Correction TD 1 : Approximation de fonctions Lorsque on veut estimer les paramètres adéquats pour ce modèle en fonction des données (n points (xi,yi),
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[PDF] Correction TD 1 : Approximation de fonctions
Correction TD 1 : Approximation de fonctions Lorsque on veut estimer les paramètres adéquats pour ce modèle en fonction des données (n points (xi,yi),
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Sur l'intervalle [0, π], l'approximation de f par g est bonne; à l'extérieur de cet intervalle, l'erreur peut devenir énorme Corrigé de l'exercice 3 1-4 p (f) (t) = f (x0) L0
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Pour la fonction f = 1−x2, fx = −2x, f (0) = 0, df = 0, ce qu'il n'est pas très correct d 'écrire Il faut à ce stade passer à l'approximation quadratique 2) Pour savoir
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Correction TD1 : Approximation de fonctions Lorsque on veut estimer les param`etres adéquats pour ce mod`ele en fonction des données (n points (xi,yi), i = 1
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Probl`eme de l'interpolation : on recherche des fonctions “simples” f(xi) o`u f(x) est une fonction donnée, il est alors intéressant d'étudier l'erreur de l' approximation Fourier et fonctions continues (fausse preuve de Cauchy, correction de
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SUJET BLANC N◦1 - Correction PROBLÈME I : Théorème d'approximation de Weierstrass Le but de cette partie est Toute fonction continue sur un intervalle [a, b] est limite uniforme d'une suite de fonctions poly- nomiales A - Théorème
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Calculer le polynôme d'interpolation de Lagrange de la fonction f(x) = x(x2 − 1) relativement aux points x0 = −1, x1 = 1 et x2 = 2 Correction : Les valeurs de la
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Donner la formule d'erreur d'approximation de Lagrange sup x∈[−1,1] f(x) − P1(x) en fonction de M = sup z∈[−1,1] f (z) Correction : Le résultat principal
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Cette approche conduit aux méthodes d'interpolation polynomiale Elle permet également d'approcher la fonction en dehors de l'intervalle initial • On cherche à
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d) Obtenir des approximations de f(1,5) à l'aide des 2 polynômes obtenus en a) et en b) 1 où les (n + 1) fonctions Li(x) sont définies par : Li(x) = (x - x0)···(x
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1ère année
Correction TD 1 : Approximation de fonctions
NB : Ne sont corrigés ici que les exercices n"ayant pas été corrigés en TD (pour ces exercices, cf. vos notes).
1 Méthode des moindres carrés
Exercice 1 (quartet d"Anscombe)Le statisticien Francis Anscombe a défini en 1973 plusieurs ensembles
de données ayant une propriété intéressante. Les voicixyxyxyxy10:08:0410:09:1410:07:468:06:588:06:958:08:148:06:778:05:7613:07:5813:08:7413:012:748:07:719:08:819:08:779:07:118:08:8411:08:3311:09:2611:07:818:08:4714:09:9614:08:1014:08:848:07:046:07:246:06:136:06:088:05:254:04:264:03:104:05:3919:012:5012:010:8412:09:1312:08:158:05:567:04:827:07:267:06:428:07:915:05:685:04:745:05:738:06:891.A l"aide d"une c alculatrice,c alculerles c oefficientsde r égressionliné airedes 4 ensembles.
2.Que vaut le minimum de
S(a;b) =nX
i=1(yiaxib)2 pour chaque ensemble? 3.Que r emarquezvous ?1
4.V oiciune r eprésentationgr aphiquedes 4 jeux de donné es(cf. p agepr écédente).Dans quels c asl"utili-
sation de la régression linéaire semble t-elle pertinente? Dans quels cas ne l"est-elle pas? Justifier.
Exercice 2 (régression linéaire pondérée)Soit le modèle de régression linéaire f(x;a;b) =ax+bLorsque on veut estimer les paramètres adéquats pour ce modèle en fonction des données (npoints(xi;yi),
i= 1;:::;n) et de leurs incertitudes, on cherche les paramètresaetbminimisant2(a;b) =nX
i=1 yiaxib i 2 =nX i=1w i(yiaxib)2 avecil"écart-type de l"erreur commise sur la mesure deyi. On ai=1pw i. Notons les moyennes pondéréesx pety pdéfinies de la manière suivante :x p=n X i=1w ixin X i=1w iy p=n X i=1w iyin X i=1w i 1.Montr erqu"au minimum de 2,bvaut
b=y pax p 2.Montr erqu"au minimum de 2,avaut
a=n X i=1w i(xix p)(yiy p)n X i=1w i(xix p)2 3.Supp osonsque les é cart-typesdes err eursc ommisessur yisoient égaux. Que valentaetb?1. On cherche le minimum de la fonction2. Pour cela, il faut chercher où le gradient de2vaut0. On doit
donc calculer les dérivées partielles de2par rapport àaetb. Celles-ci valent8>>>><
2@a =2nX i=1w ixi(yiaxib) 2@b =2nX i=1w i(yiaxib) Le minimum de2est donc atteint pour(a;b)solution de8>>>><
>>>:n X i=1w ixi(yiaxib) = 0 n X i=1w i(yiaxib) = 0 La seconde ligne du système à résoudre donne n X i=1w i(yiaxib) = 0()nX i=1w iyianX i=1w ixibnX i=1= 0 2D"où
b=1n X i=1w i nX i=1w iyianX i=1w ixi! =y pax p2. Si on réécrit le système à résoudre, on a
8>>>><
>>>:n X i=1w ixi(yiaxib) =nX i=1w ixi(yiy pa(xix p)) = 0 n X i=1w i(yiaxib) =nX i=1w i(yiy pa(xix p)) = 0Si on multiplie la deuxième ligne parx
pet qu"on la soustrait à la première ligne, on obtient n X i=1w ixi(yiy pa(xix p))x pnX i=1w i(yiy pa(xix p) = 0x p0 = 0 Or 0 = nX i=1w ixi(yiy pa(xix p))x pnX i=1w i(yiy pa(xix p) =nX i=1w i(xix p)(yiy pa(xix p)) nX i=1w i(xix p)(yiy p)anX i=1w i(xix p)2Et finalement, on obtient
a=n X i=1w i(xix p)(yiy p)n X i=1w i(xix p)23. Supposons maintenant que les écart-types des erreurs commises suryisoient égaux. Cela veut dire que
leswiont tous la même valeur, notons cette valeurw. Les moyennes pondérées valentx p=n X i=1w ixin X i=1w i=wnX i=1x iw nX i=11=1n n X i=1x i=xy p=n X i=1w iyin X i=1w i=wnX i=1y iw nX i=11=1n n X i=1y i=yOn remarque quex
pety psont égales aux moyennes usuellesxety. Pouraetb, on a a=n X i=1w i(xix p)(yiy p)n X i=1w i(xix p)2=wnX i=1(xix p)(yiy p)w nX i=1(xix p)2=n X i=1(xix)(yiy)n X i=1(xix)2 b=y pax p=yax On retrouveaetb, les deux coefficients de la régression linéaire. 32 Interpolation
Exercice 3La mesure de la tension aux bornes d"un dipôle a donné les valeurs suivantest[s]034U[V]8:040
On suppose que cette tension varie suffisamment lentement pour qu"on puisse l"approximer par un polynôme
de degré faible. Estimez à partir de ces données l"instant ^toù la tension devrait atteindre son maximum,ainsi que la tension^Uen ce maximum.On suppose que la tension varie suffisamment lentement pour qu"on puisse l"approximer par un polynôme de
degré faible. On va donc interpoler la tension aux points(0;8),(3;4)et(4;0). Pour cela, on va contruire la
forme lagrangienne du polynôme d"interpolation notéL. On rappelle que ce polynôme est une combinaison
linéaireL(x) =nX
j=0y j`j(x) de polynômes de Lagrange j(x) =nY k=0;k6=jxxkx jxk=xx0x jx0:::xxj1x jxj1xxj+1x jxj+1:::xxnx jxn Dans notre casnvaut2, l"indicejvarie donc de0à2et0(x) =xx1x
0x1xx2x
0x2=x303x404=112
(x3)(x4)1(x) =xx0x
1x0xx2x
1x2=x030x434=13
x(x4)2(x) =xx0x
2x0xx1x
2x1=x040x343=14
x(x3) et le polynôme d"interpolation vautL(x) =2X
j=0y j`j(x) =8`0(x) + 4`1(x) + 0`2(x) =812 (x3)(x4)43 x(x4) = (x4) 23(x3)43 x = (x4)(2x+ 2) =2x2+ 10x8 et sa dérivée L
0(x) =4x+ 10
d"où le tableau des variations suivantx L0(x)L(x)02:54
+0 88^U= 4:5^
U= 4:5003
4La tension maximale est donc atteinte en
^t= 2:5et elle vaut^U= 4:5 4Exercice 4Soit le programme Scilab suivant
function y = interpo(x,xi,yi) n = size(xi,2) // nombre de points d"interpolation // xi vecteur contenant les xi // yi vecteur contenant les yi, (xi,yi) points d"interpolation y = 0 ; // y va contenir le resultat de l"interpolation for j = 1:n l = 1 ; for k = 1:n if (k == j) // cas ou k = j // Rien a faire else // sinon l = l.*(x - xi(k))./(xi(j) - xi(k)) ; end end y = .......................... ; end endfunctionCompléter le fichier pour queysoit le résultat de l"interpolation polynômiale des points(xi;yi)calculé enx.
Justifier votre choix.
Exercice 5Le polynômePinterpole la fonctionfsuivante aux points d"abscisses1,2,4. f(x) =4xP(x) =12
x272 x+ 7 1. Vérifier que Pinterpole bienfaux points d"abscisses1,2,4. 2.Calculer l"err eur
(x) =f(x)P(x) 3. Quand c etteerr eurpr endel lesa valeur maximale p ourxdans[1;4]? 4. Que fair ep ourr éduirec etteerr eur?1. On a que f(1) = 4P(1) =12 72+ 7 = 73 = 4 f(2) =42 = 2P(2) =12 2272
2 + 7 = 27 + 7 = 2
f(4) =44 = 1P(4) =12 42724 + 7 = 814 + 7 = 1
Le polynômePinterpole bienfaux points d"abscisses1,2et4.2. L"erreur vaut
(x) =4x 12 x2+72 x7 =12x8x3+ 7x214x=12x(1x)(2x)(4x) 53. Pour savoir où l"erreur prend sa valeur maximale sur[1;4], on calcule sa dérivée. On a
0(x) =4x
2x+72Il nous faut déterminer le signe de0pour connaitre les variations de. Cependant, ceci n"est pas accessible
directement. On va donc calculer la dérivée seconde0000(x) =8x
31et on a le tableau des variation suivant pour0x 00(x)
0(x)124
+0 32321
21
2 34
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