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Exercice 8 3 Tracer la courbe d'équation polaire ρ = cos 2θ Exercice 8 4 On considère l'arc paramétré défini en coordonnées polaires par ρ(θ) = cos 2θ + cos2 

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Chapitre 8

COURBES EN POLAIRES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 8.1Reconnaître et tracer les graphes des courbes d"équation polaires

1)ρ=1

sin?

θ-π3?

2)ρ=5

4cosθ+ 3sinθ

3)ρ= sin?

6?

4)ρ= 2cosθ-3sinθ

Exercice 8.2On considère la cardioïde d"équationρ(θ) = 1 + cosθ. Tracer rapidement son support, préciser la

tangente au pointM?π 2? Exercice 8.3Tracer la courbe d"équation polaireρ= cos2θ Exercice 8.4On considère l"arc paramétré défini en coordonnées polairespar

ρ(θ) = cos2θ+ cos

2θ

On noteCla courbe représentative associée.

1. Quelle est la périodicitéTdeρ?

Si on trace le support de l"arc lorsqueθdécrit un intervalle de largeurT, quelle transformation géométrique

doit-on effectuer ensuite afin d"obtenirCen entier?

2. Quelle est la parité deρ?

Si on trace le support de l"arc lorsqueθdécrit?

0,π

2? ,quelles transformations géométriques doit-on effectuer ensuite afin d"obtenirCen entier?

3. Pour quelle valeur deθ

0??

0,π2?

a-t-onρ(θ0) = 0? (On exprimera le résultat avec la fonctionarccos). Dresser le tableau de signe deρsur l"intervalle?

0,π

2?

4. Tracer la courbeC.Préciser les tangentes verticales et horizontales (en les justifiant).

5. La courbeCest symétrique par rapport àOy,quelle propriété deρcela traduit-il?

6. Quelle est la tangente enM(θ

0) ?Donner un procédé géométrique pour la tracer (avec la règle et le compas).

Exercice 8.5Etudier la courbe d"équation polaireρ=sinθcosθsinθ-cosθ,on précisera la branche infinie.

Exercice 8.6Tracer la courbe de représentation polaireρ(θ) = cos(3θ)-2.

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES

Exercice 8.7Tracer le support de l"arc paramétré défini en coordonnées polaires parρ(θ) =1cosθ+ cos

2θ.

On calculera la valeur exacte pour laquelle la tangente à la courbe est perpendiculaire àOM.

Exercice 8.8Tracer la courbe de représentation polaireρ(θ) = cos2θ.On prendra soin de réduire l"intervalle d"étude.

Pour quelle valeur deθ??0,

2 ?,la tangente est-elle horizontale? Exercice 8.9Etudier la courbe d"équation polaireρ(θ) = tanθ.

Exercice 8.10Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère la courbeΘ(Théta majuscule) d"équation

polaire

ρ(θ) = 1 + cos

2θ

1. Tracer la courbe en repère orthonormé. Préciser les points à tangente horizontale.

2. SoitMde paramètreθetVl"angle entre la tangente enMet la droite(OM).

(a) Pour quelles valeurs deθ??0, 2 ?a-t-onV=π

2(π)? Où se situeM(θ)dans ce cas et quelle est alors la

tangente enM? (b) ExprimertanVen fonction deθlorsqueV?=π

2(π).

(c) SoitAle point de paramètreπ

4. On noteαl"angle entre l"axeOxet la tangente enA. Calculertanα. En

déduire une équation cartésienne de la tangente enAà la courbeΘ. (d) Question bonus : SoitBle point de paramètreθ=π

2,montrer que la tangente enBrecoupeΘen deux

autres pointsCetDde paramètreγ??

0,π

2? etδ??π2,π?

Exprimerγà l"aide de la fonctionarcsin. Préciser les coordonnées deC. (On pourra utiliser le nombre

φ=1 +⎷

5

2qui est racine deX

2=X+ 1)

2Les techniques

Exercice 8.11Etudier la lemniscate de Bernoulli définie parρ(θ) =⎷cos2θ.

Exercice 8.12SoitCla cardioïde d"équation polaireρ(θ) = 1 + cosθen repère orthonormé?

O,-→i ,-→j?

. Un droite variableDpassant par l"origineOdu repère coupe, en général,Cen deux autre pointsMetM ?. On considèra que

siDest l"axeOxalorsDrecoupe bien enCen deux autres points dont l"un des deux estO(ce qui revient à voirO

comme un point double). On noteraθl"angle que faitDavec l"axeOx.

1. SiMa pour coordonnées polaires(ρ,θ),exprimer--→OMet---→OM

?à l"aide decosθet de-→ uθ= cosθ-→i+ sinθ-→j.

2. Montrer que la distanceMM

?est constante.

3. Montrer que le milieuIde[M,M

?]décrit un cercle (on pourra déterminer-→OI). -2/21-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES3. LE GRENIER

4. Montrer que les tangentesTetT?àCissues deMet deM?sont perpendiculaires.

3Le grenier

Exercice 8.13Décrire les ensembles gris en polaire Exercice 8.14Tracerρ2(θ) =1sin2θ(rép : on aρ

2sin2θ= 2ρcosθ×ρsinθce qui donne2xy= 1,hyperbole)

Exercice 8.15Tracerρ(θ) =1cosθ+1sinθ(rép : cela donneρ=ρρcosθ+ρρsinθsoit en simplifiant parρqui n"est

jamais nul1 =1 x+1y=?x+y=xy) Exercice 8.16Tracerρ=31 + 2(cosθ+ sinθ)(conique) Exercice 8.17Tracerρ=24 +⎷3sinθ+ cosθ -3/21-

G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

3. LE GRENIERCHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES

-4/21-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

Chapitre 8

COURBES EN POLAIRES

Solution des exercices

1Les basiques

Exercice 8.1

Pour 1), on a1

sin?

θ-π3?

=1cos?π 2-?

θ-π3??

1 cos?5π5-θ? =1cos?

θ-5π6?

. Il s"agit donc de la droite pas- sant parPde coordonnées polaires?

1,5π

6? et perpendiculaire à

OP. (Avecθ=π

2,onρ=1sin?π2-π3?

= 2,elle passe donc par le point de coordonnées ?0 2? 2 1 P A y x Pour 2), On sait qu"il s"agit d"une droite d"après le cours. On a

4cosθ+ 3sinθ=G?4

Gcosθ+3Gsinθ?

oùG=⎷42+ 32= 5.

Soit?tel quecos?=4

5,sin?=35,alors54cosθ+ 3sinθ=

1 cos(θ-?).La courbe d"équation polaireρ=54cosθ+ 3sinθest donc la droite passant par le pointPde coordonnées polaire(1,?) et pependiculaire à--→OP. Les coordonnées cartésiennes dePsont ?1×cos?

1×sin??

(4 5 3 5) ),ce qui permet de tracer cette droite. On peut aussi avoir son équation en car siM, de coordonnées polaires (ρ,θ)et de coordonnées cartésiennes(x,y), est sur la droite alors

ρ=5

4cosθ+ 3sinθ??4ρcosθ+ 3ρsinθ= 5??4x+ 3y= 5.

L"équation de la droite est donc4x+ 3y= 5

1 P y x

1. LES BASIQUESCHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES

Pour 3), on asin?

θ-π6?

cos 2-?

θ-π6??

= cos?2π3-θ?

2×1

2cos?

θ-2π3?

.Il s"agit donc du cercle de rayon 1

2,de centreΩde coordonnées polaires?1

2,2π3?

WWWW 1 y x

Enfin pour 4) on sait que c"est un cercle pas-

sant parOet dont les coordonnées cartésiennes du centre sont( (2 2-3 2) )=?1 -3 2? . Avecθ= 0 etθ=π

2,on voit que ce cercle passe par les points

de coordonnées?2 0? et?0 -3? WWWW 1 y x

Exercice 8.2

La fonctionρest définie surRet2πpériodique, ainsi M(θ+ 2π) =M(θ). On est donc certain d"avoir tout l"arc paramétré siθdécrit un intervalle de largeur2π. On ex- ploite ensuite les propriétés deρpour réduire l"intervalle d"étude. La parité deρpermet d"affirmer queM(-θ)est le symétrique deM(θ)par rapport àOx.On se limite donc àθ?[0,π],puis on fait une refléxion (symétrie ortho- gonale) par rapport àOx. La fonctionρest décroissante sur cette intervalle (on peut dériver si on veut, on a alors ?(θ) =-sinθ,ce qui permet de prouver que la tangente enθ= 0est perpendiculaire à-→ u

0ou à-----→OM(0)). On a

ρ >0sur[0,π[etρ(π) = 0,la tangente enM(π)est donc dirigée par-→ u

On peut donc tracer le support de l"arc :

Pour la tangente,on atanV=ρ(θ)ρ?(θ)siρ ?(θ)?= 0,d"oùtanV=1 + cosθ-sinθ=2cos 2θ 2 -2sinθ2cosθ2=-cotanθ 2= -tan?π

2-θ2?

= tan?θ2-π2? d"oùV=θ2-π2(π)siθ?= 0 (π). En particulier siθ=π2,on aV=-π4= ?OM? 2

?,T?(π)oùTest la tangente, cette dernière est donc parallèle à la première bissectrice (droitey=x).

Exercice 8.3

-6/21-G´??? H????? - E?????? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 8. COURBES EN POLAIRES1. LES BASIQUES

La fonctionρest définie surRet2πpériodique, ainsi M(θ+ 2π) =M(θ). On est donc certain d"avoir tout l"arc paramétré siθdécrit un intervalle de largeur2π. On ex- ploite ensuite les propriétés deρpour réduire l"intervalle d"étude. On aρ(θ+π) =ρ(θ),ainsiM(θ+π)est le symé- trique deM(θ)par rapport àO(faire un dessin). Puis 2? =-ρ(θ),cela signifie queM?

θ+π2?

se dé- duit deM(θ)par une rotation de centreOet d"angle-π 2. (q+p/2)M (q)M O

Enfinρ(-θ) =ρ(θ),doncM(-θ)est le symétrique deM(θ)par rapport àOx. En conclusion, on se place sur

l"intervalle?0, 4 ?,on trace l"arc paramétré sur cet intervalle, puis :

On fait une symétrie par rapport àOx(utilisation de la parité),on obtient la courbe pourθ??-

4,π

4

On fait une rotation d"angle-π

2(utilisation de la

2antipériodicité), on obtient la courbe pourθ??-π

4,3π

4

On fait une symétrie de centreO(utilisation de laπpériodicité), on obtient la courbe pourθ??-

4,7π

4 ?,le dernier intervalle est bien de largeur2π,on a donc toute la courbe.

Pourθ??0,

4

?,on aρdérivable surRetρ?(θ) =-2sin(2θ)d"où les variations et le tracé de l"arc :

θ0π4ρ?(θ)0????

tangente perpendiculaireàOM(0) 1 0???? tangente dirigée par-→ uπ4quotesdbs_dbs17.pdfusesText_23