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ALLOCUTION POUR L'ATTRIBUTION DU PRIX

DARGELOS 2006

26 NOVEMBRE 2006

CHRISTOPHE BREUIL

En tout premier lieu, je remercie les personnes gr^ace auxquelles je suis la ce soir : la famille de Madame Dargelos et de son epoux, le jury du prix Dargelos, et tous ceux et celles qui m'ont soutenu pour son attribution. Je remercie egalement ceux qui me font l'honneur de leur presence. C'est pour moi un tres grand privilege et un immense bonheur que de recevoir un tel prix et de le partager avec mon collegue au C.N.R.S. M. Samir Zard. Je voudrais brievement decrire mes annees d'arithmeticien depuis ma sortie de l'Ecole Polytechnique , m^eme si un tel exercice est toujours, inevitablement, un peu pretentieux. Mais j'espere, ce faisant, donner une vague idee du cadre mathematique dans lequel se situent mes travaux. Mon premier contact serieux avec des professionnels de l'arithmetique re- monte au printemps 1992 et au stage d'option de la derniere annee de l'X, que j'ai eu la chance d'eectuer sous la direction de Jean-Marc Fontaine, qui allait devenir par la suite mon directeur de these. J'ai a ce propos une petite anec- dote que je voudrais relater. La premiere personne que je suis alle rencontrer a Orsay fut Guy Henniart (qui donnait un cours de D.E.A. sur la theorie du corps de classes). Malheureusement, Guy Henniart partait en Allemagne, et ne pouvait me prendre en stage (c'est du moins ce qu'il m'a dit !). Il m'a alors spontanement suggere : \Pourquoi n'iriez-vous pas voir Jean-Marc Fontaine ? C'est un des plus grandsp-adiciens de la planete (icipest un nombre premier), et en plus, il est polytechnicien !" Avec de tels arguments, il etait inevitable que mon deuxieme r^eve f^ut appele a ce realiser dans l'univers des theories p-adiques et sous l'impulsion de Jean-Marc Fontaine ! 1

2 C. BREUIL

J'ai donc eectue ma these sous sa direction au Centre de Mathematiques de l'X, dans des conditions de travail extraordinaires (nous etions deux a nous partager un immense bureau), et ce gr^ace au bon vouloir de Jean-Pierre Bourguignon, puis Francois Laudenbach, alors directeurs du Centre. J'y ai demontre un theoreme de comparaison entre deux groupes de cohomologie de p-torsion associes a une variete algebrique sur le corps des nombresp-adiques Q pqui a des singularites \simples" modulop. Il s'agissait d'une generalisation de resultats de Fontaine, Messing et Laaille dans lesquels la variete n'a pas du tout de singularites. En 1996, j'integrais le C.N.R.S. et etais aecte au laboratoire de mathemati- ques de l'universite d'Orsay. Mon travail suivant y fut une description d'objets mathematiques appeles schemas en groupes. L'une des deux cohomologies etudiee pendant ma these (et apres) permettait de denir des groupes, notons lesHi(X), qui sont des modules de type ni surZp[u] munis de structures additionnelles (ltration, endomorphisme de Frobenius, etc.) et satisfaisant des proprietes bien precises. On peut abstraire ces structures et denir des donnees d'algebre lineaires veriant toutes les proprietes des modulesHi(X) mais qui ne sont pas forcement desHi(X) (pour uniou unX) : on appelle cela des \modules ltres" (suivant une terminologie introduite par Fontaine). En manipulant certains de ces modules ltres (des modules de typeH1(X) ou Xest une variete comme precedemment mais denie sur une extension ram- iee deQp, par exempleQp(p1=n)), je me suis rendu compte que j'obtenais une categorie ayant les m^emes proprietes qu'une autre categorie deja denie: celle des schemas en groupes commutatifs dep-torsion nis et plats (sur une exten- sion ramiee deZp, par exempleZp[p1=n]). Je n'ai pas le temps d'expliquer ici ce que sont ces animaux, mais le point est que l'on n'en avait jusqu'alors aucune description explicite (du moins pas pour une trop grande ramication, e.g. pas sinest trop grand). J'ai pu verier que ma categorie de modules ltres de typeH1(X) etait en faitequivalentea cette categorie de schemas en groupes (pourp >2), et en donnait une description explicite. C'est la que j'ai benecie d'un premier coup du sort favorable. Quelques annees avant (en 1994), Andrew Wiles, aide de Richard Taylor, avait demontre que toutes les courbes elliptique semi-stables surQetaient modulaires (ce qui impliquait Fermat). Plusieurs mathematiciens s'etaient alors mis au travail 3 pour etendre sa preuve atoutesles courbes elliptiques (conjecture de Shimura- Taniyama-Weil). Ils avaient resolu essentiellement tous les problemes tech- niques pour cela, sauf UN : certains calculs delicats de deformation sur les schemas en groupes etaient necessaires pour achever la preuve, precisement lorsque la ramication de la base etait elevee. En collaboration avec trois autres collegues, et en utilisant a fond la description explicite que je venais juste d'etablir, nous avons pu mener ce calcul jusqu'a son terme, et achever ainsi la preuve de la conjecture. Je vais abandonner maintenant l'histoire de ces modules ltres, non sans mentionner qu'ils ont eu encore plusieurs r^oles a jouer : l'annee derniere par ex- emple, c'est gr^ace a eux que l'un de mes eleves, Xavier Caruso, a pu completer la preuve d'une autre conjecture : \la conjecture de l'inertie moderee" de

Jean-Pierre Serre.