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CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
1.Congruences
Définition 1.1.Soitm;a;bentiers. On dit queaest congru àbmodulomsimdiviseab. (On dit aussi que "aetbsont congrus modulom".) En symboles ab(modm)()mjab() 9k2Zavecab=kn. Par exemple on a28 (mod 3)car3divise28 =6. On aa0 (mod 2)si et seulement si2divisea0 =a, c"est à dire ssiaest pair. On aa1 (mod 2)ssi il existek aveca1 = 2ket donca= 2k+ 1est impair. Similairement on a a2 (mod 5)()a= 5k+ 2aveckentier, a1 (mod 4)()a= 4k+ 1aveckentier, a3 (mod 4)()a= 4k+ 3aveckentier.Surtout on aa0 (modn)()a=nkaveckentier.()aest un multiple denQuelques propriétés de la congruence
Théorème 1.2.Soita;b;c;a0;b0;nentiers. Les énoncés suivants sont vrais : (a) (Reflexivité)aa(modn). (b) (Symétrie)ab(modn)impliqueba(modn). (c) (Transitivité)ab; bc(modn)impliqueac(modn). (d)aa0; bb0(modn)impliqueaa0bb0(modn). (e)aa0; bb0(modn)impliqueaa0bb0(modn). (f)Sidest un diviseur commun dea,betn, alorsab(modn)impliquead bd (modnd (g)Siddivisen, alorsab(modn)impliqueab(modd). Donc les règles de manipulation des congruences contiennent la plupart des règles de ma-nipulations d"égalités entre entiers pour l"addition, la soustraction, et la multiplication. Mais
pour la division (et la simplification des congruences), c"est plus compliqué. Exemple :216et310 (mod 7)impliquent231610et donc6160 (mod 7).Preuve.(a)aa= 0 = 0n.
(b)ab=kn=)ba=kn. (c)ab=kn; bc=`n=)ac= (ab) + (bc) = (k+`)n. (d) Laissée comme exercice. (e)aa0=kn; bb0=`n=)aba0b0=aba0b+a0ba0b0= (aa0)b+a0(bb0) = (kb+a0`)n. (f) Laissée comme exercice. (g) Sidjnetnjab, alorsdjab. Théorème 1.3.Soientnetaentiers avecn1. Alorsaest congru modulonà exactement un des nombres0;1;2;:::;n1. 26CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE 27 Donc chaque entier est congru à0ou1modulo2, mais pas aux deux. Chaque entier est congru à0,1ou2modulo3, mais pas à plus qu"un parmi les trois. Etc. Preuve.Par la division euclidienne, on peut écrirea=qn+ravecq;rentiers et0r n1. Etar(modn)car leur différence estqn. Doncaest congru à un des nombres
0;1;2;:::;n1.
Supposons maintenant queaest congrus à deux nombresretsparmi0;1;:::;n1. Par symétrie et transitivitéretssont aussi congrus, et il existekentier avecrs=kn. Or on a0r < netn2.Les congruencesaxb(modn).
On cherche les solutionsxde congruences commes7x11 (mod 31)et en généralaxb (modn). On considère d"abord le cas oùaetnsont premiers entre eux, comme7et31. Théorème 2.1.Siaetnsont premiers entre eux, alors il existe une solutionxdeaxb (modn), et c"est unique modulon. Existence.On cherche une relation de Bezout7u+ 31v=1par l"algorithme d"Euclideétendu.+++
a i423 u i317310 7p i014931 +31qi10127 On trouve31279 =1. Modulo31, on a310, donc cela devient791 (mod 31). On multiplie par11donnant791179911 (mod 31), et on réduit modulo31par la division euclidienne99 = 331+6. Donc996et7611 (mod 31). Finalement pour tout x6 (mod 31)on aura aussi7x11 (mod 31). A noter que dans la relation de Bezout on utilise le numérateur9et le dénominateur2de l"avant-dernière réduite de 317
, avecsignes opposés. La même méthode marche pour toute congruenceaxb(modn)tant queaetnsont premiers entre eux. Unicité.En général, siaetnsont premiers entre eux, et on aaxbetayb(modn), alors on aaxay(modn)par transitivité, et doncaxay0eta(xy)0 (modn). Doncndivisea(xy). Maisaetnsont premiers entre eux. Donc par le lemme de Gauss,n doit diviserxy, et doncxetysont congrus modulon.
Le cas oùaetnnon premiers entre eux.
Théorème 2.2.Il existe une solutionxdeaxb(modn)si et seulement sid= pgcd(a;n) diviseb. La solutionxest unique modulond La condition queddivisebest nécessaire, c"est à dire, si la congruence a une solution, alors ddiviseb. En effet, si on aaxb(modn), alors il existekentier avecaxb=knet b=axkn. Commeddiviseaetn, il divise aussiaxkn=b. La condition queddivisebest suffisante aussi, c"est à dire, siddiviseb, alors la congruence a une solution. En effet, siddiviseb, alors en appliquant l"algorithme d"Euclide étendu àn28 CHAPITRE 3 : CONGRUENCES ET ARITHMÉTIQUE MODULAIRE
eta, on trouveu= (1)NpN1etv= (1)N1qN1avecau+vn=d. Cela donneaud (modn). En multipliant parbd on trouvera(ubd )b(modn).La congruenceaxb(modn)est équivalente àad
xbd (modnd )avecad etnd premiers entre eux. Comme les solutions de cette dernière congruence sont uniques modulo nd , les solutions deaxb(modn)sont uniques modulond aussi.Deux exemples :
(1) Dans la congruence36x80 (mod 90), on apgcd(36;90) = 18, mais18ne divise pas80. Donc il n"y a pas de solution.
(2) Pour résoudre125x275 (mod 450), on applique l"algorithme d"Euclide étendu à450 et125+++ a i3112 u i4501257550250 125pi0134718 +450q
i101125 On trouve125(7)+4502 = 25, et donc125(7)25 (mod 450). Maintenant on multiplie par 27525
= 11, donnant125(77)275 (mod 450). La solution est unique modulo45025 = 18, donc la solution estx 77 (mod 18)ou bienx13 (mod 18).
3.Le théorème chinois
Le théorème chinois.Soitmetndes entiers premiers entre eux. Alors quelque soitaet bentiers il existe des solutions simultanées dexa(modm)etxb(modn), et cette solutionxest unique modulomn. Unicité.Soitxune solution simultanée des deux congruences, et soityun deuxième entier. Alorsyest aussi une solution des deux congruences ssi on axy(modm)etxy (modn). Alorsmjxyetnjxy, ce qui équivaut à ce queppcm(m;n)jxyouxy (mod ppcm(m;n)). Mais commemetnsont premiers entre eux, on appcm(m;n) =mn. Doncyest aussi une solution des deux congruences ssixy(modmn). Existence.On cherche une relation de Bezoutmu+nv= 1. Alors on anv= 1muet mu= 1nv. Il s"ensuit qu"on a nv1 (modm); mu0 (modm);nv0 (modn); mu1 (modn): Il s"ensuit que si on prendx=anv+bmuon a bienxa1 +b0a(modm)et xa0 +b1b(modn). Faisons un exemple. Cherchons lesxavecx11 (mod 18)etx25 (mod 77). On cherche une relation de Bezout18u+ 55v= 1.++++ a i43112 u i771853210 18p i01413173077 +77qi10134718 On a1830+77(7) = 1avecu= 30etv=7. La solution estx1177(7)+251830