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t ↦→ cos(at) et t ↦→ sin(at) Pour ce ramener à une écriture sous forme de somme de fonctions circulaires, on va utiliser les formules d'Euler Pour tout réel θ, 

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22 nov 2016 · de sin Plan : la formule du binôme, linéariser un polynôme trigonométrique, exprimer cos(nx) ou sin(nx) sous forme de polynômes en cos(x) ou 

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Linéarisation par les formules de Euler LineariserEuler sin(θ) = eiθ − e−iθ 2 i Un exemple de linéarisation avec les formules de Euler cos3(2x) sin2(3x) =

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1 − tan2 a tan(a − b) = tan a − tan b 1 + tan a tanb Formules de linéarisation cosa cosb = 1 2 (cos(a − b) + cos(a + b)) cos2 a = 1 + cos(2a) 2 sin a sinb = 1

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5 Résoudre sin(x)sin(3x) = sin(5x)sin(7x) Exercice 2 1 Linéariser sin2 x cosx 2 Linéariser sin2 x cos2 x 3 Linéariser sin3 x 4 Linéariser sinx cos2 x 5

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a)Calculer cos(4x) et sin(4x) en fonction de cos(x) et sin(x) b) Linéariser )x(cos 4 c)Linéariser )x(cos 4 sin(x) III) Racines nèmes d'un nombre complexe

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http://licence-math univ-lyon1 fr/doku php?id=p13:tmb:page Exercice 1 Linéariser sin4 x (c'est-à-dire l'exprimer en fonction de sin(k x) ou de cos(k x) où k est 

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1 2 (sin(3x)−sin(x)) = 1 4 (sin(3x) + sin(x)) ⋄ Pour linéariser les expressions ci-dessus, on a utilisé les formules de linéarisation pour les cosinus et les sinus

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sin(2x) = 2 sin x cos x tan2x = 2 tan x 1 − tan2 x avec x = π/2[π] et 2x = π/2[π] ♧ Exercice: le prouver Remarque: les formules de linéarisation suivantes sont 

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On définit les fonctions cos, sin et tan par les formules cos(x) = eix + e−ix On peut linéariser les puissances de cos et sin, ainsi que leur produits : cosn(x) = (

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Linearisation par les formules de EulerLineariserEuler.texLinearisation des expressions Trigonometriques

Les formules du bin^ome

(a+b)2=a2+ 2ab+b2 (a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=a4+ 4a3b+ 6a2b2+ 4ab3+b4 (a+b)5=a5+ 5a4b+ 10a3b2+ 10a2b3+ 5ab4+b5 Les formules trigonomeriques usuelles de linearisation cos

2(t) =1 + cos(2t)2

sin

2(t) =1cos(2t)2

cos(t)sin(t) =sin(2t)2

Les formules de Euler

e i= cos() +isin() donc :8 >>:cos() =ei+ei2 sin() =eiei2i Un exemple de linearisation avec les formules de Euler cos

3(2x) sin2(3x) =e2ix+e2ix2

3e3ixe3ix2i

2 12 5i2 e

6ix+ 3e2ix+ 3e2ix+e6ix

e

6ix2 +e6ix

=12 5 e

12ix+ 3e8ix2e6ix+ 3e4ix6e2ix+ 2

6e2ix+ 3e4ix2e6ix+ 3e8ix+e12ix

=12 4 e12ix+e12ix2 + 3e8ix+e8ix2

2e6ix+e6ix2

+3 e4ix+e4ix2

6e2ix+e2ix2

+22
=116 cos(12x) + 3cos(8x)2cos(6x) + 3cos(4x)6cos(2x) + 1

Un autre exemple de linearisation

cos

2(x) sin3(x) =sin(5x) + sin(3x) + 2sin(x)16

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