[PDF] [PDF] Existence de la fonction exponentielle

[PDF] Existence de la fonction exponentielle

On est alors assuré de l'existence d'une fonction f telle que f(x) = lim n> 0, c'est à dire pour n + x > 0 donc pour n > −x condition (C1) on a: n(n + 1)(1 + x

[PDF] Equation differentielle y=y Existence de la fonction exponentielle

même (f' = f) et qui vérifie la condition initiale f(0) = 1 L'existence est délicate à prouver et les programmes officiels suggèrent d'admettre provisoirement ce 

[PDF] Fonctions exponentielles

22 fév 2008 · Fonctions exponentielles 1 1 Premi`ere condition nécessaire La démonstration directe de l'existence d'une solution de cette équation 

[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques

L'existence est admise - Démontrons que f ne s'annule pas sur ℝ Soit la fonction h définie sur ℝ par Pour tout réel x, on a : La fonction h est donc constante

[PDF] La fonction exponentielle - Lycée dAdultes

24 nov 2015 · Démonstration : L'existence de cette fonction est admise On suppose que deux fonctions f et g vérifient les conditions du théorème, soit

[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE 1 Définition de la fonction « exp » : 2

tion de l'équation différentielle y′ = y, avec la condition initiale exp(0) = 1 Définition 3 On appelle « exponentielle » ou « nombre e » le nombre réel e = exp (1), dont Existence : Elle sera démontrée ultérieurement, après le cours sur les  

[PDF] Chapitre 3 : Fonction exponentielle

Démonstration : L'existence d'une fonction définie et dérivable sur ℝ avec en considérant une fonction qui vérifie les mêmes conditions que et

[PDF] La fonction exponentielle complexe

La fonction exponentielle x → ex est d'une grande importance en analyse réelle Nous allons verifiant la condition initiale y(0) = 1 même condition ininiale y(0 ) = 1 d'o`u l'existence d'une contante C ∈ C telle que, pour tout x ∈ R, e

[PDF] fraction algébrique

[PDF] fraction algébrique exercices

[PDF] fractions algébriques conditions d'existences

[PDF] fraction algébrique théorie

[PDF] fraction algébrique definition

[PDF] fraction algébrique 3ème exercices

[PDF] domaine d'une fonction definition

[PDF] condition d'existence math

[PDF] condition de germination des graines 6eme

[PDF] pour germer une graine a besoin

[PDF] tp de germination des graines pdf

[PDF] conditions germination graines pdf

[PDF] la germination des graines cours pdf

[PDF] les étapes de la germination pdf

[PDF] tp germination graines 6ème

Existence de la fonction exponentielle

On considère les suites réelles(

)et( )définies pour tout1par : 1+ q´ et 1 q´

La démarche est alors la suivante :

Démontrer que les deux suites sont adjacentes et admettent donc une limite commune. Cette limite dépend bien sûr de.

On peut alors créer une fonctionqui à toute valeur deassocie cette limite. On est alors assuré de l'existence d'une fonctiontelle que() = lim+ 1+ q´ = lim 1 q´ pour toutréel. On montrera alors enfinque(0) = 1et queest dérivable avec 0

Il ne reste plus alors qu'à conclure.

1. Soit la propriéré(): pour tout réel1(1 +)

1+ Démontrer que cette propriété est vraie pour toutde

2. Démontrons que(

())est croissante :

2.1.Vérifier que1+

q+1=³

1+q´

1q(+1)¡1+

q

2.2. En remplaçant dans l'expression de

+1 en déduire que +1 1+ q´ +1

1q(+1)¡1+

q +1

2.3. Montrer qu'à partir d'un certain rang,

q(+1)¡1+ q ¢1

2.4. En appliquant la propriétéàÃ

1 q(+1)¡1+ q +1 montrer qu'alors +1

2.5. Conclure sur la monotonie de(

3. En remarquant que

()=1 ()démontrer que( ())est décroissante.

4. Démontrons quelim

()) = 0

On pourra majorer à l'aide de

1+ q´ et³ 1 q´

5. Conclure concernant les suites(

())et( ())et leurs limites.

6. Soit donc() = lim

()Montrer que(0) = 1

7. Montrons queest dérivable et que

0 ()=()pour tout

On va donc essayer d'étudier la limite de

quandtend vers 0, pour unfixé quelconque.

7.1.Ecrire ce qu'est(+)

7.2. Vérifier queµ

1+ q´ 1+ q 1+ q

7.3.Montrer que pour||1et+1en utilisant encore la propriété

que 1++ 1+ q´ 1+ 1+q

7.4. En déduire que(+)()(1+)

7.5 En réécrivant cette expression pour+et en remplaçantpar

montrer que()(+)() ()1ou()1(+)()()

7.6 Conclure

On considère les suites réelles(

)et( )définies pour tout1par : 1+ q´ et 1 q´

1. Soit la propriéré(): pour tout réel1(1 +)

1+ Démontrer que cette propriété est vraie pour toutde

Démonstration par récurrence

: Supposons1;Soit( ):(1 +) 1+

F(1 +)

0 =1+0×=1La propriété est donc vraie pour=0 FHérédité : Supposonsvraie,.c'est à dire(1 +) 1+

Dès lors,(1 +)

+1 =(1+) (1 +)donc(1 +) +1 (1 +)(1+)puisque11+0

Et(1 +)

+1 2 +++1 +puisque 2 +10 (+1)

La propriété est donc vraie à l'ordre+1

La propriété est donc vraie pour=0; la supposant vraie à l'ordreelle l'est encore à l'ordre+1

Elle est donc vraie pour tout

C'est à dire,1,(1 +)

1+

2. Démontrons que(

())est croissante :

2.1.Vérifier que1+

q+1=³

1+q´

1q(+1)¡1+

q 1+ q´

1q(+1)¡1+

q =1+ qq(+1)

Il sut alors de réduire le 2

membre au même dénominateur :³ 1+ q´

1q(+1)¡1+

q =1+ qq(+1) =1+ (+1) q(+1) =1+ q(+1) =1+ q+1

Donc1+

q+1=³

1+q´

1 q(+1)³ 1+ q´

2.2. En remplaçant dans l'expression de

+1 en déduire que +1 1+ q´ +1 1 q(+1)¡1+ q +1 1+ q´ +1 1+ +1 1+ +1 Or1+ qq(+1)=³

1+q´

+1 1 q(+1)¡1+ q +1 Donc +1 1+ q´ +1 1 q(+1)¡1+ q +1

2.3.Montrerqu'àpartird'uncertainrang,

q(+1)¡1+ q ¢1 En multipliant les deux membres par1il sut d'établir que : q(+1)¡1+ q

¢1à partir d'une certaine valeur de

Si1+ q

0c'est à dire pour+0donc pourcondition(

1 )on a:(+1)¡1+ q ¢0

Ainsi, sous cette condition(

1 q(+1)¡1+ q

¢1(+1)¡1+

q (+1)(+) 2 2 ++ 0 En divisant parcette condition devient :+1+0donc1condition( 2 La plus restrictive de ces deux conditions étant la première, on peut écrire : q(+1)¡1+ q ¢1 q(+1)¡1+ q ¢1

Donc que

q(+1)¡1+ q ¢1

2.4. En appliquant la propriétéàÃ

1 q(+1)¡1+ q +1 montrer qu'alors +1

On a vu que pour1,(1 +)

1+ou encore, à l'ordre+1:(1 +)

+1

1+(+1)

Donc ici, en prenant

q(+1)¡1+ q

¢pour

q(+1)¡1+ q

¢1Ã

1 q(+1)¡1+ q +1

1+(+1)Ã

q(+1)¡1+ q Donc 1 q(+1)¡1+ q +1 1 q¡1+ q 1 q+ Or +1 1+ q´ +1 1 q(+1)¡1+ q +1 Donc +1 1+ q´ +1 q+ +1 q+ 1+ q´

On a donc bien

+1

2.5. Conclure sur la monotonie de(

())est donc croissante à partir d'un certain rang.()

3. En remarquant que

()=1 ()démontrer que( ())est décroissante. ())est donc croissante, propriété démontrée pour toutréel, on aura +1 ()1 +1 ()1 Donc +1 ()et( ())est donc décroissante à partir d'un certain rang.()

4. Démontrons quelim

()) = 0

On pourra majorer à l'aide de

1+ q´ et³ 1 q´ 1+ q´ 1 q´ NOr, qA1donc d'après 1+ q´

1+notée(

1

NDe même, pour,

qA1on aura.donc³

1q´

1

On prendra en faitsupérieur au plus grand des deux nombresetpour être certain des deux majorations.

Dès lors,

1 q´

11³

1 q´ 1

1la fonction inverse étant décroissante

1 1 q´ 1

1en multiplant par1notée(

2

NEt³

1+ q´ 1 q´ (1 +)1

1en faisant la somme membre à membre de(

1 )et( 2 Donc ()1 2 1 1 2 1 Orlim (1)=±suivant le signe delim 2 1=0

On en déduit quelim

()) = 0

5. Conclure concernant les suites(

())et( ())et leurs limites.

6. Soit donc() = lim

()Montrer que(0) = 1

Pour=0

(0) =µ 1+0 =1et (0) =µ 10 =1 Les suites sont constantes et on donc pour limite 1. Donc(0) = 1

7. Montrons queest dérivable et que

0 ()=()pour tout

On va essayer d'étudier la limite de

quandtend vers 0, pour unfixé quelconque.

7.1.Ecrire ce qu'est(+)

(+)= lim Donc (+) = lim 1++

7.2. Vérifier queµ

1++ 1+ q´ 1+ q 1+ q 1+ q´ 1+ q 1+ q 1+ q´ 1+ q 1+ q

Or³

1+ q´ 1+ q 1+ q q

Ainsi,

1+ q´ 1+ q 1+ q =1++ q

On en déduit que

1+ q´ 1+ q 1+ q 1++

7.3.Montrer que pour||1et+1en utilisant encore la propriété

quequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35