algébrique- conjugué Fiche exercices EXERCICE 1 Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique : – z1=2(6−5i)−3(4+ i) – z2=(5+ 3i) 2
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algébrique- conjugué Fiche exercices EXERCICE 1 Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique : – z1=2(6−5i)−3(4+ i) – z2=(5+ 3i) 2
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1 Résoudre dans l'ensemble ℂ des nombres complexes, l'équation 3 3 6 0 z iz i − − + = , z étant le conjugué de z 2 On considère le point A d'affixe 4 2i
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Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjuguéFiche exercices
EXERCICE 1
Mettre chacun des nombres complexes sous forme algébrique : - z1=2(6-5i)-3(4+i) - z2=(5+3i)2- z3=(3-2i)(3+2i) z4=(1+i)2- z5=(1+i)4- z6=(1+i)10EXERCICE 2aetbdésignent deux nombres réels. Mettre les nombres complexes suivants sous forme algébrique :
- z1=(a+ib)2 z2=(a-ib)2- z3=(a+ib)(a-ib)EXERCICE 3On pose j=-1
2+i 2.1. (a) Donner j2etj3sous forme algébrique.
(b) En déduire l'écriture algébrique de j12et dej29.2. Montrer que1+j+j2=0.
EXERCICE 4
Résoudre l'équation, d'inconnues les réels aet b : (2i-1)a+(i+3)b=1+iEXERCICE 5
1. Déterminer la ou les valeurs du réel
xtelle(s) que le nombreA=(5x+7i)+(3ix+10)soit un nombre réel.
2. Déterminer la ou les valeurs du réel
xtelle(s) que le nombreB=(5ix+7)(3ix+10)soit un nombre imaginaire pur (ce qui signifie que B a une écriture algébrique de la
formeB=ib, avecbnombre réel).
EXERCICE 6
Écrire la forme algébrique des conjugués des nombres suivants :Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjugué1. z1=4-5i2. z2=-5+4i
3. z3=2i+(5-3i)4. z4=(2-i)(2+3i)5. z5=1
2-3i 6. z6=2i5-iEXERCICE 7
Résoudre dans C les équations suivantes :
1.3iz+2=5z2. (2+5i)z+1+i=(1+2i)z
3. z2+i+1=z
1-i+iEXERCICE 8
Écrire la forme algébrique de
inavec nentier naturel non nul.EXERCICE 9
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique.1. z1=(3+2i)(1-i)-(2-i)2+(5-i)(5+i)
2. z2=9-2i
2i3. z3=5-2i
2-3i 4. z4=(2-3i)2+17(3+i)4-i+10-i
i5. z5=(1+2i)2-(1-i)2 (3+2i)2-(1+i)26. (1-i1+i)2EXERCICE 10
Écrire sous forme algébrique le nombre complexe conjugué de z1 et z2.2i
Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjuguéEXERCICE 11
z1=3-2i -24iz2=32i -2-4i Sans calcul, montrer que z1+z2 est un nombre réel et que z1-z2 est un imaginaire pur.EXERCICE 12
Résoudre dans C les équations suivantes :
1. 5iz+1-i=2z-3i2. (8+i)z-5i=(5-i)z+2
3. 2z+11-i+5=3z+2
Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjuguéCORRECTION
EXERCICE 1
z2=16+30i z3=13z4=2iEXERCICE 2
z1=aib2 z1=a22abii2b2 z1=a2-b2+2abiz2=a-ib2 z2=a2-2abii2b2z2=a2-b2-2abi z3=aiba-ib z3=a2-i2b2z3=a2+b2EXERCICE 3
1. (a)
j2= -12i3
22
j2=14-i3
2i23
4 j2=-1Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjuguéOn peut remarquer quej2=jj3=-1
2i3
2-1
2-i3
2j3=1
43
4j3=1 (b) j12=j34 j12=14=1 j29=j27×j2 j29=j39×j2 j29=j2 j29=-1 22.1jj2=1-1
2i3
2-12-i3
21+j+j2=0
EXERCICE 4
(2i-1)a+(i+3)b=1+i2ia-a+ib+3b=1+i
-a+3b-1+i(2a+b-1)=0 donc: {-a+3b-1=02a+b-1=0
{-2a+6b=22a+b=1On ajoute membre à membre les deux équations:
7b=3b=3
7Par suite,
a=3b-1 a=9 7-1=2 7Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjuguéLe couple(2
7;37)est la solution de l'équation.
EXERCICE 5
1. A=(5x+7i)+(3ix+10)
A=(5x+10)+i(7+3x)
Aest un nombre réel⇔7+3x=0⇔x=-7
3 Pour x=-73 le nombreAest un nombre réel.
A=-353+10=-5
32. B=(5ix+7)(3ix+10)
B=15i2x2+50ix+21ix+70B=70-15x2+71ix
Best un nombre imaginaire pur⇔
3 Pour3ou x=-
3,Best un imaginaire pur.
Si 3iSi3 alors B=-71
3iEXERCICE 6
1. z1=4+5i2. z2=-5-4i3. z3=2i+5-3i=5-iz3=5+i ou z3=2i+5-3i=-2i+5+3i=5+i 4. z4=(2-i)(2+3i)z4=(2-i)×(2+3i) z4=(2+i)(2-3i)Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjugué z4=4+2i-6i+3z4=7-4i 5. z5=12-3i=1
2+3iz5=2-3i
(2+3i)(2-3i)=2-3i 4+9=2 13-3 13i 6. z6=2i5-i=-2i
5+i z6=-2i(5-i) (5+i)(5-i)=-2-10i25+1=-1
13-513iEXERCICE 7
1. (-5+3i)z=-2z=-2 -5+3i=-2(-5-3i) (-5+3i)(-5-3i)=10+6i25+9=5
17+3 17i S={5 17+3 17i}2. (2+5i)z+1+i=(1+2i)z
[(2+5i)-(1+2i)]z=-1-i (1+3i)z=-1-i z=-1-i1+3i=(-1-i)(1-3i)
(1+3i)(1-3i)=-1+3i-i-31+9=-4+2i
10=-2 5+15iS={-2
5+1 5i} 3. z2+i+1=z
1-i+i (1 2+i-11-i)z=-1+i
(2-i (2+i)(2-i)-1+i (1-i)(1+i))z=-1+i (2-i 5-1+i2)z=-1+i
(2(2-i)-5(1+i)Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjugué (-1-7i10)z=-1+iz=10(-1+i)
-1-7i=(-10+10i)(-1+7i) (-1-7i)(-1+7i)=10-70i-10i-7050=-60-80i
50=-65-8 5i S={-6 5-8 5i}
EXERCICE 8
i1=1i2=-1i3=-i i4=1 nest un entier naturel non nul, on effectue la division euclidienne de npar 4 : n=4q+ravec 0⩽r<4q∈ℕetr∈ℕ in=(i4)q×ir=irSi r =0 alors in=1Si r =1 alors in=i
Si r =2 alors in=-1
Si r =3 alors in=-i
EXERCICE 9
Écrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique. 1. z1=(3+2i)(1-i)-(2-i)2+(5-i)(5+i)2. z2=9-2i 2i3. z3=5-2i
2-3i 4. z4=(2-3i)2+17(3+i)4-i+10-i
i5. z5=(1+2i)2-(1-i)2 (3+2i)2-(1+i)26. z6= (1-i 1+i)2 1. z1=28+3i2. z2=9-2i2i=(9-2i)(-2i)
(2i)(-2i)=-4-18i4=-1-9
Nombres complexes - Ecriture
algébrique- conjugué3. z3=5-2i
2-3i=(5-2i)(2+3i)
(2-3i)(2+3i)=10+15i-4i+64+9=16
13+11 13i4. z4=(2-3i)2+17(3+i)
4-i+10-i
iz4=4-12i-9+17(3+i)(4+i) (4-i)(4+i)+(10-i)(-i) i(-i) z4=-5-12i+17(12+3i+4i-1)16+1+-1-10i
1 z4=-5-12i+11+7i-1-10iz4=5-15i 5. z5=(1+2i)2-(1-i)2 (3+2i)2-(1+i)2z5=1+4i-4-1+2i+19+12i-4-1-2i+1
z5=-3+6i 5+10i z5=(-3+6i)(5-10i) (5+10i)(5-10i)z5=-15+30i+30i+6025+100
z5=45+60i 125=925+12
25i
6. z6=(1-i