I 1 Règles utilisées pour factoriser une expression avec un facteur commun On essaye de voir comment est constituée l'expression pour voir quelle règle l'on
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[PDF] Comment factoriser une expression - UQAC
COMMENT FACTORISER UNE EXPRESSION ? 1) La méthode du facteur commun : Le principe : Si tous les produits d'une même somme contiennent un
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Effectuer une factorisation, c'est transformer une expression donnée sous la commun Exemples • Mettre 5 en facteur dans l'expression 5a + 15 5a + 15 = 5 × a Finalement, il a suffi d'écrire entre les crochets l'expression E sans les deux
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On dit qu'on a mis en évidence le facteur commun a Remarque : On Factoriser les expressions suivantes en mettant en évidence les facteurs communs : (1)
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Transformer une expression en un produit de facteurs s'appelle la factorisation Pour ce faire, nous Le résultat est écrit sans enveloppe , c'est à dire sans parenthèses – ou plus rigoureusement Comment factoriser ? Regarder l' Dans cet exemple, chaque terme comporte le facteur commun ( x – 2 ) Soulignons-le
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Pour factoriser, il faut trouver dans l'expression un facteur commun Trouver le facteur commun de ces expressions, puis factoriser et réduire si possible : la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de
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Méthodes de factorisation Exemple : dans l'expression , 2x² + 5x + 7 , il y a trois termes qui sont le premier 2x² , le deuxième 5x et le troisième 7 Astuce : pour faire apparaître les facteurs communs , on n'hésite pas à utiliser de la couleur Astuce : Lorsque le facteur commun est seul sans multiplicateur , il faut penser à
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B En pratique : comment factoriser une expression ? Q2 Les termes sont des produits sans facteur commun Q3 On a une différence de deux carrés a b 2 2
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Peut-être l'expression est-elle déjà factorisée Si oui, vérifiez que chaque parenthèse est elle-même factorisée • Repérer d'abord un facteur commun à tous les
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Factorisation d"une expression algébrique
Définition
Factoriser une expression algébrique consiste à la transformer pour qu"elle soit sous la forme d"un pro-
duit de facteurs le plus simples possibles.±bigskip d
Remarque :Toutes les expressions algébriquesne sont pas factorisables dansR.Exemple :x41 ne peut pas se factoriser dansR.
I Factorisations faisant appel à un facteur commun I.1 Règlesutiliséespour factoriser une expression avecun facteur communOn utilise les deux règles suivantes :
abaca(bc) abaca(bc)I.2 Exemplesavecun facteur commun
1) 2xy3xzx(2y3z)
2)x23x
xx3xx(x3)3)Factoriser(2x3)(5x7)(2x3)(2x9).
On essaye de voir comment est constituée l"expression pour voir quelle règle l"on va utiliser. (2x3) a(5x7) b(2x3) a(2x9) c abacen posant :a2x3 b5x7 c2x9 a(bc) (2x3)[(5x7)(2x9)] (2x3)(5x72x9) (2x3)(3x16) donc : (2x3)(5x7)(2x3)(2x9)(2x3)(3x16)4)Factoriser(3x5)(7x4)(5x3)(3x5).
(3x5) a(7x4) b(5x3) c(3x5) a abcaen posant :a3x5 b7x4 c5x3 1 Remarque :abcaabaca(bc). En remplaçanta,betcpar leurs expressions, on trouve : (3x5)[(7x4)(5x3)] (3x5)(7x45x3)(attentionau signe - devant la parenthèse) (3x5)(2x1) donc : (3x5)(7x4)(5x3)(3x5)(3x5)(2x1)5)Factoriser(7x1)2(7x1)(32x).
On remarque que : (7x1)2(7x1)(32x)
(7x1) a(7x1) a(7x1) a(32x) b aaabaveca7x1 b32x a(ab) (7x1)[(7x1)(23x)] (7x1)(7x123x) (7x1)(10x1)Par conséquent : (7x1)2(7x1)(32x)(7x1)(10x1)
6)Factoriser(x3)2(x3).
Il est clair que (x3)est un facteur commun.
(x3)2(x3) (x3) a(x3) a(x3) a1 aaa1 aveca(x3) a(a1) (x3)[(x3)1] (x3)(x2).D"où : (x3)2(x3)(x3)(x2)
I.3 Avecun facteur commun moins apparent
7)Factoriser: (3x5)(2x7)(6x10)(x13).
Il n"y pas de facteur commun apparent, mais il est clair que 6x102(3x5). Par conséquent : (3x5)(2x7)(6x10)(x13)(3x5)(2x7)2(3x5)(x13). (3x5) a(2x7) b2(3x5) a(x13) c ab2acaveca3x5 b2x7 cx13 a(b2c) (3x5)[(2x7)2(x13)] (3x5)(2x72x26) (3x5)(19)19(3x5).
Par conséquent : (3x5)(2x7)(6x10)(x13)19(3x5)
8)Factoriser(15x3)(2x7)10x2.
On remarque que : 15x35(3x1) et10x2(10x2)2(5x1).
Par conséquent :
Page 2/4
(15x3)(2x7)10x23(5x1) a(2x7) b2(5x1) a3ab2aaveca5x1 b2x7 a(3b2) (5x1)(3(2x7)2) (5x1)(6x212) (5x1)(6x19).D"où : (15x3)(2x7)10x2(5x1)(6x19)
II Factorisations sous forme d"identitésremarquables On utilise l"une des trois identitésremarquables vues au collège : (ab)2a22abb2 (ab)2a22abb2 (ab)(ab)(ab)(ab)a2b29)Factoriser: 9x242x49.
Il n"y aucun facteur commun donc on recherche si on peut faireapparaître une identité remarquable.
9x242x49(3x)22(3x)772a22abb2aveca3x
b7 (ab)2 (3a7)2.Par conséquent : 9x242x49(3x7)2
10)Factoriser: 100x2121.
100x2121(10x)2112a2b2aveca10xetb11
(ab)(ab) (10x11)(10x11).D"où : 100x2121(10x11)(10x11)
11)Factoriser(2x9)2(3x13)2.
On voit que l"expression est la différence de deux carrés, cequi fait penser à une identitéremarquable.
(2x9)2(3x13)2 a2b2aveca(2x9) etb(3x13) (ab)(ab) [(2x9)(3x13)][(2x9)(3x13)] (2x93x13)(2x93x13) (5x4)(x22)Par conséquent : (2x9)2(3x13)2(5x4)(x22)
III Avec facteur commun et identitésremarquables12)FactoriserA(4x4)(5x13)(x1)x21
On remarque que : 4x44(x1) etx21x2x2(x1)(x1) (identité remarquable).Par conséquent :
A4 (x1) a(5x13) b(x1) a(x1) c(x1) aPage 3/4
4abacaaveca(x1);b(5x13) et(x1)
a(4bc) (x1)[4(5x13)(x1)] (x1)(45x13x1) (x1)(4x16) (x1)4(x4)4(x1)(x4)
D"où :A(4x4)(5x13)(x1)x214(x1)(x4)
13)FactoriserBx24x4(15x)(2x)(x2)
On remarque que :x24x4x22x222(x2)2(identité remarquable) et que (2x)(1) (x2)(x2).Par conséquent :Bx24x4(15x)(2x)(x2)
(x2)2(15x)(1)(2x)(x2) (x2) a(x2) a(15x) b(x2) a(x2) aaveca(x2),b(15x) aabaa a(ab1) (x2)[(x2)(15x)1] (x2)(x215x1)(x2)(6x2) (x2)2(3x1)2(x2)(3x1).
Par conséquent :
Bx24x4(15x)(2x)(x2)2(x2)(3x1)
IV Quand on nevoit ni facteurcommun, ni identitéremarquable, on peut essayerde développer... Remarque : une expression peut ne pas être factorisable!Exemple :x2914)Factoriser3x25x18(3x2)(5x9).
On ne voit ni facteur commun , ni identitéremarquable.En développant, on trouve;
A3x25x18(3x2)(5x9)
3x25x18(15x227x10x18)
3x25x1815x227x10x18
18x222x
92xx112x
2x(9x11).
D"où : 3x25x18(3x2)(5x9)2x(9x11)
Remarque :
Vous verrez en Première une technique pour factoriser, lorsque cela est possible, toute expression du second
degré, c"est-à-dire une expression du typeax2bxc,a,betcréels,a0.