V(a)??V½B? ?????B2 V(a) ?8V2 V(a);9W2 V(a)jW½V??(8y2W ; V2 V(y))? ?? ??????? ??X????? ??? ? ???8V2 W(a) :a2V ??????V12 W(a)??V22 W(a)? ?????V1\V22 W(a) ???????V2 W(a)??V½B? ?????B2 W(a) ????8V2 W(a);9W2 W(a)jW½V??(8y2W ; V2 W(y))?

V(x) =fV½X =9r >0; B(x;r)½Vg

chacune des familles suivantes est un s.f.v. dex? fB(x;r); r >0g?fB0(x;r); r >0g?fB(x;1 n n Tout espace métrique est à bases dénombrables de voisinages. (a)????? ????? ??????? ?????? ??????? ??X??? ?? ?????? ?????? ?? ????? ? ?? ?? ±A½A??±A??? ?? ???? ????? ?????? ??X?????? ????A?A??? ?????? ???±A=A?±

±A=±A

A½B=)±A½±B?Int(A\B) = IntA\IntB???J??? ??????Int(\j2JAj)½ \j2JIntAj? A?

Remarque : SiS(x)??? ?? ?????? ??x? ????? ?x2

A() 8V2 S(x); V\A6=;?

En particulier, dans un métrique :x2

A() 8" >0;B(x;")\A6=;?

A=±

XA??{X±A=

XA? On déduit alors les propriétés de l'adhérence de celles de l'intérieur : A½ A?? A=A? A= A

A½B=)A½B?A[B=A[B???J??? ??????[j2JA

j½[ ?? ?? ????FrA??@A?

FrA = Fr({XA) =

A\ XA =

An±A?

A=X? ???? ?????? ??X????T1??? ?????? ??X????T2? La relation "est moins ne que" est une relation d'ordre partiel sur l'ensemble des topologies surX? x2X? ?T1????? ??? ???T2() O1½ O2() F1½ F2() V1(x)½ V2(x);8x2X?

Plus la topologie est ne, plus riche est la structure topologique; ainsi, siT1??? ????? ??? ???T2? ????

B½X?? ? ?IntT1B½IntT2B½B½adhT2B½adhT1B? d? n

A???? ??? ?????? ???????

1. Limites de fonctions.

1.1. Généralités

y????? ?? ???????VX(¯)??? ?? ??????SX(¯)? lim x!¯f(x) =y() 8V2 VY(y); f¡1(V)2 VX(¯)? ???A=Xn f¯g? ?? ?????limx!¯ x6=¯f(x) =y?

R=R[f¡1;+1g

8V2 V(`);9n0=n0(V)2N; n¸n0=)xn2V :

R??? ?????? ??? ??????? ?? ?? ??????? ???

V(¡1) =fW½

R;9®2R;[¡1;®[½Wg;V(+1) =fW½

R;9®2R;]®;+1]½Wg?

et pourx2R:V(x) =fW½

R;9" >0;]x¡";x+"[½Wg

R?

Silimx!¯

Remarque : la réciproque est fausse en l'absence d'hypothèse supplémentaire surX? x n!`???????n!+1?n2N? ?? ??? ???`????? ????? ?????? ??(xn)n????X? ??????p=p(n)¸n??? ???xp2V? (en d'autres termes sifj2N;xj2Vg??? ??????? ???J=N? ???J=fj1;:::;jpg??? ???? ?? ???? ?????V0i=Vji????i= 1;:::;p??V0i=Vjp;8i¸p?? (V0i)i2N??? ?????? ?? ????? ??x?? Par ailleurs, la propriété suivante est très utile :

A? ????? ?

lim x!¯

2.1. Continuité ponctuelle.

??limx!af(x) =f(a)? ???8A½X?f(

A)½

f(A) ff(x)>0g??? ?? ?????? ??X??????

X???Y?

R?

R?????? ???'(§1) =§1??'(x) =tg(¼

2 ??([¡1;+1];¿)???(

3.1. Dénition et premières propriétés.

V

0??y???? ???V\V0=;?

tout sous-espace d'un espace séparé est séparé. tout espace métrique est séparé. de x est réduite au singletonfxg? , et¯?? , alorsfx2X ; f(x) =g(x)g??? ????? ???? ?? ?????f´g??? ??

1. Dénitions. Propriétés métriques.

????a2X??r????¸0? B(a;r) =fx2X=d(x;a)< rg??? ?? ????? ??????? ?? ??????a?? ?????r B

0(a;r) =fx2X=d(x;a)·rg??? ?? ????? ?????? ?? ??????a?? ?????r

S(a;r) =fx2X=d(x;a) =rg??? ?? ?????? ?? ??????a?? ?????r?

Sir= 0? ????? ?S(a;r) =B0(a;r) =fag?B(a;r) =;?

????? ??????? ?????? ??????? ?? ??????a?? ????? ? ???]a¡r;a+r[??????[a¡r;a+r]?? (2)X=

R? ????Ã:

arctg(y)??y6=§1?Ã(¡1) =

¡1; Ã(+1) = +1? ?????? ????x;y2

R? d(x;y) =jÃ(x)¡Ã(y)j? ????? R? Dans un espace métrique discret :B(a;r) =fag??0< r·1?B(a;r) =X??r >1: d e(x;y) =³Pn d +(x;y) =Pn j=1jxj¡yjj d

1(x;y) =max1·j·njxj¡yjj:

0 nX j=1jaj+bjjp1 A1=p ·0 nX j=1jajjp1 A1=p +0 nX j=1jbjjp1 A1=p ? ?? ? ? ? ?? ??????d(x;A) =infa2Ad(x;a)? R +? ???? ? ?supx2A;y2Ad(x;y)?

Remarque : la conservation des distances implique l'injectivité; on pourrait remplacer "bijection" par

"surjection" dans la dénition.

2.1 Dénition. Premières propriétés.

V(x) =fV½X =9r >0; B(x;r)½Vg

fB(x;r); r >0g?fB0(x;r); r >0g?fB(x;1 n n (a)????? ????? ??????? ?????? ??????? ??X??? ?? ?????? ?????? ?? ????? ? ?? ?? ????? ?????? ??? ?? d? ?? ??????? ?? ??????fB(x;");" >0g??? ?? ?? ?? ? ??x? ??? ????? ? f:A¡!(Y;±): y= limx!¯;x2Af(x)???8" >0;9V2 VE(¯); x2A\V=)±(f(x);y)< "?

> Si une suite converge dans X métrique, sa limite est la seule valeur d'adhérence de cette suite.

> Si une suite converge dans un métrique(X;d)? ?? ? ? ??????? ?? ?? ??????? > Soit X espace topologique,A½X?¯2 ?????? ?????x???? ????¯?x??????? ????A? ????? ?????? ??? ??????? fx2X = f(x) =g(x)g??? ????? ???? ??

> Les parties fermées d'un espace métrique sont celles qui contiennent les limites de leurs suites conver-

gentes. y= limx!¯;x2Af(x)() 8(an)n½A????? ???(an)n?? ????¯?(f(an))n?? ????y? x2¹A() 9(an)n½A????limn!+1an=x ()d(x;A) = 0

3.1. Continuité uniforme.

8" >0;9´=´(")>0;8x;x02X;d(x;x0)< ´("))±(f(x);f(x0))< "?

Une application uniformémenr continue sur X est continue en tout point de X; la réciproque est fausse :

Distances bornées uniformément équivalentes à une distance donnée : f

8" >0;9n0(")2N;8n;m¸n0(") :d(xn;xm)< "?

Y

On pose pourf;g2 F(X;Y)?

e

1(f;g) = sup

x

2Xd(f(x);g(x))2R+[ f+1g??±(f;g) =min(1;e1(f;g)?

e ?? ??? ???e1??? ?? ????? ???F(X;Y)? ????F(X;Y)? R pr

La topologie produit est la moins ne des topologies sur X rendant continues les projectionsprj: (X1£

X

2;T1£T2)!(Xj;Tj)? ??????

(2) un ouvert d'un espace produit n'est pas nécessairement un produit d'ouverts.

A=pr1(A)£pr2(A)??

?????? ??X1??X2? ???f!=!1£!22 Bja2!g??? ?????? ?? ? ????X=X1£X2? fV1£V2jVj2 Vj(aj); j= 1;2g??? ?? ?????? ?? ? ????X? SiSj(aj)??? ?? ?????? ??aj????Xj?????S1£ S2:=fW1£W2jWj2 Sj(aj)g??? ?? ?????? ?? ? ???? ?? R 3? et, plus généralement : X un résultat souvent utile sur les coupes : A

1£A2=±A

1£±A

2?? A

1£A2=

A 1£ A 2 Rmq : en général :Fr(A1£A2)6=Fr(A1)£Fr(A2)?

2.1. Applications à valeurs dans un produit.

Proposition 2.1.??? ?????(x(n)

1;x(n)

1)n ??(x(n) (f1(y);f2(y))2X1£X2? ??????f????? ??? ??????`= (`1;`2)????? ? ???? ????¯?? ??????? ????A ???fj?????`j???? ?????? ????? ? ???? ????¯?? ??????? ????A? ??a1??a2? ???????X£X? Y??? ?????? ?? ?????? ??f??? ????? ???? ?? ???????X£Y? j=1Ej? ????x= (x1;:::;xn);y= (y1;:::;yn)2

E? ?? ???? ?

1=max1·j·ndj(xj;yj) ;±e(x;y) =¡nX

j=1(dj(xj;yj))2¢1=2;±+(x;y) =nX j=1d j(xj;yj): j=1Ej x= (xn)n?y= (yn)n2E=Q n2NEn?±(x;y) =P1 n=0d n(xn;yn) 2 ????E=Q

1. Suites de Cauchy. Espaces complets.

8" >0;9n0(")2N;8n;m¸n0(") :d(xn;xm)< "

lim n!+1¡sup p¸0d(xn;xn+p)¢= 0?

Toute suite de Cauchy est bornée

Toute sous-suite d'une suite de Cauchy est elle-même une suite de Cauchy.

Toute suite convergente est de Cauchy.

(a) Si f est uniformément continue de X dans Y et(xn)n??? ????? ?? ?????? ?? ?? ?????(f(xn))n???

1+jxj¡y

???? ??? ????(R;d)? F et f une application de A dans Y. Alors : f admet un point limite quandx!¯?x2A (b) Toute partie fermée d'un métrique complet X est une partie complète de X. Donc dans un métrique complet, les parties complètes sont les parties fermées. ?????? ???±(f;g) =min(1;e1(f;g)? ??e1(f;g) = sup x2Xd(f(x);g(x))2R[ f+1g? ????F(X;Y) Un tel complété est unique à bijection isométrique près. f(®) =®?

0·k <1??? ???±(f(x);f(y))·kd(x;y)???? ????x;y2X?

1. Dénitions. Propriétés générales.

La compacité est une propriété topologique : si deux espaces X et Y sont homéomorphes, X est compact

ssi Y l'est. (cf. thm 4.1. ci-après).

Exemples : Un espace ni séparé est compact. Un espace discret est compact ssi il est ni.Rn????? ???

?? ?????\n2NFn6=;: (b) une suite d'un espace compact converge SSI elle admet une et une seule valeur d'adhérence.

une partie A d'un espace X est compacte SSI A est séparée et pour toute famille(!i)i2I?? ??????? ??X

Remarque : par transitivité des topologies induites, siA½X½Y?A??? ?? ??????? ??X???A??? ?? ??????? ??Y?quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25