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4 sept 2014 · Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300 sont Le chapitre 7 est consacré au produits d'espaces mesurés, à l'intégration de Remarque 2 21 (Comment choisir la probabilité) Soit (E, T) un 

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MESURE, INTEGRATION, PROBABILITES

Thierry Gallouët Raphaèle Herbin

4 septembre 2014

Avant-proposL"objectif de ce livre est de donner une vue d"ensemble de la théorie de la mesure, de l"intégration et des probabilités correspondant à un niveau de troisième année de licence ou de première année de master (en mathématiques). La lecture de ce livre requiert la connaissance des notions d"analyse réelle, d"algèbre

linéaire et de calcul différentiel enseignées en première et deuxième année de licence

de mathématiques dans la plupart des universités françaises. Nous nous sommes attachés à introduire le vocabulaire de la théorie des probabilités

en parallèle à celui de l"analyse. Nous espérons ainsi faciliter l"accès conjoint à des

études ultérieures dans ces deux branches des mathématiques, ce qui semble devenir indispensable aux mathématiciens se formant en vue d"appliquer ces théories. Nous attachons une importance considérable aux exercices : plus de 300 sont proposés dans ce livre, certains sont des applications directes du cours, d"autres contiennent des développements importants. Plus de 250 d"entre eux sont assortis d"un corrigé détaillé. Ce livre, issu d"un polycopié de cours amélioré et complété sur plus de 20 ans, a bénéficié de nombreuses remarques ou questions de nos étudiants et de discussions avec nos collègues (en particulier probabilistes). Nous tenons à les en remercier chaleureusement. Une liste d"errata sera régulièrement mise à jour sur les sites web des auteurs.

Thierry Gallouët et Raphaèle Herbin

Table des matières

1 Motivation et objectifs 9

1.1 Intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2 Insuffisance de l"intégrale des fonctions continues . . . . . . . . . . .

11

1.3 Les probabilités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4 Objectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.5 Structure du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2 Tribus et mesures 37

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.2 Tribu oualgèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38

2.3 Mesure, probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

2.4 Mesure signée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

2.5 La mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens . . . . . . . . . .

54

2.6 Indépendance et probabilité conditionnelle . . . . . . . . . . . . . .

65

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

3 Fonctions mesurables, variables aléatoires 113

3.1 Introduction, topologie surR

+. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113

3.2 Fonctions étagées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

115

3.3 Fonctions mesurables et variables aléatoires . . . . . . . . . . . . . .

117

3.4 Mesure image, loi d"une v.a., v.a. indépendantes . . . . . . . . . . .

124

3.5 Convergence p.p., p.s., en mesure, en probabilité . . . . . . . . . . .

127

3.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131

4 Fonctions intégrables 163

4.1 Intégrale d"une fonction étagée positive . . . . . . . . . . . . . . .

164

4.2 Intégrale d"une fonction mesurable positive . . . . . . . . . . . . .

166

4.3 Convergence monotone et lemme de Fatou . . . . . . . . . . . . . . .

171

4.4 Mesures et probabilités de densité . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174

TABLE DES MATIÈRES

4.5 L"espaceL1des fonctions intégrables . . . . . . . . . . . . . . . .176

4.6 L"espaceL1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .180

4.7 Théorèmes de convergence dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . .183

4.8 Continuité et dérivabilité sous le signe d"intégration . . . . . . . . .

189

4.9 Espérance et moments des variables aléatoires . . . . . . . . . . . . .

191

4.10 EspaceL1C(E;T;m)et espaceL1

R

N(E;T;m). . . . . . . . . . . . . .195

4.11 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

198

5 Intégrale sur les boréliens deR255

5.1 Intégrale de Lebesgue et intégrale des fonctions continues . . . . . .

255

5.2 Mesures abstraites et mesures de Radon . . . . . . . . . . . . . . . .

257

5.3 Changement de variable, densité et continuité . . . . . . . . . . . .

264

5.4 Intégrales impropres des fonctions deRdansR. . . . . . . . . . .268

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

6 Les espacesLp289

6.1 Définitions et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

6.2 Analyse hilbertienne et espaceL2. . . . . . . . . . . . . . . . . .302

6.3 Dualité dans les espacesLp,1p 1. . . . . . . . . . . . . . .325

6.4 Convergence faible, faible-, étroite, en loi . . . . . . . . . . . . . .334

6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

344

7 Produits d"espaces mesurés 431

7.1 Motivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

431

7.2 Mesure produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

432

7.3 Théorèmes de Fubini-Tonelli et Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . .

437

7.4 Mesure de Lebesgue sur la tribu des boréliens deRN. . . . . . . .442

7.5 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

445

7.6 Formules de changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . .

451

7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

453

8 Densité, séparabilité et compacité 487

8.1 Théorèmes de densité pour les espacesLp(

). . . . . . . . . . . . .487

8.2 Séparabilité deLp(

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .492

8.3 Compacité dans les espacesLp(

). . . . . . . . . . . . . . . . . .493

8.4 Compacité faible-. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .494

8.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

497

9 Vecteurs aléatoires 511

9.1 Définition, propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

511

9.2 Indépendance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

517

TABLE DES MATIÈRES

9.3 Vecteurs gaussiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

521

9.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

522

10 Transformation de Fourier 537

10.1 Introduction et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

537

10.2 Transformation de Fourier dansL1. . . . . . . . . . . . . . . . . .538

10.3 Transformée de Fourier d"une mesure signée . . . . . . . . . . . . .

542

10.4 Transformation de Fourier dansL2. . . . . . . . . . . . . . . . . .545

10.5 Résolution d"une E.D.O ou d"une E.D.P . . . . . . . . . . . . . . . .

547

10.6 Fonction caractéristique d"un vecteur aléatoire . . . . . . . . . . . .

548

10.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

555

11 Espérance conditionnelle et martingales 575

11.1 Espérance conditionnelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

575

11.2 Martingales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

584

11.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

587

Références 621

Index 622

Chapitre 1

Motivation et objectifsNous commençons par donner ici un aperçu des motivations de la théorie de l"intégra-

tion, en montrant d"abord les limitations de l"intégrale des fonctions continues (sur un intervalle compact deR). L"intégrale de Riemann possède essentiellement les mêmes limitations.

1.1 Intégrale des fonctions continues

Nous présentons ici quelques rappels sur l"intégrale des fonctions continues sur un intervalle compact deR. Nous montrons pourquoi cette théorie de l"intégrale des fonctions continues semble insuffisante. Nous nous limitons dans ce paragraphe à l"étude des fonctions définies sur l"intervalle [0;1]à valeurs dansR, par souci de simplicité des notations. Il va de soi que les notions introduites se généralisent à une intervalle[a;b],a;b2R. Nous allons en

fait définir l"intégrale des fonctions réglées (on appelle fonction réglée une fonction

qui est limite uniforme d"une suite de fonctions en escalier). Ceci nous donnera

l"intégrale des fonctions continues car toute fonction continue est réglée. La définition

de l"intégrale des fonctions réglées (comme celle de l"intégrale de Riemann, qui est rappelée dans l"exercice 5.2, et celle de l"intégrale de Lebesgue, qui fait l"objet du chapitre 4) peut être vue en 3 étapes, que nous esquissons ici et qui sont étudiées en détail dans l"exercice 1.2 :

1.Mesurer les intervalles de[0;1].Pour01, on posem(];[) =.

2.Intégrer les fonctions en escalier.Définition 1.1 (Fonction en escalier)

Soitgune fonction de l"intervalle[0;1]R

dansR; on dit quegest une fonction en escalier si il existep2N, une famille

10CHAPITRE 1. MOTIVATION ET OBJECTIFSa

p1 x

0= 0xp= 1x1x2x3xp1g(x)

x a 2 a 3a 0a

1FIGURE1.1 - Fonction en escalier(xi)i2f0;:::;pg, avec :x0= 0,xi< xi+1, pour touti2 f0;:::;p1g,xp= 1, et une

famille(ai)i2f0;:::;p1gRtels que g(x) =ai;8x2]xi;xi+1[;8i2 f0;:::;p1g: Avec les notations de cette définition, l"intégrale d"une fonction en escalier est alors Z1 0 g(x)dx=p1X i=0a im(]xi;xi+1[):(1.1)

On montre que la définition précédente est bien cohérente, au sens où l"intégrale de

gne dépend que du choix deget non du choix desxi. 3. Passer à la limite.Soitf:[0;1]!R, une fonction réglée, il existe une suite (fn)n2Nde fonctions en escalier convergeant uniformément versf. On poseIn=Z1 0 fn(x)dx:On peut montrer que la suite(In)n2Nest de Cauchy. On pose alors Z 1 0 f(x)dx= limn!+1In: On montre que cette définition est cohérente carlimn!+1Inne dépend que defet non du choix de la suite(fn)n2N. Remarque 1.2 (Intégrale sur un espace de Banach)

Un des intérêts de la méthode

présentée ci-dessus est qu"elle permet aussi de définir (sans travail supplémentaire) l"intégrale de fonctions continues de[0;1](ou d"un intervalle compact deR) dans

1.2. INSUFFISANCE DE L"INTÉGRALE DES FONCTIONS CONTINUES11

E, oùEest un espace de Banach1surRouC(la méthode de construction utilise la structure d"espace de Banach deE, et il peut ne pas y avoir de relation d"ordre surE). On remplace donc l"espace d"arrivéeRdes fonctions qu"on intègre par un espace de

BanachE.

Les méthodes de Riemann (voir l"exercice 5.2) et de Lebesgue (présentée dans ce cours) sont limitées à des fonctions prenant leurs valeurs dansRcar elles utilisent de[0;1]dansR, la même intégrale que ci-dessus). Pour l"intégrale de Lebesgue, il faut alors un travail supplémentaire pour développer une théorie de l"intégration pour des fonctions prenant leurs valeurs dans un espace de Banach (on l"appelle souvent intégrale de Bochner). Plus précisément, ce travail supplémentaire est nécessaire lorsque cet espace est de dimension infinie. Le cas où l"espace est de dimension finie

reste simple car on est alors amené à considérer un nombre fini d"intégrales à valeurs

dansR, [3, 4].

Remarque 1.3 (Remarque de terminologie)

Dans tout ce document, on utilisera

indifférement le terme "fonction" et le terme "application". Une application (ou une fonction)fdeDdansEest la donnée pour toutx2Dde son image parf, notéef(x). (Le domaine de définition defest donc ici l"ensembleD.) lorsque nous parlons d"une fonction deRdeR, le domaine de définition defest doncRtout entier.

1.2 Insuffisance de l"intégrale des fonctions continues

Dans ce paragraphe, on noteEl"ensembleC([0;1];R)des fonctions continues de [0;1]dansR. On a défini dans le paragraphe précédent l"intégraleR1

0f(x)dxpour

toutf2E(car l"ensemble des fonctions continues est contenu dans l"ensemble des fonctions réglées).

Théorèmes de convergence.

Un inconvénient important de la théorie de l"intégration exposée ci-dessus est que les théorèmes "naturels" de convergence pour cette théorie sont peu efficaces. A vrai dire, le seul théorème simple est un résultat de convergence de l"intégrale sous hypothèse de convergence uniforme d"une suite de fonctions. Rappelons tout d"abord les notions

de convergence simple et uniforme des suites de fonctions.Définition1.4(Convergencesimpleetuniforme)

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