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algébrique- conjugué Fiche exercices EXERCICE 1 Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique : – z1=2(6−5i)−3(4+ i) – z2=(5+ 3i) 2
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1 Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes, l'équation 3 3 6 0 z iz i − − + = , z étant le conjugué de z 2 On considère le point A d'affixe 4 2i
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Déterminer (x + y i), représentation cartésienne du nombre complexe : z, z' et z'' sont des nombres complexes de module 1 : leur conjugué est donc égal à
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Exo7 Nombres complexes
1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :3+6i34i;1+i2i
2 +3+6i34i;2+5i1i+25i1+i: Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d"ar gumentp=3.
2.Nombre de module 3 et d"ar gumentp=8.
Calculer le module et l"argument deu=p6ip2
2 etv=1i. En déduire le module et l"argument dew=uv Déterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiaeteiq+e2iq: Exercice 5Calculer les racines carrées de 1;i;3+4i;86i;et 7+24i. 1.Calculer les racines carrées de
1+ip2 . En déduire les valeurs de cos(p=8)et sin(p=8). 2.Calculer les v aleursde cos (p=12)et sin(p=12).
1Résoudre dansCles équations suivantes :
z2+z+1=0 ;z2(1+2i)z+i1=0 ;z2p3zi=0 ;
z2(514i)z2(5i+12) =0 ;z2(3+4i)z1+5i=0 ; 4z22z+1=0 ;
z4+10z2+169=0 ;z4+2z2+4=0:
Exercice 8Calculer la sommeSn=1+z+z2++zn.
1.Résoudre z3=1 et montrer que les racines s"écrivent 1,j,j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines
de 1+z+z2=0. 2.Résoudre zn=1 et montrer que les racines s"écrivent 1;e;:::;en1. En déduire les racines de 1+z+z2+
+zn1=0. Calculer, pourp2N, 1+ep+e2p++e(n1)p.Trouver les racines cubiques de 22iet de 11+2i.
1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner ,sous forme polaire, les solutions dans Cde : z6+(7i)z388i=0:
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)4 Géométrie
Exercice 12Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : 1. z3z5 =1; 2. z3z5 =p2 2 Montrer que pouru;v2C, on aju+vj2+juvj2=2(juj2+jvj2):Donner une interprétation géométrique.Soit(A0;A1;A2;A3;A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé
(O;!u;!v)avec!u=!OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.A0 A 3 A 4A 1 A 2 O1i1.Donner lesaffixesw0;:::;w4despointsA0;:::;A4. Montrerquewk=w1kpourk2f0;1;2;3;4g. Montrer
que 1+w1+w21+w31+w41=0. 2.En déduire que cos (2p5
)est l"une des solutions de l"équation 4z2+2z1=0. En déduire la valeur de cos(2p5 3. On considère le point Bd"affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinp10 puis dep5 (on remarquera que sin p10 =cos2p5 4.On cons idèrele point Id"affixei2
, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJd"intersection de Cavec la demi-droite[BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.5.Application:Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
5 Trigonométrie
Exercice 15Soitzun nombre complexe de moduler, d"argumentq, et soitzson conjugué. Calculer(z+z)(z2+z
2):::(zn+z
n)en fonction deretq. En utilisant les nombres complexes, calculer cos5qet sin5qen fonction de cosqet sinq.Exercice 17SoitZ[i] =fa+ib;a;b2Zg.
1. Montrer que si aetbsont dansZ[i]alorsa+betable sont aussi. 2.T rouverles élements in versiblesde Z[i], c"est-à-dire les élémentsa2Z[i]tels qu"il existeb2Z[i]avec
ab=1. 3. Vérifier que quel que soit w2Cil existea2Z[i]tel quejwaj<1. 4.Montrer qu"il e xistesur Z[i]une division euclidienne, c"est-à-dire que, quels que soientaetbdansZ[i]
il existeqetrdansZ[i]vérifiant : a=bq+ravecjrjcalculer cosqet sinq.Indication pourl"exer cice3 NPassez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances :
eiaeib=ei(a+b)eteia=eib=ei(ab):Indication pourl"exer cice4 NPour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
.Indication pourl"exer cice5 NPourz=a+ibon cherchew=a+ibtel que(a+ib)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que
jwj2=jzj.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de calculer les racines carrées de 1+ip2 =eip4de deux façons différentes.Indication pourl"exer cice7 NPour les équation du typeaz4+bz2+c=0, poserZ=z2.Indication pourl"exer cice8 NCalculer(1z)Sn.Indication pourl"exer cice12 NLe premier ensemble est une droite le second est un cercle.
Indication pour
l"exer cice13 NPour l"interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.
Indication pour
l"exer cice15 NUtiliser la formule d"Euler pour faire apparaître des cosinus.
Indication pour
l"exer cice16 NAppliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5q= (eiq)5.5
Correction del"exer cice1 NRemarquons d"abord que pourz2C,zz=jzj2est un nombre réel, ce qui fait qu"en multipliant le dénominateur
par son conjugué nous obtenons un nombre réel. =35 +65i:
Calculons
1+i2i=(1+i)(2+i)5
=1+3i5 et 1+i2i 2 =1+3i5 2 =8+6i25 =825 +625i: Donc 1+i2i 2 +3+6i34i=825 +625
i35 +65
i=2325 +3625
i:
Soitz=2+5i1i. Calculonsz+z, nous savons déjà que c"est un nombre réel, plus précisément :z=32
+72iet doncz+z=3.Correction del"exer cice2 N1.z1=2eip3 =2(cosp3 +isinp3 ) =2(12 +ip3 2 ) =1+ip3.