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Formulaire de trigonométrie hyperbolique MP 20-21 1 DEFINITIONS La fonction cosinus hyperbolique, notée ch, est, par définition, la partie paire de la 

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FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES 1 Définitions : chx = ex + e−x Identité hyperbolique : ch2x − sh2x = 1 4 Expression de shx et thx 

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B) Etude de la fonction sh (sinus hyperbolique) - On voit tout de suite Moyen mnémotechnique à partir des formules de la trigonométrie circulaire : les signes

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Formulaire de trigonométrie circulaire et hyperbolique 1) Propriétés algébriques (remplacer cos par ch et sin par i sh) cos (a + b) = cosa · cosb − sina · sinb

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Le rayon du cercle trigonométrique étant égal `a 1 on a donc quel que soit θ Par définition on appelle cosinus hyperbolique de x, qu'on note coshx la quantité

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Exercice no 1 (*IT) Etablir pour ch, sh et th les formules d'addition, de duplication et de linéarisation Exercice no 2 (**) Etudier f : x ↦→ ln(ch x) − x Montrer en 

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Trigonométrie hyperbolique : corrigé Exercice no 1 ch(a + b) = cha chb + sha shb et ch(a − b) = cha chb − sha shb, sh(a + b) = sha chb + cha sh b et sh(a − b ) 

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http://ginoux univ-tln 1 FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4 La fonction cosinus hyperbolique ( ) : 2 x x f e e trigonométrie hyperbolique N°2 : Étudier les 

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Formulaire de trigo hyperbolique obtenu à partir du formulaire de trigo circulaire où l'on remplace cos par ch, sin par i sh et tan par i th Ex: ch(a + b) = ch a ch b 

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FONCTIONS HYPERBOLIQUES 4

A. Fonctions exponentielle, puissance et logarithme

1. La fonction exponentielle de base a (

0a) xLn ax f xyfxae

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : xLn a xLn axx a e Ln a e Ln a a

Cas particulier : l'exponentielle de base e

Propriétés

01

1 ; eee

x xLn e x Ln x xex 2 xyxy xyeee 2 ,, x xy y exy ee 1, nxnxx x neeee ux ux euxe http://ginoux.univ-tln.fr 2

Limites :

0

1lim 1

x x e x lim x x e lim 0 x x e lim ; x x e x

2. La fonction logarithme de Neper

:f xyfx Lnx

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit :

1'Ln x

x

Propriétés

10Ln 1Ln e x xLn e x Ln x xex 2 ,, xy Lnx y Lnx Lny 2 ,, xxyLnLnxLnyy n n Lnx n Lnx

01 , 0xLnx

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Limites

lim x Ln x 0 lim x Ln x 1 lim 11 x Ln x x lim 0 ; x Ln x x 00

1lim lim 11

xx Ln xx xLnx 0 lim 0 ; 0 x xLnx

3. La fonction puissance

mLn xm f xyfxxe

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 1 mm xmx http://ginoux.univ-tln.fr 4

4. La fonction cosinus hyperbolique

2 xx f eexychx

La fonction

ychx est une fonction PAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'ch x sh x

5. La fonction sinus hyperbolique

2 xx f eexyshx

La fonction

yshx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 'shx chx http://ginoux.univ-tln.fr 5

6. La fonction tangente hyperbolique

xx xx f sh xeexythxch x e e

La fonction

ythx est une fonction IMPAIRE.

Cette fonction est continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'th xch x

Relations importantes

22

1ch x sh x

x ch x sh x e x ch x sh x e 2 2

11th xch x

Lien hypertexte

: http://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_hyperbolique http://ginoux.univ-tln.fr 6

B. Fonctions hyperboliques inverses

1. La fonction argsinus hyperbolique

2

1 y Argsh x Ln x x x sh y

Cette fonction continue et définie sur

et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argsh xx

2. La fonction argcosinus hyperbolique

2

1 y Argch x Ln x x x ch y

Cette fonction continue et définie sur

1, et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argch xx

3. La fonction argtangente hyperbolique

11 21xyArgthx Ln xthyx

Cette fonction continue et définie sur

1, 1 et sa dérivée s'écrit : 2

1'1Argth x

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T.D. N°3 FONCTIONS HYPERBOLIQUES

N°1

: Étudier le passage de la trigonométrie circulaire à la trigonométrie hyperbolique.

N°2

: Étudier les fonctions :

1, , , 1x

ch x sh x th x th x

N°3

: Démontrer que : 2 2tan2 1tan 2 x sin x x 2 22
1 2 x th sh x x th

N°4

: Démontrer que

Arctan sh x Arcsin th x

N°5

: Étudier la fonction 2 2 1 1x fx Argch x

N°6

: Démontrer que 11 21x

Argth x Ln

x

N°7

: Étudier la fonction

1fx Argth

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