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1

Transport et diffusion

G. ALLAIRE

Cours no. 5 - le 11/I/2016

M´ethodes num´eriques

☞Diff´erences finies en 1-d: rappels ☞Equation de diffusion stationnaire ☞Equation de transport ☞Equation de transport stationnaire D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 2 (1) Rappels: diff´erences finies xt (t , x ) nj

ΔxjnΔt

Maillage:

discr´etisation de l"espace et du temps (tn,xj) = (nΔt,jΔx) pourn≥0,j?Z

Δt=

pas de temps,

Δx=

pas d"espace (suppos´es "petits"). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 3

Exemple de l"´equation de diffusion en 1-d

?∂u∂t-ν∂2u ∂x2= 0 dans (0,1)×IR+? u(t,x= 0) =u(t,x= 1) = 0 pourt?IR+? u(t= 0,x) =u0(x) dans (0,1) avecν >0. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 4

Principe des diff´erences finies

On calcule des

approximations unj≈u(tn,xj) On remplace les d´eriv´ees par desdiff´erences finies ∂u∂x(tn,xj)≈unj+1-unj-1

2Δxou bien≈unj+1-unj

Δxou bien≈unj-unj-1

Δx Principe de discr´etisation:on remplace un probl`eme de dimension infinie (calculer la fonctionu(t,x)) par un probl`eme de dimension finie (calculer les valeurs discr`etesunj), qui seul peut ˆetre r´esolu par un ordinateur. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 5 Diff´erences divis´ees et formules de Taylor

Il n"y a pas

unicit´e des formules d"approximation par diff´erences finies.

On utilise des

formules de Taylor . Par exemple -u(t,x-Δx) + 2u(t,x)-u(t,x+ Δx) =-(Δx)2∂2u ∂x2(t,x) (Δx)4

12∂

4u ∂x4(t,x) +O? (Δx)6? On en d´eduit la formule (centr´ee en espace) ∂2u ∂x2(tn,xj)≈-unj-1+ 2unj-unj+1 (Δx)2 `a un terme d"ordre (Δx)2pr`es. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 6

Approximation de la d´eriv´ee en temps

➩Sch´ema d"Euler explicite(progressif en temps, ou "forward"): ∂u ∂t(tn,xj)≈un+1 j-unj Δt ➩Sch´ema d"Euler implicite(r´etrograde en temps, ou "backward"): ∂u ∂t(tn,xj)≈unj-un-1 j Δt D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 7 Sch´emas pour l"´equation de diffusion en 1-d ➩sch´ema d"Euler explicite: le plus simple un+1 j-unj

Δt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1

(Δx)2= 0 (explicite?formule imm´ediate pour trouverun+1en fonction deun) ➩sch´ema d"Euler implicite: le plus stable unj-un-1 j

Δt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1

(Δx)2= 0 (implicite?syst`eme lin´eaire pour trouverunen fonction deun-1) Initialisation:u0j=u0(xj) o`uu0(x) est la condition initiale. Conditions aux limites:un0=unN+1= 0 pour toutn≥1. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 8

Consistance et pr´ecision

D´efinition.Un sch´ema de formuleF(unj) = 0 est dit consistant avec l"´equation qu"il discr´etise si l"erreur de troncature v´erifie lim

Δt,Δx→0F?

u(tn,xj)? = 0si et seulement siu(t,x) est solution de l"´equation. On dit que le sch´ema est pr´ecis `a l"ordrepenxet `a l"ordreqentsi l"erreur de troncature estO? (Δx)p+ (Δt)q? Exercice.Les sch´emas d"Euler explicite et implicite sont d"ordre 1 en temps et 2 en espace. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion

9Stabilit´e

On consid`ere une des deux normes discr`etes

?un?2=(( N? j=1Δx|unj|2))1/2

D´efinition.Un sch´ema est dit

stable pour une de ces normes s"il existe une constanteK >0 ind´ependante de Δtet Δxtelle que quelle que soit la donn´ee initialeu0. Si cette in´egalit´e a lieu sous une condition entre Δtet Δx, on dit que le sch´ema est conditionnellement stable D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 10

Condition de stabilit´eL∞

Lemme.Le sch´ema explicite est stable en normeL∞si et seulement si la condition CFL suivante est satisfaite

D´emonstration

(principe du maximum discret): le sch´ema explicite est ´equivalent `a u n+1 j=νΔt (Δx)2unj-1+?

1-2νΔt

(Δx)2? u n j+νΔt (Δx)2unj+1 u n+1 jest une combinaison convexe si la condition CFL est satisfaite. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 11 Si la condition CFL n"est pas satisfaite, il y a instabilit´e. Exemple: u 0 j= (-1)j?unj= (-1)j?

1-4νΔt

(Δx)2? n qui tend (en valeur absolue) vers∞car 2νΔt >(Δx)2?1-4νΔt (Δx)2<-1. Exercice.Le sch´ema d"Euler implicite est inconditionnellement stable en normeL∞. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 12

Stabilit´eL2: deux m´ethodes

1. Condition n´ecessaire de Von Neumann dans le cas p´eriodique.

2. In´egalit´es d"´energie dans le cas g´en´eral.

Dans le cas de

conditions aux limites p´eriodiques on peut utiliser une m´ethode

d"analyse de Fourier.Plutˆot que de d´ecrire en d´etails cette m´ethode, on rappelle une condition

n´ecessaire tr`es simple, dite de

Von Neumann.

On consid`ere une solution discr`ete particuli`ere sous laforme d"un mode de

Fourier, pourk?Z,

u n j=A(k)nexp(2iπkxj) avecxj=jΔx. En injectant cette solution dans la d´efinition du sch´ema ontrouve une formule pour le coefficient d"amplificationA(k)?C D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 13 Condition n´ecessaire de stabilit´e de Von Neumann.Le sch´ema est stable seulement si le coefficient d"amplification v´erifie Remarque.Dans de nombreux cas on peut montrer que la condition n´ecessairede Von Neumann est aussi suffisante (mais pas toujours !). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 14 Lemme.La condition n´ecessaire de stabilit´e (en normeL2) de Von Neumann est satisfaite inconditionnellement par le sch´ema d"Euler implicite, et sous la

D´emonstration.Sch´ema implicite

u n j-un-1 j

Δt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1

(Δx)2= 0 dont on d´eduit, pour la solution particuli`ereunj=A(k)nexp(2iπkxj), A(k)?

1 +νΔt

(Δx)2(-exp(-2iπkΔx) + 2-exp(2iπkΔx))? = 1

On v´erifie que

A(k) =1

1 +4νΔt

Pour le sch´ema explicite on trouve queA(k) = 1-4νΔt (Δx)2(sin(πkΔx))2. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 15

M´ethode d"in´egalit´es d"´energie

Commen¸cons par une in´egalit´e d"´energie pour l"´equation de diffusion.

Lemme.Soitu(t,x) une solution r´eguli`ere de

?∂u ∂t-ν∂2u ∂x2= 0 dans (0,1)×IR+? u(t,x= 0) =u(t,x= 1) = 0 pourt?IR+? u(t= 0,x) =u0(x) dans (0,1)

Alors elle v´erifie l"in´egalit´e, dite

d"´energie , pour toutt >0, 1 0 1 0 |u0(x)|2dx. Remarque.Rien `a voir, parfois, avec l"´energie physique ! D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 16 D´emonstration.On multiplie l"´equation paruet on int`egre par parties 1 0 u∂u ∂tdx+ν? 1 0? ∂u ∂x? 2 dx-ν? u∂u ∂x(t,1)-u∂u ∂x(t,0)? = 0. Les termes de bord s"annulent `a cause des conditions aux limites et, en int´egrant en temps, on obtient 1 2? 1 0 |u(t,x)|2dx-1 2? 1 0 |u(0,x)|2dx+ν? t 0? 1 0? ∂u ∂x(s,x)? 2 dxds= 0 d"o`u l"on d´eduit le r´esultat en minorant par z´ero la derni`ere int´egrale. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 17 sch´ema implicite . Alors elle v´erifie l"in´egalit´e Donc, le sch´ema implicite est inconditionnellement stable en normeL2. D´emonstration.On multiplie par (ΔtΔx)unjla formule du sch´ema implicite u n j-un-1 j

Δt+ν-unj-1+ 2unj-unj+1

(Δx)2= 0 et on somme enj (´equivalent de l"int´egration en espace) pour obtenir

ΔxN?

j=1u n j(unj-un-1 j) +νΔt

ΔxN

j=1u n j? (unj-unj+1)-(unj-1-unj)? = 0.

On r´earrange la derni`ere somme

(´equivalent d"une int´egration par parties)

ΔxN?

j=1u n j(unj-un-1 j)+νΔt

ΔxN

j=1u n j(unj-unj+1)-νΔt

ΔxN-1?

j=0u n j+1(unj-unj+1) = 0. D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 18 En utilisant la condition aux limites de Dirichlet, il vient

ΔxN?

j=1u n j(unj-un-1 j) +νΔt

ΔxN

j=0(unj-unj+1)2= 0.

On minore par 0 la derni`ere somme

ΔxN?

j=1u n jun-1 j

Remarque.

On a copi´e, dans le cas discret, la d´emonstration du cas continu ! D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion

19Convergence

Th´eor`eme de Lax.Un sch´ema lin´eaire, consistant et stable est convergent. De plus, si le sch´ema est pr´ecis `a l"ordrepenxet `a l"ordreqentalors la vitesse de convergence estO? (Δx)p+ (Δt)q?

D´emonstration.Voir le polycopi´e.

D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 20 (2) Equation de diffusion stationnaire Pour bien comprendre, on refait la mˆeme chose ! ?-ν∂2u ∂x2+σ(x)u=f(x) dans (0,1) u(x= 0) =u(x= 1) = 0 avecν >0, la sourcef(x)?L2(0,1) et l"absorptionσ(x)≥0. Lemme (estimation d"´energie).La solutionuv´erifie 1 0?

ν|u?|2+σ|u|2?

dx=? 1 0 f udx, donc il existe une constanteC >0 telle que, pour toute sourcef, D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 21

Sch´ema en stationnaire

-uj-1+ 2uj-uj+1 avec les conditions aux limites:u0=uN+1= 0. Il faut r´esoudre un syst`eme lin´eaire pour trouver la solution discr`ete.

Lemme.La matrice du syst`eme est inversible.

D´efinition.Un sch´ema est dit

stable pour la norme?u?s"il existe une constanteK >0 ind´ependante de Δxtelle que D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 22

Stabilit´eL2et convergence en stationnaire

On utilise l"approche d"in´egalit´e d"´energie.NormeL2discr`ete: ?(uj)?2=???? N? j=1Δx|uj|2.

Lemme 1.La solution discr`ete v´erifie

N? j=1(uj-uj-1)2

Δx+N?

j=1Δxσj(uj)2=N? j=1Δxujfj. Lemme 2.In´egalit´e de Poincar´e discr`ete: pour tout vecteur (vj) avec v

0=vN+1= 0

N? 2N j=1Δx?vj-vj-1

Δx?

2

2ν?(fj)?2.

D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 23

Preuves des Lemmes 1 et 2

On multiplie le sch´ema par Δxujet on "int`egre par parties" en discret (r´earrangement de la somme) N j=1Δxνuj-uj-1+ 2uj-uj+1 (Δx)2=νN? j=1u j(uj-uj-1)-(uj+1-uj) Δx =νN? j=1u j(uj-uj-1)

Δx-νN+1?

j=2u j-1(uj-uj-1)

Δx=νN?

j=1(uj-uj-1)2 Δx

In´egalit´e de Poincar´e:

v j=j? k=1(vk-vk-1)2 Or D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 24???

Convergence

Th´eor`eme de Lax.Le sch´ema converge au sens o`u la fonction u Δx(x) =ujsixj-1/2< x < xj+1/2avecxj+1/2= (j+ 1/2)Δx converge vers la solution exacteu, i.e., lim

Δx→0?uΔx-u?L2(0,1)= 0.

Preuve.Supposons queu?C4[0,1] (c"est vrai sifetσsont r´eguli`eres). La consistance du sch´ema donne????-u(x-Δx) + 2u(x)-u(x+ Δx) (Δx)2+u??(x)????

12maxx?[0,1]|u????(x)|

D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 25
Soit l"erreur discr`eteej=uj-u(xj) qui v´erifie -ej-1+ 2ej-ej+1 avec les conditions aux limites,e0=eN+1= 0, et le second membre

12maxx?[0,1]|u????(x)|

On d´eduit de l"estimation d"´energie discr`ete

24νmaxx?[0,1]|u????(x)|

P

Δxu(x) =u(xj) sixj-1/2< x < xj+1/2.

D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 26
Stabilit´eL∞et convergence en stationnaire

Lemme.Le sch´ema est stableL∞.

Preuve.V´erifions le principe du maximum discret. On supposef≥0 ; montrons queuj≥0. u j0< uj0-1(existe forc´ement caru0= 0). On a =ν((uj0-uj0-1) + (uj0-uj0+1)) +σj0(Δx)2uj0<0

Contradiction, doncuj≥0.

Th´eor`eme de Lax.Le sch´ema converge au sens o`u lim D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 27
(3) Equation de transport

On supposeV >0.

?∂u ∂t+V∂u ∂x= 0 pour (x,t)?(0,1)×IR+? u(t,0) =g(t) pourt?IR+? u(0,x) =u0(x) pourx?(0,1). Si on ´etendu0(x) par 0 en dehors de l"intervalle (0,1), etg(t) par 0 pour t <0, la solution exacte est u(t,x) =u0(x-V t) +g(t-x V). D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 28

Sch´ema d´ecentr´e amont (upwind)

Un bon sch´ema:

sch´ema d´ecentr´e amontun+1 j-unj

Δt+Vunj-unj-1

Δx= 0 siV >0.

On va chercher l"information enremontant le courant( une des id´ees majeures de l"analyse num´erique Autres sch´emas possibles: Lax-Friedrichs (trop diffusif), Lax-Wendroff (pr´ecis mais dispersif).

Condition aux limites du sch´ema:un0=g(tn).

D´epartement de Math´ematiques Appliqu´eesTransport et diffusion 29

Analyse du sch´ema d´ecentr´e amont

Lemme.Le sch´ema d´ecentr´e amont est stableL∞sous la condition CFL Il est pr´ecis d"ordre 1 seulement (sauf si|V|Δt= Δx). Il est donc convergent.

Preuve:on peut le r´e´ecrire sous la forme

u n+1 j=VΔt

Δxunj-1+?

1-VΔt

Δx?

u n j, principe du maximum discret.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35