Chaque appui sur Entrée donne alors le terme suivant Quelles conjectures peut- on faire sur le sens de variation et la limite de la suite u n ?
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Chaque appui sur Entrée donne alors le terme suivant Quelles conjectures peut- on faire sur le sens de variation et la limite de la suite u n ?
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On considère les deux suites (Sn) et (Pn) définies, pour tout entier naturel n non nul, par : Sn = 1 + 2 + 3 + + n et Pn = 13 + 23 + 33 + + n3 1 Conjecture avec
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Calculer les termes de u1 à u5 puis conjecturer une formule explicite du terme Étudier le sens de variation de la suite (un), pour les expressions suivantes :
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c ) Déterminer le terme de rang 6 d ) Conjecturer le terme général de la suite u en fonction de n e ) La suite u peut aussi se noter un : vrai ou faux ? f ) La suite
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A l'aide du calcul des premiers termes de la suite (un) , conjecturer la forme explicite de un en fonction de n Démontrer cette conjecture 1 b En déduire la limite
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3) On consid`ere la suite (vn) définie pour tout entier naturel n par vn = 2n + n a) Calculer v0, v1, v2 et v3 b) Quelle conjecture peut-on faire ? Démontrer cette
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( la table de la calculatrice permet de conjecturer le sens de variation d'une suite) Méthode 1 : (la plus utilisée) On calcule la différence en fonction de (lorsque la
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b) Conjecturer l'expression de un en fonction de n puis démontrer par b) Formuler une conjecture sur les variations de la suite 3°)a) Démontrer par
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On peut conjecturer la façon dont la suite évolue, c'est à dire son sens de variation On dira ici que la suite (un) est croissante ▻ Lorsque n augmente (on dit
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Étude d'une suite
On considère la suite un définie par u0 = 0 et un1=1 2-un.1. En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près,
compléter le tableau suivant : n012345678910 un0 Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ?2. Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression
de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence.3. En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.
4. On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.
On considère la suite vn définie par vn=2un
1-un. a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ?b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une
expression de un en fonction de n.Étude d'une suite
On considère la suite un définie par u0 = 0 et un1=1 2-un.1) En utilisant une calculatrice et en donnant, le cas échéant, des valeurs approchées à 10-3 près,
compléter le tableau suivant : n012345678910Une manière simple de calculer les différents termes d'une suite définie par récurrence consiste
à inscrire u0, à valider par Entrée, puis à inscrire la formule donnant un+1 en remplaçant un par
ANS ou REP (la touche qui donne le résultat du calcul précédent). Chaque appui sur Entrée
donne alors le terme suivant. Quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite un ? Le tableau de valeur laisse penser que la suite un est croissante et que sa limite est 1.2) Calculer les valeurs exactes de u1, u2, u3, u4. Quelle conjecture peut-on faire sur une expression
de un en fonction de n ? Démontrer cette conjecture par récurrence. On obtient les résultats u1=1/2, u2=2/3, u3=3/4, u4=4/5. Ceci laisse penser que pour tout entier naturel n, un=n n1. Démontrons cette propriété par récurrence. - pour n=0, on a u0=0=00+1, la propriété est vérifiée.
- supposons que un=n n1 et démontrons que un1=n1 n2. un+1=12-un=1
2-n n+1=1 n+2 n+1=n+1 n+2 Nous pouvons en conclure que pour tout entier naturel n, un=n n1.3) En utilisant le résultat précédent, démontrer que la suite un est croissante et que sa limite est 1.
Pour montrer que la suite un est croissante, calculons un+1 - un : un+1-un=n+1 n+2-n n+1=1 (n+1)(n+2). Comme 1, n+1 et n+2 sont strictement positifs, un+1-un>0 et la suite un est croissante. Note : on aurait aussi pu étudier le sens de variation de la fonction f définie par fx=x x1 sur [0;+ [. Pour trouver la limite de un, remarquons que un=n n+1=n n(1+1 n) =1 1+1nLe numérateur est égal à 1 et le dénominateur tend vers 1, on en déduit que la limite de un est 1.
4) On se propose ici de retrouver l'expression de un en fonction de n par une autre méthode.
On considère la suite vn définie par vn=2un
1-un. a) Calculer v0, v1, v2, v3, v4. Quelle conjecture peut-on faire sur la nature de la suite vn ? En utilisant les résultats de la question 2) on trouve v0=0, v1=2, v2=4, v3=6, v4=8. Cela laisse penser que la suite vn est arithmétique de premier terme 0 et de raison 2.b) Démontrer la conjecture précédente, en déduire une expression de vn en fonction de n, puis une
expression de un en fonction de n.