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Chapitre3

Lesgrandsensembles denombres

Cechapitre étudielesgrandsensemblesde nombressur lesquelssontbasées lesmathé- matiques.Certainsde cesensemblesser ontfamiliers,d'autr esnouveaux.À l'exceptiond'un ensemble(les entiersmodulon),lesautr essontimbriqués lesunsdanslesautr es:le premier apparaîtcommeun sous-ensembledu second,lesecond dutroisième, etc. Maispourquoi étudier"encore»ces ensemblesquisont bienconnus? Lesrevoirunaprès l'autrepermetdecompr endrece quelenouvel ensembleapporteparrapportauprécédent. L'introductiondechacunpermetaussidese familiariseravecde nouvellesconstructions ma- thématiquesetcompr endreles propriétésfondamentalesquicaractérisentcesensembles.Ila fallubeaucoupde tempspourr econnaître cespropriétés fondamentaleset c'estleXXesiècle quiar egroupé cespropriétésen"structuresmathématiques »quiaujour d'huiportentles nomsdegroupes,anneaux,corps,etc.Le chapitrenotera aupassageces structuresquiseront étudiéesplus enprofondeur dansunchapitr eultérieur.

3.1Lesentiers naturels

axiomatique,postulel'existence decetensemble avecuncertain nombre depropriétés. Cette approche,quecechapitre présente,estdue aumathématicienitalien Peano 1 etau mathémati- cienallemandDedekind 2 .Uneseconde approchepart del'ensembledes nombresréelsR,au préalableconstruit paruneaxiomatiqueappropriée, puisdéfinitNcommeétant lepluspetit sous-ensembleinductifde R,c'est-à-dir elepluspetit(ausens del'inclusion)vérifiant lefait quesessous-ensembles nonvides contiennenttoujoursun pluspetitélément. (Cettepropriété n'estpasvérifiée pard'autres ensemblesdenombr es,parexemple l'ensembledesnombresra- tionnels.Cetensemble possèdeunsous-ensemble ,celuides rationnelspositifs, quine contient pasdeplus petitélément.)

1.GiuseppePeano (1858-1932).Mathématicienitalien. Sesaxiomesont étépubliésen 1889.

2.Richard Dedekind(1831-1916).Undesconcepteurs(notamment avecCantor)de lathéorie modernedesen-

sembles. 47

48CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

Nousaurons besoindesconceptssuivants:

Rappel

•fonction,fonction injective. L'ensembledesentiers naturels(ouentiers nonnégatifs)N={0,1,2,3,...}peutêt reconstruit àpartird'une courtelisted'axiomes. Cesaxiomes,appelés axiomesdePeano ,onteu unimpact majeursurle développementaxiomatiquedes mathématiquesactuelles. Lesvoici. Définition5(Lesaxiomesde Peano).Ilexisteun ensembleNmunid'une fonctions:N!Nayant lespropriétés suivantes: (P1)Ilexisteun élément0!Ntelque0"=s(n)pourtoutn!N. (P2)Lafonctionsestinjective. (P3)(Axiomederécurr ence).T outsous-ensembleEdeNcontenant0ettelque s(n)!Esin!E coïncideavecN. Lapair e(N,s)estappeléele systèmedesentiers naturels. Lafonctionsestappelée lafonction" successeur».A veclesnoms etcaractèresusuelspour leséléments decetensembleN(0=zéro,1=un,2=deux,...),la fonctionsuccesseur donne s(0)=1,s(1)=2,s(2)=3,et ainsidesuite. Ainsis(n)estl'entiersuivant n.Les deuxpremi ers axiomespeuventêtr emisen motscommesuit.L'axiome(P1) énoncequel'entier 0estle seul élémentdeNàne pasavoirde prédecesseur(ouencor enesuit aucunautr eélémentde N). (L'unicitédel'entier n'ayantpasde prédécesseurestdémontréecommesuit.Supposons 0un élémentdistinctde 0pourlequelil n'existeaucun n!Ntelques(n)=

0.Alorsl'ensemble

E#NdéfiniparE={0,s(0),s(s(0)),...}contient0etsatisfaitdonc auxconditions énoncées dans(P3).Cependant Enecontientpas

0etnepeut doncpascoïncider avecN.Doncun tel

élément

0nepeut existerdansN.)L'axiome (P2)ditque,simetnontle mêmesuccesseur

(s(m)=s(n)),alorsils sontégaux (m=n).Mais,attention, lesnomsusuels (zéro,un, deux,...)

nesontpas nécessaires ;lenom d'unseulélémentestfixé,l'élément0.(Dansd'autr esversions,

cenomdemeur elibr e.)L'exercice1montr eraquelapaire(N,s)peutcorrespondr eàd'autres ensembles.Lafonction successeurpeutêtr evisualiséepar l'utilisationdeflèches, uneflèche a!bindiquantques(a)=b.Ainsi

012345678

Ledernieraxiome (P3)mèneau principed'induction.

Théorème1. Soitunensemble d'énoncéslogiques{p(n),n!N}étiquetésparles élémentsdel'en-

semble(N,s).Alors,si (i)p(0)estvraieet

3.1.LESENTIERS NATURELS49

(ii)p(n)estvraie"p(n+1)estvraie, alorsp(n)estvraie pourtoutn!N,c'est-à-dire l'ensembledevéritédepesttoutN. Preuve.SoitEl'ensembledes entiersnpourlesquels lesénoncésp(n)sontvrais:

E={n|p(n)estvrai}.

L'hypothèse(i)affirmequeEcontientl'élément 0;l'hypothèse(ii),elle,dit quesinestdansE (c'est-à-diresip(n)estvrai),alors n+1yest aussi(c'est-à-dire quep(n+1)estvrai).Donc l'ensembleEsatisfaitl'énoncéde l'axiome(P3)et estdoncl'ensemble Nenentier :E=N.Ainsi l'énoncélogiquep(n)estvraipour touslesn!N. Voicimaintenantlaconstruction despr opriétésdel'e nsembledesnombresnaturels (N,s) telquedéfini àpartir desaxiomesde Peano.Cetteméthode (appeléelaméthode axiomatique) trouvesesorigineschezEuclide. Lapreuve decespr opriétésestparfois longue; nousendon- neronsunexemple.Parla suite,l'ensembledes naturelssera notésimplementN,mêmesi la fonctionsuccesseursjoueraun rôlefondamentaldans lesdéfinitionsde +et$. L'addition - Soitaunélémentde Ndifférentde0(doncautre quel'élémentminimal). L'axiome(P3)montreque aestlesuccesseur d'unélémentb(a=s(b)).L'élément bestappelé l'antécédentoule prédécesseurdeaetestnoté a!1.Remarquer quecetteécriture n'apas desenssi a=0,puisquece derniern'apas d'antécédent(n'estle successeurd'aucunnatur el d'après(P1)). Étantdonnédeu xentiersnatur elsaetn,l'addition estdéfiniepar récurrencecomme suit: - sin=0:a+n=a; - sin"=0:a+n=s(a+(n!1)). Ainsi,si lesuccesseurde aestnoté a+1,l asommea+nconsisteàpr endrenfoisle successeur dea; a+n=s(a+(n!1))=s(s(a+((n!1)!1))) =...=s(s(...(s(a+(0))...))) =s(s(...(s( nfois a)...)))=(( ...((a+1)+1)...)+1)) nfois Proposition2.L'opérationd'addition+surNalespr opriétéssuivantes: (i)0estunneutr e:0+a=a+0=a; (ii)communativité: a+b=b+a; (iii)associativité:(a+b)+c=a+(b+c); quivalentpour tousleséléments a,b,c!N.

50CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

Preuve.Soitp(n),n!N,les énoncéslogiquesn+0=0+n=n.Montrer que0estun élément neutrepourl'opération+consisteà montrerla véracitédesénoncésp(n),pourtout n!N. L'énoncép(0)(quidit0+0=0+0=0)estvrai puisqu'unnombre esttoujourségal àlui-même etparla définitiondea+nlorsquen=0.Supposonsmaintenant quel'énoncépour nsoit vrai:p(n)estvrai,c'est-à-dir e0+n=n+0=n.Étudionsles deuxmembr esdel'égalité del'énoncép(n+1).D'abord l'égalitédedroitesuitde lapremièr elignede ladéfinitionde l'addition:(n+1)+0=n+1.L'égalité degauchesedéveloppecommesuit :

0+(n+1)=s(0+n)

=s(n+0)=s(n)=n+1 où"!»indiquel'utilisation del'hypothèsed'induction (p(n)estvrai).Donc (n+1)+0=

0+(n+1)=n+1estvraie sin+0=0+n=nl'est,ouencor e,p(n+1)estvraisi p(n)l'est.

Parleprincipe d'induction,tous lesénoncésp(n)sontvraiset l'élément0estdoncle neutr e pourl'addition. Lapr euveprécédenteaaussimontréque l'additionden'importe quelnombre avec0est commutative:0+n=n+0pourtoutn!N.Maisil restepas maldetravail pourmontrer lacommutativitéet l'associativitéde l'additionpourtous lesentiers.Nous lestiendrons pour acquises. Lamultiplication - Toutcommel'addition,lamultiplication estdéfiniepar récurrence.Soit a!Nunélément fixéquelconque.On définitl'opérationa·ncommesuit: - sin=0:a·n=0; - sin"=0:a·n=(a·(n!1))+a. Onnoteraque lamultiplication desentiersnatur elsn'estpas àpropr ementparlerune opéra- tionnouvelle.Elle estdéfinieà partirdel'addition. Lespropriétés quisuivent sontconnues.

Àpartirdes propriétésde l'additionénoncées danslethéorèmeprécédent,les preuvesdes

énoncésci-dessous sontplusfaciles. Nousendonnons unexemple. Théorème3.Letriplet(N,+,·)définici-dessouspossède lespropriétés : (i)s(0)=1estunneutr epour·:1·a=a·1=a; (ii)communativité:a·b=b·a; pourtousles élémentsa,b,c!N. Preuve.Soientp(n),n!N,les énoncéslogiques(a+b)·n=(a·n)+(b·n).L'énoncé p(0)est vraipuisque,par lapr emièrepartie deladéfinition de·,le membrede gauchedeceténoncé est0etlemembr ededr oiteest0+0quiest aussi0parla définitiondel'addition. Supposons

3.1.LESENTIERS NATURELS51

lavéracité dep(n!1).Alors (a+b)·n 1 =((a+b)·(n!1))+( a+b) 2 =(a·(n!1)+b·(n!1))+( a+b) 3 =[(a·(n!1))+ a]+[(b·(n!1))+b] 4 =a·n+b·n oùchacunedes étapesse justifiecommesuit :l'étape1estladéfinition dela multiplication parn,l'étape 2utilisel'hypothèsed'induction (l'énoncép(n)estvrai), l'étape3suitpar la

commutativitéetl'associativité del'addition(théorème 2)et,enfin, l'étape4utiliseànouveau

ladéfinitionde lamultiplication. L'exponentiation - L'exponentiationestuncasparticulier delamultiplication. Maisonpeut ladéfinirdir ectementparrécurr ence.Soitaunentiernatur eldif férentde0.Alorsle symbole a n estdéfinipar - sin=0:a 0 =1; - sin"=0:a n =(a n!1 )·a. Relationd'ordre surN - Danslaconstr uctionaxiomatique deN,la relationd'or drehabituelle %estformaliséecomme suit.Soita,b!N.On écrita%b(oub&a)s'ilexiste c!Ntelque a+c=b.Sia%beta"=b,on écritaa). Théorème4. L'ensembleNmunidela relation %estunensemble totalementordonné,c'est-à-dir e: (i)antisymétrie:si a%betb%a,alorsa=b; (ii)transitivité:si a%betb%c,alorsa%c; (iii)réflexivité:a%aet (iv)totalité:a%boub%a, pourtouta,betc. Preuve.Ànouveau,seules certainesde cespropriétés sontprouvées. Pourmontrer l'anti- symétrie,supposonsl'existence d'entierscetdtelsquea+c=betb+d=a.Alors a+(c+d)=b+d=aparl'associativitéde +.L'unicité duneutre(voirl'exer cice2(b)) im- pliquec+d=0.Sidn'estpas 0,alorsdpossèdeunprédécesseur et0=c+d=s(c+(d!1)). Cecimontr eque0possèdeun prédécesseur,une contradiction.Ainsid=0etc+0=0im- plique,ànouveau parl'unicité duneutre, quec=0.Donc a=b.La réflexivitésuitdu faitque

0estunélément deNetque x+0=x,c'est-à-dire quex%x.Pourla transitivité,lesr elations

a+(d+e)=(a+d)+e=b+e=cetdonc a%c. Leprincipedu bonordre - L'inductionmathématiqueest généralementjugéedifficileaupr e- mierabord, carellesembleêtreni intuitiveninatur elle.Pourtant,elle estéquivalente àun principe(ditdu bonor dre)qui, nonseulementest intuitif,maissembletellementnaturelque

52CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

d'aucunssedemandent pourquoi ilfautle démontrer.Onpourraitdonc prendre cedernier commeaxiomeet endéduire leprinciped'induction commethéorème. Théorème5(Principedu bonordr edeN).Toutsous-ensemblenonvidede Ncontientunplus petit

élément.

pasdeplu spetitélément. SoitEl'ensembledesentiers naturels quin'appartiennentpas àS, sontdansE». Clairementl'énoncép(0)estvraicar ,0étantle pluspetitélément deN,s'ilétait dansS,il seraitson pluspetitélément. Supposonsmaintenantque p(n)soitvrai: l'ensemble{0,1,...,n}estunsous-ensemble de E.Alorsn+1doitégalementêtr edans E,sinon ilseraitle pluspetitélément deSquin'a pasdeplus petitélémen t.Donc{0,1,...,n,n+1}estunsous-ensemble deEetp(n+1)est égalementvraie.Ainsi Eestun ensemblecontenant0etqui, s'ilcontientn,contient aussin+1. Pardéfinition deN,E=N.Cecientraîne queSestvide, cequiest contraireà l'hypothèse. Finalementnousénonçons sanspr euvel'équivalenceannoncée. Théorème6. Leprincipe d'inductionetle principedubon ordresont équivalents.

EXERCICES

1.Voicidesensembles(infinis)sur lesquelsunedéfinition d'unefonctions:N!Nestdessinée :

uneflècheallant deaàbsignifieques(a)=b.Laquelle decespair es(E,s)satisfontles troisaxiomesde(N,s)?Siune pairene satisfaitpasà ladéfinition,direquel(s)axiome(s) n'est (nesont)pas satisfait(s)?Attention :lessymboles utiliséspourétiqueterleséléments deces ensemblesEnedevraientpas vousinduire enerreur .Vous pouvezleschangeràvotr eguise. (a)

012345678

(b) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

3.1.LESENTIERS NATURELS53

(c)

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (d)

012345678

0 1 2 3 4 5 6 7 8 (e) !4!3!2!101234

2.(a)Montreràpartirdela définitiondes entiersnaturels (N,s):soita,b,c!Nvérifianta+c=

b+c.Alorsa=b. (b)Utiliserlapr oposition2 pourmontrerque0estleseul élémentdeNquiestun neutre pour l'addition.(End'autr esmots,si

0!Netvérifie

0+n=n+

0=npourtout n!N,alors

0=0.)

3.Lethéorème3 énoncelespr opriétésduneutr e,dela commutativitéet del'associativitédela

multiplicationdes entierset,enfin, deladistributivité. Letextea donnélapr euvedela distri- butivitédela multiplicationpar ladroite d'unesomme.(Attention:lapr euven'a cependant pasmontréque c·(a+b)=c·a+c·bestvrai!) Montrerlesénoncéssuivants enutilisantque

laproposition 2etcequiaété déjàmontré(dans lesnotesou parvous !)pourla multiplication.

(a)Montrerque1·n=npourtoutn!N.Puismontr erque n·1=npourtoutn!N. (b)Ledéveloppementci-dessous montrela commutativitédela multiplication.Justifierpar l'énoncéappr opriéchacunedesétapes.Soitp(n)l'énoncéa·b=b·apourtout a,b%n.Les

54CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

énoncésp(0)etp(1)ontdéjàété établis.Soita+b%n.Sip(n!1)estvrai,alors a·b=a·(b!1)+a =(b!1)·a+a =((b!1)·(a!1)+(b!1))+a =(b!1)·(a!1)+(a+(b!1)) =((b!1)·(a!1)+1·(a!1))+b =((b!1)+1)·(a!1))+ b =b·a.

4.Voiciunepreuve parinduction.Est-elle juste?

Théorème7.Dansunchamp, lesvachessont toujoursdemême couleur. Preuve.Soientp(n),n!N,lesénoncéslogiques "dansun champcontenantnvaches,ces vachessontde mêmecouleur». Clairementles énoncésp(0)etp(1)sontvrais.Supposons maintenantl'énoncép(n)vraietsoit {v 1 ,v 2 ,...,v n+1 }l'ensembledes n+1vachesd'unchamp contenantn+1vaches.Lesous-ensemble{v 1 ,v 2 ,...,v n }estdemêmecouleurpuisqu'ilcontient nvaches(énoncé p(n)!).Lesous-ensemble {v 2 ,...,v n ,v n+1 }contientluiaussi nvacheset ces vachessontdonc toutesdela mêmecouleur(encor el'énoncép(n)).Puisqueces deuxsous- ensemblescontiennentdes vachesdemême couleuretont desvachesen commun,alors l'en- sembleoriginal{v 1 ,v 2 ,...,v n+1 }necontient quedesvaches demêmecouleur .Ainsip(n)est vraiimpliqueque p(n+1)estvrai.

5.Prouverparinduction.

(a)1+2+3+...+n= n(n+1) 2 (b)Àpartird'un certainrang nquel'on déterminera,2 n 6.Montrerlesénoncéssuivants. (a)0élément,deN.) (b)Sia3.2.LESENTIERS RELATIFSZETLES RATIONNELSQ55 Àcausedes propriétés (c)et(d),ondit quelar elationd'or dreest compatibleavecl'addition etlamultiplication.

3.2Lesentiers relatifsZetlesrationnels Q

Noussavons quelasoustraction etladivision d'entiersnaturels nedonnentun entiernatu- relquepourcertainespair esd'entiers.Par exemple,la soustractionm!nneseradans Nque sim&n.Similair ement,ladivisiondemparnneseradans Nquesinestunfacteur dem(ou commenousl'avons écritplutôt, sin|m).AinsiNn'estpas unensemble denombres fermé souslasoustractio nnila division,quisontlesopérationsinv ersesdel'addition etlamultipli- cation.Laconstr uctiondesentiers relatifsZajoutedes nombresà l'ensembleNdefaçonà ce que(i)lasoustractionde n'importequelle paired'entiers dansZdemeuredansZet(ii)que silapair em,nestforméed'entiers deNsatisfaisantm&n,alorsla soustractionm!nde metn,vus commeélémentsde Z,donne lemêmerésultat queleursoustraction, vuscomme

élémentsdeN.

Laconstruction del'ensembleQdesrationnels réaliseunpr ogrammesimilaire :ilétend l'ensembleZdesentiersr elatifspour queladivisionsoitdéfiniepour toutepaire denombres deZ(enautantque lediviseurne soitpas nul)etque lerésultatcoïncide àceluidans Z siladivision decette paireétait définiedanscet ensemble.Cetype d'extension(N!Zet Z!Q)est utilisésouventen mathématiques.Lestechniques pourproduir el'extensionne sontpastoujours lesmêmes,mais pourlesdeux quenousdi scuteronsdans laprésente section, latechniqueest lamêmeet elleutilisera :

Rappel

•lesr elationsd'équivalence. Lesconstructions deZetde Qsontsisemblables que nousnefer onsquecellepourQ,en

supposantque cellepourZadéjà étécomplétée.(Cette dernièresera faiteenexer cice.)

Avantdefairela construction formelle,ilestutilederéfléchir àunaspect desfractionsdéjà introduitàl'écoleprimaire. Ils'agitdu faitqu'unnombr erationnel,qu'ilsoitentier ounon, possèdeplusieurs représentations.Par exemple,lesnombres2et 1 2 sontnotésindi fféremment par 2= 4 2 !18 !9 54/9
39/13

246913578

123456789

1 2 2 4 !9 !18 39/13
54/9

123456789

246913578

L'équivalenceentrecesnotationsestmaîtriséetrèstôtmêmesi,aupointde vuemathématique,

ellen'apas dedéfinitionformelle. Unetelle définitionn'estpas tropdif ficileàdonner .Elleest

56CHAPITRE3. LESGRANDSENSEMBLES DENOMBRES

baséesurl'observation quetout nombrerationnel esthabituellementdonné pardeuxentiers relatifs.Etsiun entierrelatif, telque2,peutêtr eécrit commeunseulentier,il peutaussiêtr e

écritcommeun quotient,par exemple

2 1 .Qu'est-cequi faitqueles deuxnombres n 1 d 1 2 1 et n 2 d 2 !18 !9 soientidentifiés? C'estquelesnumérateurset dénominateursdeces deuxfractionsvérifient n 1 d 2 =n 2 d 1 Etcetter elationsera vérifiéepourtoutepairede quotients n 1 d 1 et n 2 d 2 quenousavons apprisà identifier.Noussommesprêtsà formaliserlaconstr uctiondeQ.

Définition6. SoitX={(n,d)|n!Zetd!Z

}etsoit!larelation d'équivalencesurXdonnéepar (n 1 ,d 1 )!(n 2 ,d 2 )'"n 1 $dquotesdbs_dbs17.pdfusesText_23