Le conjugué de z est le nombre complexe de forme algébrique a – bi On le note ¯z Ex : démonstration Soient a, b, c trois réels avec a # 0 az2 + bz + c = a
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La démonstration du théorème précédent fournit implicitement le procédé utilisé dans la pratique pour Le conjugué du nombre z est le nombre complexe noté
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Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels En effet : ( ) Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont
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Le conjugué de z est le nombre complexe de forme algébrique a – bi On le note ¯z Ex : démonstration Soient a, b, c trois réels avec a # 0 az2 + bz + c = a
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On appelle conjugué de z le nombre complexe : z = Re(z) − iIm(z) Démonstration Dans l'énoncé, z est choisi non nul car l'équation : ω2 = 0 d' inconnue ω ∈
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19 sept 2012 · Soit z = a + ib un nombre complexe, on appelle conjugué de z, et on note z, Enfin, d'après la démonstration faite, l'égalité dans l'inégalité de
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- Démonstration - Exercice: Montrer que les points A(-2i), B(-2-5i) et C(4+4i) sont alignés 4°) Equations du Second degré dans C a) Equation du type az2+bz+c =
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Démonstration Supposons d'abord que b = 0 On appelle conjugué de z et on note z le nombre complexe : z = a − bi 3 Attention, la partie imaginaire de a +
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Il y a plusieurs façons équivalentes de voir les nombres complexes : Une première façon 1 1 1 4 Complexe conjugué et Module Définition Démonstration Posons z = a + ib, z1 = a1 + ib1 et z2 = a2 + ib2 (avec a, a1,a2, b, b1b2 réels) On a
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Vocabulaire : on dit que Z et Z sont des nombres complexes conjugués 4 3 Démonstration : posons Z = a + bi et Z' = a' + b'i (avec a, b, a et b' réels) Alors :
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Nombres complexes
PTSI B Lycée Eiffel
19 septembre 2012
Les nombres remarquables sont de sortie en discothèque. ets"amusent comme des fous, maisreste scotché au bar. va alors voiret lui dit : " Allez, viens dansC! »Introduction
Pour ce deuxième chapitre de l"année, nous allons revenir sur une notion que vous avez déjà
abordée l"an dernier, celle de nombres complexes. Ces derniers forment un outil fondamental enmathématiques, à la fois d"un point de vue théorique et d"un point de vue pratique (notamment
en géometrie, comme on le verra un peu plus loin). Mais avant de commencer les explications, unepetite question : pourquoi avoir " inventé » de toutes piècesces nombres complexes? Les différents
ensembles de nombres sont apparus historiquement de façon relativement naturelle pour résoudredes problèmes concrets : les entiers naturels servent tout simplement à compter, les entiers relatifs
deviennent nécessaires dès qu"on veut quantifier de façon unpeu abstraite des échanges commerciaux,
et les rationnels apparaissent dès qu"on cherche à diviser en plusieurs parts une quantité entière. Enfin,
les réels permettent de graduer une droite et sont donc utiles pour se repérer (ils apparaissent par
ailleurs assez rapidement dans des problèmes de géometrie :diagonale d"un carré ou périmètre d"un
cercle). Les complexes, eux, ont été d"abord introduits pour permettre de résoudre des équations, les
autres applications n"apparaissant qu"ensuite. En effet, on sait bien par exemple que tout nombrepositif possède une racine carrée réelle (autrement dit, l"équation2=admet une, et même deux,
solutions réelles si 0), mais qu"en est-il pour les nombres négatifs, et notammentpour1?L"ensemble des nombres complexes possède l"étonnante propriété que toute équation polynomiale y
admet (au moins) une solution.Objectifs du chapitre :
maitrise du calcul algébrique sur les nombres complexes : résolution d"équations, utilisation
alternée de la forme algébrique et de la forme trigonométrique dans la résolution de problèmes.
compréhension du lien entre trignonométrie et nombres complexes via la notation d"exponen- tielle complexe. résolution de problèmes géométriques à l"aide des nombres complexes.1 L"ensemble des nombres complexes, structure et opérations
1.1 Définitions
Définition 1.L"ensemble desnombres complexes, usuellement notéC, est constitué de tous les nombres de la forme+, oùetsont deux réels quelconques. Il est muni des deux opérations 1 suivantes : l"addition définie par(+) +(+) =++ (+)et la multiplication définie parRemarque1.Autrement dit, le nombrevérifie2=1et les opérations vérifient les propriétés
usuelles. Théorème 1.Propriétés des opérations usuelles sur les nombres complexes.L"addition est associative, commutative et a pour élément neutre0 + 0(désormais noté plus
simplement0), c"est-à-dire que, pour tout nombre complexe, on a+ 0 = 0 +=. La multiplication est associative, commutative et a pour élément neutre1 + 0(noté1). La multiplication est distributive par rapport l"addition. Tout nombre complexeadmet un opposé noté. Tout nombre complexe non nuladmet un inverse noté 1 ou1.Démonstration.
Les propriétés de l"addition découlent immédiatement de celles de l"addition sur les réels.
Posons1=+;2=+et3=+trois nombres complexes, on a12= (+)(+) = ()+(+) = (+)(+), donc le produit est bien commutatif.De même(12)3= (()+(+))(+) =+(++)
et1(23) = (+)(()+(+)) =+(++). Les deux résultats étant les mêmes, le produit est bien associatif. La distributivité est à nouveau un calcul sans difficulté :1(2+3) = (+)(++(+)) = (+)(+)+((+)+(+)) =+(+)++(+) =12+13. Enfin, l"opposé du complexe+est sans difficulté le complexe; et l"inverse deest le complexe2+2. En effet,()(+) =22.
Remarque2.On identifie souvent l"ensembleRdes nombres réels comme un sous-ensemble deCenassociant à un réelle nombre complexe+ 0. Les opérations définies plus haut prolongent alors
la somme et le produit sur les réels. Définition 2.Soit=+un nombre complexe. Le réelest appelépartie réellede, et noté Re (). Le réelest appelépartie imaginairede, et notéIm ().Définition 3.Un nombre complexe de partie réelle nulle est appeléimaginaire pur, et on noteR
l"ensemble des nombres imaginaires purs.Remarque3.Un nombre complexe est déterminé de façon unique par ses parties réelle et imaginaire,
ce qui mène à l"identification suivante : Définition 4.À tout nombre complexe=+, on peut associer le pointdu plan (muni d"un repère orthonormé) de coordonnées(). Le pointest appeléimagedu nombre complexe, et le nombreaffixedu point.1.2 Conjugaison
On peut définir sur les nombres complexes une autre opérationqui sera la première pour laquelle
nous aurons une interprétation géométrique simple : Définition 5.Soit=+un nombre complexe, on appelleconjuguéde, et on note , le nombre. Proposition 1.La conjugaison est compatible avec la somme et le produit : pour tous nombres complexeset, +=+et=. De plus, la conjugaison est involutive, c"est-à-dire que 2Démonstration.Soit=+et=+, on a+=++(+) =+(+) =
+;=+(+) =(+)et= ()() = (+). La dernière propriété est tellement évidente que je vous épargne le calcul. Proposition 2.Pour tout nombre complexe, on a+= 2Re ()et= 2Im (). Par conséquent,est un nombre réel si et seulement si= etest imaginaire pur si et seulement si=Démonstration.Comme=+et
=, on a bien+= 2= 2Re (), et= 2=2Im ().
Proposition 3.Soitun nombre complexe etson image dans un repère orthonormal du plan.Alors l"image de
est le symétrique depar rapport à l"axe des abscisses. Démonstration.C"est une conséquence immédiate du fait que le symétrique de()par rapportà l"axe des abscisses est().
1.3 Module
Définition 6.Lemoduled"un nombre complexe=+, noté, est le réel positif 2+2.Démonstration.On a bien
= (+)() =2+2. Remarque4.Le calcul précedent devrait vous rappeler quelque chose : ona1=2. On utilise
cette propriété pour "simplifier» les quotients de deux nombres complexes en multipliant numérateur
et dénominateur par le conjugué du dénominateur, par exemple : 2 +34=(2 +)(3 + 4)34=2 + 115
Remarque5.Pour un nombre réel, le module coincide avec la valeur absolue, ce qui explique que la notation soit la même. Proposition 4.Pour tous nombres complexeset, on a=. Si= 0,??? =. De plus,= , et= 0= 0.Démonstration.En effet,=
==. Le quotient se fait de la même façon.Le fait que=
découle immédiatement de la définition. Enfin, pour que=+= 0, il faut avoir2+2= 0, ce qui ne se produit que si== 0, donc si= 0. Remarque6.Siest l"image dedans un repère orthonormé d"origine, le module dereprésente tout simplement la distance. Proposition 5.Soitun nombre complexe, alorsRe ()?etIm ()?.Démonstration.C"est évident en utilisant la remarque précédente, puisqueRe ()etIm ()repré-
sentent les distances deaux projetés orthogonaux desur les axes du repère.Théorème 2.Inégalité triangulaire
Soientetdeux nombres complexes, alors ?+?+. De plus, l"inégalité de droite est une égalité si et seulement si=(R) ou= 0. 3 Démonstration.Commençons par l"inégalité de droite :+2= (+)(+) =2+2+ 2Re ( )?2+2+ 2= (+)2. Tous ces modules étant des réels positifs, l"inégalité triangulaire en découle par passage à la racine carrée.L"inégalité de gauche est en fait presque la même que celle dedroite. En effet, appliquons cette
dernière àet, on obtient?+, donc ?. En inversant le rôle deet, on a de même ?, ce qui permet d"ajouter la valeur absolue au membre de gauche. Ne reste plus qu" remplacerenpour la forme de l"énoncé.Enfin, d"après la démonstration faite, l"égalité dans l"inégalité de droite se produit exactement quand
Re ( ) =, ou encore quandIm () = 0, donc siRe ()Im ()Im ()Re () = 0. Autrement dit, les couples(Re ()Im ())et(Re ()Im ())sont proportionnels, ce qui signifie que les images des complexesetsont alignés avecdans le plan complexe. Cela correspond exactement à la condition donnée.Remarque7.On peut facilement généraliser l"inégalité à plus de deux nombres complexes :1+
+?1++. Cette inégalité triangulaire généralisée se prouve par récurrence.Une dernière application géométrique du module, la définition des cercles dans le plan complexe :
Proposition 6.Soitun complexe,son image etun réel positif. L"ensembledes points du plan d"affixevérifiant=(respectivement?et ) est le cercle (respectivement le disque fermé et ouvert) de centreet de rayon. Démonstration.C"est évident dès qu"on a constaté quereprésentait la distance.Exemple :On peut passer de ce type d"équation de cercle à une équation cartésienne (faisant
intervenir les deux corordonnées sous la forme()) par un calcul élémentaire. Faisons-le sur un
exemple, celui du cercle de centre(1+)et de rayon2. En posant=+, on part de(1+)2=4, soit(1)(
1+) = 4, donc(+1)(1+) = 4. Il ne reste plus qu"à développer :
2+++2++1++1 = 4, soit2+2222 = 0.
2 Complexes et trigonométrie
2.1 Groupe des complexes de module1
Définition 7.On noteUl"ensemble des nombres complexes de module1(ou nombres complexes unimodulaires). Cet ensemble est stable par produit et passage à l"inverse. Démonstration.Sietsont deux nombres complexes de module1, on a== 1, et 1=1 = 1, doncUest bien stable par produit et inversion.Remarque8.Le produit complexe, restreint àU, est donc associatif, possède un élément neutre1,
et tout élément deUest inversible. Ce sont ces propriétés qui font deUce qu"on appelle un groupe
commutatif, notion que étudierons plus en détail dans un chapitre ultérieur. Définition 8.Soitun réel quelconque, on notele nombre complexecos+sin.Proposition 7.Pour tous réelset, on a
==??1, et(+)=. De plus, U.Démonstration.En effet,
= cos()sin() = cos() +sin() =, et d"après la formule que nous allons montrer juste après,=0= 1, donc=??1. La deuxième pro- priété découle imédiatement des formules d"addition pour lecoset lesin:= cos()cos() sin()sin()+(cos()sin()+sin()cos()) = cos(+)+sin(+). Enfin, la dernière affirmationpeut être démontrée de plusieurs façons, par exemple par calcul direct := cos2() + sin2() =
1. 4 Théorème 3.SoitU, alorspeut s"écrire sous la forme, oùest un réel unique modulo2. Démonstration.Comme= 1, le point(;)image dedans le plan appartient au cercle trigonométrique. On a donc= cos()et= sin(), oùest un angle défini à2près, et= Remarque9.Le réels"interprétant naturellement comme un angle, on utilise souvent la variable pour le paramétrage :U=[0;2[.2.2 Argument d"un nombre complexe
Proposition 8.Tout nombre complexe non nulpeut s"écrire sous la forme, où= R+,etest un réel défini à2près. Cette écriture est appeléeforme trigonométriquedu nombre
complexe. Démonstration.C"est une application immédiate du théorème du paragraphe précedent := et le complexe ayant pour module1, il peut s"écrire sous la forme. Définition 9.Le réelest appeléargumentdu nombre complexe, et noté()(il n"est pas unique). L"unique valeur deappartenant à l"intervalle];]est l"argument principalde, souvent noté(). Remarque10.Le nombre complexe0est donc le seul à ne pas posséder d"argument. Proposition 9.Les arguments vérifient les propriétés suivantes : arg() = arg() + arg( ) =arg() arg() = arg() + arg() arg? = arg()arg()Démonstration.C"est en fait une simple redite des propriétés vues au paragraphe précédent. Si
=et=, on a les formes trigonométriques suivantes :=() =(cos() sin()) =(cos(+) +sin(+)) =(+); ==;==i(θ+θ), et de même pour le quotient.