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Conjecturer le sens de variation et la limite de la suite Déterminer une valeur approchée de u100 Exercice 2 On considère la suite définie par vn = 2 + n 

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Dans cet article, nous proposons d'exploiter les capacités des calculatrices graphiques (CASIO GRAPH 35+, GRAPH 65 ou GRAPH 80, TI 82 fr, 83 ou 84 +) 

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➢Calcul de la somme des termes d'une suite : · Aller dans le menu n°1 « RUN 1 » et cliquer sur « EXE » : · Aller dans «

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CASIO GRAH 35 + ? On considère la suite u définie par: u0 = 1 et pour tout entier n, n n u u 5 1 Conjecturer le comportement de la suite u conjecture ? ? La calculatrice affiche alors la courbe d'équation x y 5 1 valeurs de limites :

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Pour calculer les termes , la calculatrice doit être en mode « Suites » On peut travailler avec trois suites notées u , v , w B/ Calculatrices Casio Graph 35

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IREM de LYON page 1 Suites A- Prise en main des menus suites CASIO GRAPH 35 La calculatrice note an et bn les deux suites au lieu de un et vn conjecture ? ? Cette méthode trouve ses limites par exemple lors du calcul de u172

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Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que de la question 1 par calcul 5) Etudier les variations de (un) 6) Calculer la limite de (un) 3) À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un) D'après Bac Vidéo Casio https://youtu be/9iDvDn3iWqQ Vidéo HP 

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Suite définie par son premier terme et une relation de récurrence : ( ) 0 1 n n u a u f u + = CASIO : se placer en MENU RECUR Suite définie par une 1) A l' aide de la calculatrice , conjecturer la limite de la suite 2) A l'aide de n n n n u u

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2 - SYSTEM : Initialisation et réglages de la calculatrice définir un format scientifique avec un nombre de décimales Exemple4 on accède à la suite des options HYP On peut faite la conjecture suivante : le nombre 7 a le plus de

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Touche , puis choisir u(n) • Pour la variable n, utiliser la touche : Le rang du premier terme de la suite et ne sont pas à compléter dans le cas d'une suite 

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YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr1SUITES ARITHMÉTICO-GÉOMÉTRIQUES I. Etude d'une suite arithmético-géométrique Définition : Une suite (un) est dite arithmético-géométrique s'il existe deux nombres a et b tels que pour tout entier n, on a :

u n+1 =au n +b

. Un investisseur dépose 5000 € sur un compte rémunéré à 3% par an. Chaque année suivante, il dépose 300€ de plus. On note (un) la somme épargnée à l'année n. On a alors :

u n+1 =1,03u n +300
et u 0 =5000

La suite (un) est arithmético-géométrique. 1) À l'aide du tableur, calculer la somme totale épargnée à la 10ème année. 2) Prouver que la suite (vn) définie pour tout entier n par

v n =u n +10000

est géométrique et donner sa raison et son premier terme. 3) Exprimer vn en fonction de n. 4) En déduire un en fonction de n. Retrouver alors le résultat de la question 1 par calcul. 5) Etudier les variations de (un). 6) Calculer la limite de (un). Vidéo https://youtu.be/6-vFnQ6TghM Vidéo https://youtu.be/0CNt_fUuwEY Vidéo https://youtu.be/EgYTH79sDfw 1) Avec le tableur, on obtient : La somme totale épargnée à la 10ème année est égale à environ 10158,75 €.

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr2 2) v n+1 =u n+1 +10000
=1,03u n +300+10000
=1,03u n +10300
=1,03u n +10000
=1,03v n Donc (vn) est une suite géométrique de raison 1,03 et de premier terme v 0 =u 0 +10000=5000+10000=15000
. 3) Pour tout n, v n =15000×1,03 n . 4) Pour tout n, u n =15000×1,03 n -10000 . On a alors : u 10 =15000×1,03 10 -10000≈10158,75

5) Pour tout n,

u n+1 -u n =15000×1,03 n+1 -10000-15000×1,03 n -10000 =15000×1,03 n+1 -1,03 n =15000×1,03 n

×1,03-1

=450×1,03 n >0 Donc la suite (un) est strictement croissante. 6) Comme 1,03 > 1, lim n→+∞ 1,03 n donc lim n→+∞

15000×1,03

n

Et donc

lim n→+∞

15000×1,03

n -10000 , soit : lim n→+∞ u n

. II. Représentation graphique d'une suite arithmético-géométrique Soit (un) la suite définie par

u 0 =8 et pour tout entier naturel n, u n+1 =0,85u n +1,8 . 1) Dans un repère orthonormé, tracer les droites d'équations respectives y=0,85x+1,8 et y=x

. 2) Dans ce repère, placer u0 sur l'axe des abscisses, puis en utilisant les droites précédemment tracées, construire sur le même axe u1, u2 et u3. On laissera apparent les traits de construction. 3) À l'aide du graphique, conjecturer la limite de la suite (un). D'après Bac ES Polynésie 2009 Vidéo https://youtu.be/L7bBL4z-r90

YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr3 1) 2) 3) En continuant le tracé, celui-ci se rapprocherait de plus en plus de l'intersection des deux droites. On conjecture que la limite de la suite (un) est 12. Afficher la représentation graphique sur la calculatrice : Vidéo TI https://youtu.be/bRlvVs9KZuk Vidéo Casio https://youtu.be/9iDvDn3iWqQ Vidéo HP https://youtu.be/wML003kdLRo Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

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