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Résolution numérique des Équations

Différentielles Ordinaires

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3

Christophe Besse

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2016 Christophe BesseLicensed under the Creative Commons Attribution-NonCommercial 3.0 Unported License (the "License").

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First printing, November 2016

Table des matières

1Interpolation polynomiale.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Interpolation de Lagrange

5

1.2 Étude de l"erreur d"interpolation et stabilité

6

1.3 Calcul pratique du polynôme d"interpolation de Lagrange

9

1.3.1 Différences divisées

10

1.3.2 Algorithme de Horner

11

1.4 Exercices12

2Intégration numérique.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.1 Formules de quadrature et leur ordre

15

2.2 Étude de l"erreur

19

2.3 Formules d"ordre supérieur

23

2.4 Polynômes orthogonaux de Legendre

24

2.5 Formule de quadrature de Gauss

24

2.6 Exercices25

3EDO - Introduction.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4La méthode d"Euler.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1 Exemples35

4.2 Le cas général

37

4.3 Analyse de la méthode

38

4.4 Le schéma d"Euler implicite

44

4.4.1 Consistance

44

4.4.2 Stabilité

44

4.4.3 Convergence

45

4.5 Étude générale de l"erreur des méthodes à un pas45

4.6 Les méthodes de prédicteur-correcteur

47

4.7 Exercices49

5Les méthodes multi-pas.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.1 Introduction55

5.1.1 La règle des trapèzes

56

5.1.2 Méthode de Adams-Bashforth à 2 étapes AB(2)

56

5.2 Les méthodes à deux pas

56

5.2.1 Consistance

57

5.2.2 Construction

57

5.3 Méthodes àkétapes58

5.4 Convergence et (zéro)-stabilité

59

5.5 Familles classiques

60

5.5.1 Adams-Bashforth 1883

60

5.5.2 Famille Adams-Moulton 1926

61
61

5.5.4 Milne-Simpson 1926

61

5.5.5 Backward Differentiation Formulas (BDF) 1952

61

5.6 Exercices61

6Stabilité.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.1 Stabilité absolue - motivations

65

6.2 Stabilité absolue

67

6.3 Méthode de localisation de la frontière

70

6.4 A-stabilité71

6.5 Extension aux systèmes d"EDO

71

6.6 Exercices74

7Les méthodes de Runge-Kutta.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

7.1 Description de la méthode

77

7.2 Consistance79

7.2.1 Méthodes RK à une étape

79

7.2.2 Méthodes RK à deux étapes

80

7.2.3 Méthodes RK à trois étapes

81

7.2.4 Méthodes RK à quatre étapes

81

7.2.5 Méthodes implicites

81

7.3 Stabilité absolue

82

7.4 Méthodes implicites

83

7.5 Exercices85

Bibliographie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Livres87

Index.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

1. Interpolation polynomialeOn dispose d"une série de couples de points(xi;fi),i2 f0;;ng. Le but de l"interpolation est de

contruire un polynômepqui prenne les valeursfiaux pointsxi. Si on suppose que les valeursfisont issues de l"évaluation d"une fonctionfenxi, nous tenterons de quantifier l"erreurjf(t)p(t)j.x 1x 2x 3x 4x 5

On ne présente ici que l"interpolation de Lagrange. Il en existe d"autres comme par exemple l"interpolation

de Hermite qui outre les valeursfis"interesse également aux valeurs de la dérivée enxi.

Notations

On notePnl"ensemble des polynômes d"une variable (réelle ou complexe) de degrén.Pnest un espace vectoriel de dimensionn+ 1 Soit [a;b]2R. On noteC0([a;b])l"ensemble des fonctions continues sur[a;b]et kfk1= sup x2[a;b]jf(x)j On n oteCm([a;b])l"ensemble des fonctions de classeCmsur[a;b]. 1.1

Inter polationde Lagrange

On considèren+ 1points distincts, pas nécessairement ordonnés(x0;x1;;xn)de[a;b]et on considère une fonctionf2C0([a;b]). Nous souhaitons répondre à la question Existe-t-il un polynômep2Pntel quep(xi) =f(xi),0in?

6Chapitre 1. Interpolation polynomialeDéfinition 1.1.1 - Polynômes de Lagrange.On définit les polynômes de Lagrange associés aux

points(x0;;xn)par l i(x) =(xx0)(xxi1)(xxi+1)(xxn)(xix0)(xixi1)(xixi+1)(xixn);0in; Y

0jn;j6=i(xxj)(xixj):(1.1)

On ali(xj) =ij8(i;j)2 f0;;ngoùijest le symbole de Kronecker, et degré(li) =n.

Proposition 1.1.1(l0;;ln)est une base dePn.

Preuve

Cette famille est évidemment génératrice. Le point clé est de savoir si elle est libre. Soit

(a0;;an)2Rn+1etx2R. Alors, siPn i=0aili(x)pour toutx, on a pour toutj,Pn i=0aili(xj) = 0.

Commeli(xj) =ij, cela impliqueaj= 0pour toutj.

Ainsi, la famille est libre et génératrice et c"est donc une base.Théorème 1.1.2 Le problème : trouverp2Pntel quep(xi) =f(xi),80inadmet une unique solution donnée par p(x) =nX i=0f(xi)li(x):(1.2) ps"appelle le polynôme d"interpolation de Lagrange, notépn.

Preuve

Existence : on vérifie aisément que le polynômepdonné par (1.2) répond à la question.

Unicité : soitq2Pntel queq(xi) =f(xi),80inetr=pq2Pn. On a ainsir(xi) = 0

80in. Il existe donc un polynômeAtel que

r(x)|{z} d n=A(x)(xx0)(xx1)(xxn)|{z} d (n+1):

Donc, siA6= 0,rdevrait être de degrén+ 1. La seule possibilité est queA0et doncr= 0.ROn posen+1(x) = (xx0)(xx1)(xxn). Alors

l i(x) =n+1(x)(xxi)0n+1(xi):(1.3) 1.2 Étude de l"err eurd"inter polationet sta bilité En pratique, on commet systèmatiquement des erreurs car un ordinateur ne travaille qu"avec un

nombre limité de chiffres significatifs. Il est donc important de connaître l"influence sur le résultat final

des erreurs commises sur les données. On remplace (ici volontairement) les vraies valeursf(xi)par des

valeurs approchéesfiet on regarde l"incidence surpn. On note ce nouveau polynôme d"interpolation

~pn(x) =Pn i=0fili(x). L"erreur commise est donc j~pn(x)pn(x)j= n X i=0(fifi(x))li(x) nX i=0jfifi(x)j jli(x)j maxijfifi(x))jnX i=0jli(x)j:

1.2 Étude de l"erreur d"interpolation et stabilité 7

On note la constante de Lebesgue associée aux pointsx0;;xn n= maxx2[a;b]n X i=0jli(x)j:

Ainsi,

k~pn(x)pn(x)k1nmaxijfifi(x)j: L"erreur commise sur lesf(xi)est donc amplifiée (ou atténuée) par la constante de Lebesgue. Proposition 1.2.1On introduit l"application linéaire L n:C0([a;b])!Pn f7!pnqui àf2C0([a;b])associe son unique polynôme d"interpolation de Lagrange aux pointsx0;;xn.

Alors, la norme deLnestn, c"est à dire

jjjLnjjj:= sup f2C0([a;b]) f6= 0kLn(f)kkfk1= n:

Preuveon commence par montrerjjjLnjjj n. On a

jLn(f)(x)j=jpn(x)j= n X i=0f i(x)li(x) nX i=0jfi(x)j jli(x)j kfk1n X i=0jli(x)j nkfk1: Pour obtenir l"égalité, on se demande s"il existe une fonctionf2C0([a;b])telle quekLn(f)k1= nkfk1. Il n"est pas du tout sur qu"une telle fonction existe car lesuppeut ne pas être atteint.

Supposons que c"est le cas. Cela impliquerait

1.kfk1n

X i=0jli (x)j= nkfk1signifie quexest un point de maximum de la fonctiony7!P ijli(y)j. Or, un tel point existe car cette fonction est continue sur[a;b], intervalle fermé borné deR. 2. nX i=0kfk1 nX i=0jfi(x)j jli (x)jsignifie quejf(xi)j=kfk1pour touti. On peut supposer que kfk1= 1. 3. nX i=0jfi(x)j jli (x)j= n X i=0f i(x)li(x) signifie que lesfi(x)li(x)ont tous le même signe. On peut supposer que toutes ces quantités sont positives. En combinant(2)et(3), on voit qu"on peut prendref(xi) = 1sili(x)0etf(xi) =1sili(x)<0. De plus, si on suppose les points ordonnésx0< x1<< xn, on peut choisirfaffine par morceaux

(c"est à dire affine sur chaque intervalle[xi;xi+1]) et constante pourxx0etxxn. Alors, on vérifie

aisément quefsatisfaitekLn(f)k1= nkfk1.

Notre première estimation de l"erreur est donnée parThéorème 1.2.2Pour toute fonctionf: [a;b]!R, on a

kfLn(f)k1(1 + n)d(f;Pn)

8Chapitre 1. Interpolation polynomialeoùd(f;Pn) = infq2Pnkfqk1.

Preuve: par unicité du polynôme d"interpolation, on aLn(q) =q,8q2Pn. On écrit alors kfLn(f)k1=kfq+LnqLn(f)k1 kfqk1+kLn(qf)k1 kfqk1+ nkfqk1:

Le résultat en découle en prenant l"infimum.RCe théorème est une forme indeterminée car on verra quelimn!1n= +1et quelimn!1d(f;Pn) =

0. En effet, d"après le théorème de Weierstrass, toute fonction continue sur[a;b]est limite uniforme

de polynômes.

Exemple 1.1-

points équidistants :xi=a+i(ba)=n,i= 0;1;;n. Alors, sixi2[1;1], on a l"estimationn2n+1enlog(n). p ointsde Cheb yshev: xi=a+b2 +ba2 cos(2i+ 1)2n+ 2 . Alors,n2 log(n).

Exemple 1.2

Effet de Runge. Dans le cas des fonctions du typega(x) =11+a2x2ouha(x) =1aquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37