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TS Exercices sur les suites

1

Exercice 1 :

Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un =  n+1 n d)

0,5n + cos(np)

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

n3 1)

Donner un minorant de cette suite.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?

Exercice 3

(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)

Calculer u1, u2 et u3.

b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ? c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, n² n² + n £ un £ n² n² + 1

TS Exercices sur les suites

2

Exercice 4 : Suites mêlées

Soit a un réel et les suites (un) et (vn) définies par u0 = a, v0 = - 3 4 a et pour tout pour tout n de u n+1 = 1

5(un + 4vn) et vn+1 = 1

5(3un + 2vn)

1) A l'aide d'un tableur ou d'un autre logiciel, conjecturer le comportement des deux suites à l'infini.

Semble-t-il dépendre de la valeur de a ?

2) Emettre une conjecture sur la suite (wn) définie sur V par wn = 3un + 4vn.

Démontrer cette conjecture.

3) En déduire vn en fonction de un puis exprimer un+1 en fonction un seulement. 4)

En déduire les limites de (un) et (vn).

Exercice 5 : Approximation de e

On pose, pour n appartenant à V* : un = 1 + 1

1! + 1

2! + 1

3! + ..... + 1

n! et vn = un + 1 n´n! 1)

Vérifier que u1 = 2, v1 = 3.Calculer u2 et v2.

2) a) Etudier le sens de variation de chaque suite. b) Comparer u n et vn et en déduire que la suite (un) est majorée par v1 et la suite (u n) minorée par (u1). c) En déduire que ces suites convergent et montrer qu'elles ont la même limite l.

3) Pour n fixé dans V* on pose, f(x) = 

1! + x²

2! + ... + x

n n!e-x et g(x) = f(x) + x n! pour 0 £ x £ 1. a) Calculer f(0) et vérifier que f(1) = u n´e-1. b) Etudier les variations de f et g sur [0 ;1] et en déduire que pour tout n

³ 1, e - e

n! £ un £ e. c) En déduire la valeur exacte de l et justifier que pour tout n de V*, u n £ e

£ vn.

d) Ecrire puis programmer un algorithme qui affiche un encadrement de e

à une précision 10

-k (k Î V*) ainsi que la plus petite valeur de n pour laquelle il est obtenu. Qu'obtient-t-on pour k = 6 ? k = 12 ?

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

3 Exercice 1 :

Déterminer la limite de chaque suite (un)n ³1. a) un = 1 n sin p n b) un = (-1) n n c) un =  n+1 n d)

0,5n + cos(np)

a) On a pour n > 0, -1 £ sin p n £ 1

Donc -

1 n

£ un £ 1

n

Or lim

n = lim 1 n = 0

Donc selon le théorème des gendarmes lim u

n = 0

Exercice 2 : la constante d'Apéry

Pour tout entier n ³ 1, un = 1

13 + + 1

23 + .... + 1

n3 1)

Donner un minorant de cette suite.

2) Déterminer le sens de variation de la suite (un). 3) Montrer que, pour tout entier n ³ 1, un £ 2 - 1 n. 4) a) Justifier que la suite (un) converge. b) Que peut-on dire de sa limite ?

1) 0 est un minorant évident de un.

2) un+1 - un = 1

(n + 1)3 > 0

Donc (u

n) est croissante.

3) Montrons par récurrence que u

n £ 2 - 1 n.

Soit P

n la proposition un £ 2 - 1 n. u

1 = 1 £ 2 - 1

1

Donc P

1 est vraie.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

4

Supposons Pn vraie pour entier n fixé.

u n+1 = un + 1 (n+1)3

L'hypothèse de récurrence au rang n donne :

u n £ 2 - 1 n

On a donc u

n+1 £ 2 - 1 n + 1 (n + 1)3

Or Comme -

1 n

£ 0 alors 2 - 1

n + 1 (n + 1)3 £ 2 - 1 (n + 1)3

Donc u

n+1 £ 2 - 1 (n + 1)3.

Donc la proposition P

n+1 est vraie. Donc selon le principe de récurrence, la proposition P n est héréditaire

On a donc bien pour n

³ 1, un £ 2 - 1

n. u n £ 2 - 1 n £ 2

La suite (u

n) est croissante et majorée par 2.

Donc la suite (u

n) est convergente.

Pour n

³ 1, on a 0 £ un £ 2 - 1

n

Comme (u

n) est convergente, en faisant tendre n vers l'infini, on a : 0

£ lim un £ 2.

Remarque : la limite de la suite (u

n) se nomme la constante d'Apéry du nom d'un mathématicien qui a montré que cette limite est un nombre irrationnel. lim (u n) » 1,20205690.

TS Exercices sur les suites

CORRECTION

5 Exercice 3

(un) est la suite définie sur V* par u n = n n² + 1 + n n² + 2 + .... + n n² + n = ∑ k=1n n n² + k a)

Calculer u1, u2 et u3.

b) Quel est le nombre de termes de la somme définissant un ? Quel est le plus petit de ces termes ? Quel est le plus grand ? c) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, n² n² + n £ un £ n² n² + 1 d)

Déterminer alors la limite de la suite (un).

a) u1 = 1quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21