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[PDF] Chapitre 7 :Coniques

Définition : Soit C une partie du plan P On dit que C est une conique lorsqu'il existe un repère soit orthogonal à D (on choisira O en cours de démonstration)

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Coniques, cours, classe de terminale STI 1 Ellipse Définition : Soient F et F deux points On note c = FF 2 Soit a ∈ R tel que a>c Soit O le milieu de [FF ]

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LES CONIQUES Table des matières COURS 1) Différentes approches des hyperbole, appelés coniques, soit le point O, une droite ou deux droites sécantes , et (T) = (PD) Dans le triangle ( ) PDF ∆ rectangle en F : 2 2 2 2 2 2 2 a

[PDF] Les coniques - Lycée dAdultes

13 jui 2016 · 1 TERMINALE C PGRM 1975 Définition 1 : On appelle conique les courbes du second degré c'est à dire les TERMINALE C PRGM 1975 

[PDF] MATHEMATIQUES Terminale C - PReNuM-AC

Ce cours est une partie du cours sur les coniques 3 1- Prérequis : - Définition générale des coniques ; - Définition et propriétés des projections et symétries ;

[PDF] Coniques

12 déc 2011 · 1 Cours Nous étudierons ici les coniques exclusivement du point de vue de On appelle conique de directrice D, de foyer F et d'excentricité e 

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Fiche de cours sur les coniques ☆ Présentation: ☆ Définition monofocale: ☆ Equation cartésienne dans le repère focal: Soit C une conique de foyer F

[PDF] Coniques Ellipse Parabole Hyperbole

Lycée Jean Perrin Classe de TSI1 Formulaire 3 Coniques Ellipse Parabole Hyperbole 0 1 Définition monofocale MF MH = e MF MH = e

[PDF] Daniel Alibert - Cours et exercices corrigés - volume 9 - Walanta

L'intersection de F'P et de la médiatrice de FP est un point de la conique Construction des sommets Ellipse, hyperbole Soit une conique à centre de foyer F et 

Démonstration des propriétés métriques sur les coniques avec un

structurée, au cours de la démonstration de propositions ou de la résolution de problèmes De plus, l'objectif terminal de cette section du manuel est:

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DERNIÈRE IMPRESSION LE19 septembre 2021 à 15:32

Les coniques

Table des matières

1 Étude analytique2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Coniques dépourvues de centre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Coniques à centre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Étude géométrique7

2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Construction d"une conique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Excentricité et foyers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Éléments caractéristiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.1 Parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4.2 Ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.3 Hyperbole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5 Définition bifocale d"une ellipse et d"une hyperbole. . . . . . . . . 14

3 Équation paramétrique d"une conique15

3.1 Paramétrage d"une ellipse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Affinité orthogonale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Construction de la tangente à une conique. . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Équation d"une hyperbole rapportée à ses asymptotes. . . . . . . . 19

PAULMILAN1TERMINALE C PGRM1975

1 Étude analytique1.1 Définition

Définition 1 :On appelle conique les courbes du second degré c"est à dire les courbes dont les points M(x,y), dans un repère orthonormé, vérifient l"équation implicite suivante : ax

2+by2+2cx+2dy+e=0 avec|a|+|b| ?=0

Les coefficientsa,b,c,deteétant réels

Remarque :

leur avaient donné comme nom : ellipse, hyperbole, parabole. •La condition|a|+|b| ?=0 signifie que les coefficientsaetbne peuvent être nuls en même temps ce qui marque le second degré.

1.2 Coniques dépourvues de centre

Théorème 1 :Lorsque le produitab=0 avec|a|+|b| ?=0, on a si :

1)a=0 etc=0 suivant le signe deΔ?1=d2-be

•Δ?1>0deux droites horizontalesd"équationy=y1ety=y2 •Δ?1=0une droite horizontaled"équationy=y0

•Δ?1<0 aucun point

2)a=0 etc?=0une paraboled"axe parallèle à(Ox)du typeY2=2pX

3)b=0 etd=0 suivant le signe deΔ?2=c2-ae

•Δ?2>0deux droites verticalesd"équationx=x1etx=x2

•Δ?2=0une droite verticaled"équationx=x0

•Δ?1<0 aucun point

4)b=0 etd?=0une paraboled"axe parallèle à(Oy)du typeY=αX2

Démonstration :On détaillera les cas aveca=0. Les cas avecb=0 se démontrent pareillement.

1)a=0 etc=0, on obtient alors :by2+2dy+e=0. C"est une équation

réduite enyavecxquelconque. On calcule le discriminent réduit :Δ?1=d2-be •siΔ?1>0, l"équation admet deux solutions distinctes eny. On obtient alors deux droites horizontales d"équationy=y1ety=y2

PAULMILAN2TERMINALE C PRGM1975

1.2 CONIQUES DÉPOURVUES DE CENTRE

•siΔ?1=0, l"équation admet alors une solution double eny. On obtient alors une droite horizontale d"équationy=y0 •siΔ?1<0, l"équation n"admet pas de solution eny. Il n"y a donc aucun point vérifiant l"équation.

2)a=0 etc?=0 l"équation devient :

by

2+2cx+2dy+e=0?b?

y+d b? 2 -d2b2? =-2cx-e ?b? y+d b? 2 =-2cx+d2b-e?b? y+db? 2 =-2c? x+d2-be2bc? y+d b? 2 =-2cb? x+Δ?12bc?

On pose alors :p=-c

bet l"on fait le changement de repère suivant : ?X=x+Δ?1 2bc Y=y+d bde nouvelle origineΩ? -Δ?1

2bc;-db?

On obtient la courbe d"équationY2=2pXdans le repère(Ω,?ı,??)

Y=±?

2pX Exemple :Construire la parabole d"équation :y2-x-4y+2=0

On change la forme :

(y-2)2-4-x+2=0?(y-2)2=x+2

On fait le changement de repère suivant

?X=x+2

Y=y-2et on poseΩ(-2; 2)

OnobtientlaparaboleY2=X, décomposéeendeuxdemi-parabolesY=±⎷ X

1 2 3 4 5 6-1-20

-11 2345
O

Y=±⎷X

xXy Y

PAULMILAN3TERMINALE C PRGM1975

1.3 CONIQUES À CENTRE

1.3 Coniques à centre

Théorème 2 :Lorsque le produitab?=0, la conique possède un centre et son équation peut s"écrire sous la forme : aX

2+bY2=kde centreΩ?

-c a;-db?

1)ab>0 (par exemplea>0 etb>0)

•k=0 La conique se réduit àun seul pointΩ.

•k<0 La conique ne possèdeaucun point.

•k>0 La conique estune ellipsed"équation du typeX2α2+Y2β2=1

2)ab<0

•k=0 La conique est l"union dedeux droitesd"équationY=±X?-ab symétriques par rapport à(ΩX)et(ΩY) •k?=0 La conique estune hyperboled"équation du typeX2α2-Y2β2=±1 d"asymptotesY=±β αX Remarque :Toutes ses coniques possèdent deux axes de symétrie(ΩX)et(ΩY). Démonstration :On change la forme de l"équation : ax

2+by2+2cx+2dy+e=0?a?

x 2+2c a? +b? y

2+2db?

+e=0? a x+c a?

2+c2a2?

+b? y+db? 2 +d2b2? +e=0? a x+c a? 2+b? y+db? 2 =c2a+d2b-e

On pose alorsk=c2

a+d2b-eet l"on fait le changement de variable suivant : ?X=x+c a Y=y+d bde nouvelle origineΩ? -c a;-db?

On obtient alors l"équation :aX2+bY2=k

1)ab>0 (par exemplea>0 etb>0)

•Sik=0 la seule solution de l"équation estX=0 etY=0, donc la conique se réduit àΩ •Sik<0 l"équation n"a pas de solution donc la conique ne possède aucun point.

PAULMILAN4TERMINALE C PRGM1975

1.3 CONIQUES À CENTRE

•Sik>0, on divise park:akX2+bkY2=1?X2k

a+ Y2 k b=1

On pose alors commea>0,b>0 etk>0 :α2=k

aetβ=kb on obtient alors :X2

α2+Y2β2=1 équation d"une ellipse

Remarque :

α: longueur de demi-axe horizontal de l"ellipse

β: longueur de demi-axe vertical de l"ellipse

siα=βl"ellipse est alors un cercle de rayonα.

2)ab<0

•Sik=0 l"équation devientY2=-abX2?Y=±X?-ab. la conique est alors la réunion de deux droites.

•Sik?=0, on divise park:akX2+bkY2=1?X2k

a+ Y2 k b=1 Commeaetbsont de signes contraires deux cas sont envisageables : a) k a>0 etkb<0, on pose alors :α2=kaetβ2=-kb l"équation devient alorsquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3