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pour la division (et la simplification des congruences), c'est plus compliqué Exemple : 2 ≡ 16 et [5] H W Lenstra, Jr Solving the Pell equation Notices Amer
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congruence 2x≡ 4mod 6 a les deux solutions x= 2 et x=5, qui sont non congrus modulo 6 7 11 Théorème L'équation ax≡ b mod n a une solution dans Z si et
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≡1145 × 4 7⎡⎣⎤⎦ ≡ 4 7⎡⎣⎤⎦ Le reste est égal à 4 Méthode : Résoudre une équation avec des congruences Vidéo https://youtu be/Hb39SqG6nbg
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p est exactement égal `a l'ensemble des racines de l'équation X(p−1)/2 = 1 la loi de réciprocité quadratique, le résultat ne dépend que de la congruence
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1 5 Équations en nombres entiers ou diophantiennes 23 1 7 Exemples d'équations de congruences C'est la congruence modulo m
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Les congruences
Principe des congruences
Les congruences sont très utiles car elles permettent de ramener des calculs avec de très grands nombres à des calculs avec des nombres raisonnables .Comment ça marche ?
Pour déterminer des congruences modulo n , on élimine du nombre les multiples de n .Exemple 1
On sait que ͳͷLsvEsLyHtEs ; 15 est donc égal à un multiple de 7 plus 1 ; on a donc : ͳͷ s>y? On a donc un nombre limité de possibilités quand on travaille avec les congruences . Si on travaille modulo 5 , les seuls nombres possibles sont 0 , 1 , 2 , 3 et 4 .Exemple 2
Cherchons la valeur de 17 modulo 5 : 17 = 15 + 2 donc ͳ t>w?Comment les utiliser ?
On peut additionner , soustraire , multiplier des congruences . Attention : on ne peut pas les diviser ni prendre de racines !Exemple :
Soit la table modulo 5
nؠTraduction avec des congruences
On utilise beaucoup les congruences pour montrer des divisibilités , pour déterminer des uivalent à : ܽéquivalent à ܽ
Montrer des divisibilités
Quand on demande si une expression est divisible par un nombre , on peut facilement utiliser une table de congruenceExemple 1
Pour quelles valeurs de x , 3x² - 5x + 7 est-il divisible par 4 ?Divisible par 4 = congruence modulo 4
On dresse une table de congruence , soit en détaillant ( ça évite les erreurs de calculs) , soit
directement : x ؠ3x² ؠ
5x ؠ
3x² - 5x + 7 ؠ
Les congruences
Conclusion 3x² - 5x + 7
Exemple 2
Montrer que ݊tJଷ est divisible par 3Divisible par 3 = congruences modulo 3
n 0 1 2݊ 0 1 2
-݊ଷ 0 2 1݊-݊ଷ 0 3 ؠ- 3 ؠ
Dans la dernière ligne , le reste est toujours nul donc ݊tJଷ est divisible par 3 pour tout n .
Déterminer des restes dans des divisions euclidiennes Pour déterminer des restes , on peut utiliser les congruences mais attention