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DERNIÈRE IMPRESSION LE22 juin 2017 à 19:56
Cinématique dans le plan
Coordonnées polaires
Table des matières
1 Cinématique dans le plan2
1.1 Coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Formules de passages. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et coordonnéespolaires2
1.3.1 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes. . . . . . . . . 3
1.3.2 Vecteur vitesse en coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes. . . . . . 3
1.3.4 Vecteur accélération en coordonnées polaires. . . . . . . . . 3
1.3.5 Application au mouvement circulaire. . . . . . . . . . . . . 4
2 Exemples4
2.1 Spirale d"Archimède. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Mouvement d"un anneau sur une tige en rotation. . . . . . . . . . 6
2.3 Le même avec une force de rappel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
PAUL MILAN1VERS LE SUPÉRIEUR
1. CINÉMATIQUE DANS LE PLAN
1 Cinématique dans le plan
1.1 Coordonnées polaires
Définition 1 :Pour tout point M distinct de O, le couple(r,θ)tel que : r=OM etθ= (-→ı,--→OM)est appelé coordonnées polaires du point M.Le couple(x,y)est appelé coordonnées
cartésiennes du point M. M xy rO?ı?
1.2 Formules de passages
Si l"on connaît les coordonnées cartésiennes : r=? x2+y2et?????cosθ=xr sinθ=y r?on déduitθExemple :Soit M(⎷
3 ;-1). Déterminer les coordonnées polaires de M.
r=⎷3+1=2 et???????cosθ=⎷
3 2 sinθ=-12?θ=-π
6donc M?
2 ;-π6?
Si l"on connaît les coordonnées polaires :?x=rcosθ y=rsinθExemple :Soit M?
3 ;2π
3? . Déterminer les coordonnées cartésiennes de M x=3cos2π3=-32ety=3sin2π3=3⎷
3 2?M?32;3⎷
3 2?1.3 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes et coordonnées
polaires M xy r O?ex? ey ?er?eθ ?vr? vθPAUL MILAN2VERS LE SUPÉRIEUR
1. CINÉMATIQUE DANS LE PLAN
1.3.1 Vecteur vitesse en coordonnées cartésiennes
Comme le repère (O ,?ex,?ey) est fixe. On a :
v=d--→OM dt=dxdt?ex+dydt?eydonc -→v= (x?;y?)1.3.2 Vecteur vitesse en coordonnées polaires
Le repère (O ,?er,?eθ) est en mouvement avecθ.Les coordonnées de
?eret?eθdans le repère (O ,?ex,?ey) sont : er= (cosθ; sinθ)et?eθ= (-sinθ; cosθ) Si l"on dérive ses vecteurs en fonction deθ, on a : d ?er d ?eθ Comme --→OM=r?er, on a pour le vecteur vitesse : v=d--→OMLes coordonnées du vecteur vitesse sont donc :
-→v= (r?,rθ?)1.3.3 Vecteur accélération en coordonnées cartésiennes
Comme le repère (O ,?ex,?ey) est fixe. On a :
a=d2--→OM dt2=d2xdt2?ex+d2ydt2?eydonc -→a= (x??;y??)1.3.4 Vecteur accélération en coordonnées polaires
On dérive le vecteur vitesse pour obtenir le vecteur accélération : a=d-→v =r???er+r?d?er dθ×dθdt+ (r?θ?+rθ??)?eθ+rθ?d?eθdθ×dθdt =r???er+r?θ??eθ+ (r?θ?+rθ??)?eθ-r(θ?)2?er = (r??-rθ?2)?er+ (rθ??+2r?θ?)?eθ -→a= (r??-rθ?2,rθ??+2r?θ?)PAUL MILAN3VERS LE SUPÉRIEUR
2. EXEMPLES
1.3.5 Application au mouvement circulaire
Théorème 1 :Les vecteurs vitesse et accélération on pour expression dans un mouvement circulaire : Non uniforme. On poser=R(constant) etω=θ?(vitesse angulaire) -→v= (0 ,Rω)et-→a= (-Rω2,Rω?)La vitesse normale est nulle.
Uniforme. On poser=R(constant) etω0=θ?(vitesse angulaire constante) v= (0 ,Rω0) = (0 ;v0)et-→a= (-Rω20, 0) =? -v20 R, 0? L"accélération tangentielle est nulle et l"accélération normale est dirigée vers le centre O2 Exemples
2.1 Spirale d"Archimède
Un disqueDde centre O tourne dans
le plan Oxyà une vitesse angulaire constanteω0autour de l"axe Oz.Un mobile ponctuel M part de O à l"ins-
tantt=0 et est astreint à se dépla- cer une vitesse constante le long d"un rayon du disque ?v=v0?er.Le but est d"étudier la trajectoire du
point M dans le repère fixe Oxy. O?Mθ(t)r(t)
?ex? ey ?er?eθ On détermine les expressions deretθen fonction det. Comme le point M est contraint de se déplacer à vitesse constante sur un rayon, on a :r(t) =v0t Comme le disque tourne avec une vitesse angulaire constante,on a :θ(t) =ω0t Dans le référentiel terrestreR(O ;?er,?eθ): Les coordonnées du point M sont M(r,θ) = (v0t,ω0t). Les coordonnées du vecteur vitesse sont :-→v(r?,rθ?) = (v0,v0ω0t)Les coordonnées du vecteur accélération sont :-→a(r??-rθ?2,rθ??+2r?θ?) = (-v0ω20t, 2v0ω0)
PAUL MILAN4VERS LE SUPÉRIEUR
2. EXEMPLES
Pour trouver la trajectoire de M dans le repère Oxy, on peut revenir aux coordonnées cartésiennes :?x(t) =rcosθ=v0tcos(ω0t) y(t) =rsinθ=v0tsin(ω0t)On obtient alors une courbe paramétrique.
mais on peut revenir à une courbe polaire définie par la fonctionr(θ) =v0ω0×θ en effetθ=ω0t?t=θω0?r=v0t=v0ω0×θ.
Le rayon est alors proportionnel à l"angle. À chaque fois que le disque effectue un tourθ=2πle rayon augmente ded=v0ω0×2π.
C"est ce qui caractérise cette courbe appelé spirale d"Archimède(comparable au sillon de notre bon vieux vinyle). On peut remplir un tableau de valeur pour les angles caractéristiques:θ0π
4 2 3π4π5π
4 3π 2 7π 4 r(θ)0v0π4ω0
v0π2ω0
3v0π
4ω0
v0π ω05v0π
4ω0
3v0π
2ω0
7v0π
4ω0
v0ω0×2ππ
4π 2 3π 4 5π 4 3π27π
2PAUL MILAN5VERS LE SUPÉRIEUR
2. EXEMPLES
2.2 Mouvement d"un anneau sur une tige en rotation
Une tige rectiligne horizontale (OA)
tourne, à vitesse angulaire constanteω0 autour de l"axe Ozperpendiculaire au plan horizontal Oxy. Un anneau M de massemest enfilé sur cette tige et peut y glisser sans frottement.À l"instantt, la rotation de la tige est re-
pérée par l"angleθet la position de l"an- neau sur la tige parr=OM.À l"instantt=0, l"anneau à une vi-
tesse nulle par rapport à la tige et se trouve à une distancer0du point O. O Mθ(t)r(t)
-→T ?ex? ey ?er?eθ ?A Comme la tige a une vitesse de rotation constante, on a :θ(t) =ω0t. Dans le référentiel terrestreR(O ;?er,?eθ): Les coordonnées du point M sont M(r,θ) = (r,ω0t). Les coordonnées du vecteur vitesse sont :-→v(r?,rθ?) = (r?,rω0)Les coordonnées du vecteur accélération sont :-→a(r??-rθ?2,rθ??+2r?θ?) = (r??-rω20, 2r?ω0)