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Exercice 1 4 points

On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;+∞[par : f(x)=xe-x-0,11. Déterminer la limite de f en

2. Etudier les variations de f sur

[0;+∞[ et dresser le tableau de variations.

3. Démontrer que l'équation f(x)=0 admet une unique solution notée

α sur l'intervalle [0;1].

On admet l'existence du nombre réel strictement positif β tel que

α<β et f(β)=0.

On note c la courbe représentative de la fonction f sur [α;β] dans un repère orthogonal et c' la courbe symétrique de c par rapport à l'axe des abscisses. L'unité sur chaque axe représente 5 mètres.

Ces courbes sont utilisées pour délimiter un massif floral en forme de flamme de bougie sur le-

quel seront plantées des tulipes.

4. Démontrer que la fonction F, définie sur l'intervalle

[α;β] par :

F(x)=-(x+1)e-x-0,1x

est une primitive de la fonction f sur l'intervalle [α;β].

5. Calculer, en unités d'aire, une valeur arrondie à 0,01 près de l'aire du domaine compris entre

les courbes c et c On utilisera les valeurs arrondies à 0,001 près suivantes :

α=0,112 et β=3,577.

6. Sachant que l'on peut disposer 36 plants de tulipes par mètre carré, calculer le nombre de

plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif.

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CORRECTION

Pour tout nombre réel x de l'intervalle ]0;+∞[ : f(x)=xe-x-0,11. e-x=1 ex f(x)=x ex-0,1 limx→+∞ex x= +∞ (résultat de cours) donc pour l'inverse limx→+∞x ex=0

Conclusion

limx→+∞f(x)= - 0,1

2. f est dérivable sur

]0;+∞[ (e-x)'=-e-x f'(x)=1×e-x+x×(-e-x)=(1-x)e-x

Pour tout nombre réel x de l'intervalle

]0;+∞[ ; e-x>0 donc le signe de f'(x) est le signe de : 1-x.

1-x⩽0 ⇔ 1⩽x

1-x⩾0 ⇔ 1⩾x f(0)=0×e0-0,1=-0,1

Tableau de variations

f(1)=e-1-0,1=1 e-0,1= 0,27 à

10-2 près

3. f est continue et strictement croissante sur [0;1], f(0)=-0,1 < 0 et f(1)=1

e-0,1> 0, le théorème des

valeurs intermédiaires nous permet d'affirmer qu'il existe une unique solution à l'équation f(x) = 0.

On note

α cette solution.

4. F est dérivable sur [α;β].

Pour tout nombre réel x de cet intervalle.

F'(x)=xe-x-0,1=f(x)

donc F est une primitive de f sur [α;β].

5. On donne le signe dela fonction f sur

[0;+∞[ en utilisant les résultats précédents

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f est continue et positive sur [α;β] donc l'aire, en unités d'aire, du domaine plan compris entre la

courbe c, l'axe des abscisses et les droites d'équations x=α et x=β est : f(x)dx=F(β)-F(α) c

' est la courbe symétrique de c sur [α;β] donc l'aire du domaine plan compris entre les deux

courbes est égale à deux fois l'aire précédente c'est à dire : 2(F(β)-F(α))en unités d'aire

β=3,877 à 10-3 près F(β)=-(β+1)e-β-0,1β= -0,486 à 10-3 près α=0,112 à 10-3 près F(α)=-(α+1)e-α-0,1α= -1,005 à 10-3 près F(β)-F(α)=0,519 à 10-3 près et 2(F(β)+F(α))=1,038 à 10-3 près. L'aire du domaine considéré est égal à 1,04 à 10-2 près.

6. Une unité sur chaque axe représente 5m donc l'unité d'aire représente 25m2 ;

L'aire du massif floral est : 25×1,04=26m2.

Le nombre de plants de tulipes nécessaire à la réalisation de ce massif est :

36×26= 936 plants

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