Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 3 Ces nombres sont situés, sur cet axe , à gauche du nombre 3 Résolution de l'équation « associée » :
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[PDF] Résolution dune inéquation
Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 3 Ces nombres sont situés, sur cet axe , à gauche du nombre 3 Résolution de l'équation « associée » :
[PDF] Equations, inéquations et produits - Labomath
En factorisant l'expression f (x) – g(x) on se ramène au cas précédent : une équation sous forme de produit égal à 0 Exemple Résoudre l'équation (x – 1)² = 9
[PDF] Équations et inéquations du 1er degré
Pour résoudre une équation du genre x 5=−12 , on peut tout simplement se Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres inférieurs ou égal à 4
[PDF] LES INEQUATIONS - Dominique Frin - Free
Résolution des inéquations à une inconnue supérieur ou inférieur à 0 On considère l'équation ax + by + c = 0 qui est l'équation d'une droite du plan
[PDF] RÉSOLUTION DINÉQUATIONS - Free
Enfin, on résout l'inéquation à partir du tableau de signes : on cherche les solutions positives ou nulles S =]3; 2] Exemple 3 Résoudre l'inéquation 2x + 3 x − 1
[PDF] Inéquations (cours) - Automaths
Résoudre l'inéquation 4x + 5 ≤ x – 2, c'est répondre à la question : des inéquations est semblabe à celle de la résolution des équations L'inéquation 4 permet de les trouver facilement : ce sont tous les nombres inférieurs ou égal à -7 3
[PDF] Équations et inéquations
Exemple : Résoudre l'équation 2x +7 = 0 : Pour résoudre une équation du type P(x) = 0 avec P un polynôme de degré plus grand que 3 : −16 soit égal à 0
[PDF] Équation, inéquation - Collège Jules Verne
Une fois introduit le rôle de la lettre et du signe égal, ce chapitre étudie les résolutions Les équations et inéquations sont utilisées ensuite pour résoudre des problèmes pour lesquels les donne-t-il un résultat inférieur à celui de Ziad ? c
[PDF] EQUATIONS, INEQUATIONS - maths et tiques
= 0 a pour solution x = -2 Méthode : Résoudre une équation en se ramenant à une équation-quotient Vidéo https://youtu be/zhY1HD4oLHg
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? Les symboles utilisés ( symbole d"inégalité ) : Appellation 1 Appellation 2 Appellation 3 Vocabulaire à utiliser < plus petit inférieur strictement inférieur strictement inférieur £ plus petit ou égal inférieur ou égal inférieur inférieur ou égal > plus grand supérieur strictement supérieur strictement supérieur ³ plus grand ou égal supérieur ou égal supérieur supérieur ou égal
Exemples :
3 < 7 mais 3 < 3
2£ 6 et 2 £ 2
5 > -3 mais 5 > 5 10³ 8,37 et 10 ³ 10
Notion d"inéquation :
Une écriture du type " 2
x + 1 < 7 » s"appelle une inéquation. ( notion à rapprocher de la notion d"équation ) Equation Egalité Exemple : 2x + 1 = 7 Inéquation Inégalité Exemple : 2x + 1 < 7 Dans cette écriture, la lettre x s"appelle l"inconnue.Résoudre une inéquation ( comme une équation ) , c"est déterminer, si elles existent, les valeurs de
l"inconnue qui vérifient l"inégalité ( c"est à dire qui rendent vraie l"inégalité )
Par exemple, en reprenant l"inéquation 2x + 1 < 7, nous constatons que :· 1 est solution de l"inéquation , car, en remplaçant x par cette valeur 1, le premier membre est
égal à
3 soit , 1 2 soit , 1 1 2++´ et 3 est inférieur à 7 (7 3< )
· 5 est également solution car 9 - 1 10 - 1 ) 5 - ( 2=+=+´ et 7 -9<4 n"est pas une solution , car 9 1 8 1 4 2=+=+´ et 9 n"est pas inférieur strictement à 7 (
l"écriture7 9< est fausse )
· 3 n"est pas solution, car 7 1 6 1 3 2=+=+´ et 7 n"est pas strictement inférieur à 7 ( Remarquons
que 3 est solution de l"inéquation 2 x + 1 £ 7THEME :
RESOLUTION D"UNE
INEQUATION
? Propriétés utilisées dans la résolution d"une inéquation :Si on ajoute un même nombre aux
deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.Si a < b alors a + c < b + c
Exemple :
2 < 5 , donc 2 + 8< 5 + 8
Si on retranche ( soustrait ) un même
nombre aux deux membres d"une inégalité, on obtient une inégalité de même sens.Si a < b alors a - c < b - c
Exemple :
7 < 10 , donc 7 - 3< 10 - 3
Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement positif, on obtient une inégalité de même sens.Si a < b et c > 0 alors a ´ c < b ´ c
Si a < b et c > 0 alors c
a < c bExemple :
2 < 3 , donc 5 3 5 2´´< 10 < 15 , donc 5
15 5 10< Si on multiplie ( ou divise ) les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif, on obtient une inégalité de sens contraire.Si a < b et c < 0 alors a ´ c > b ´ c
Si a < b et c < 0 alors c
a > c bExemple :
2 < 3 , donc ) 12 - 8 - car ( ) 4 - ( 3 ) 4 - ( 2>>´´ et 10 < 15 , donc ) 3 - 2 - ( 5-
15 5- 10>>Les expressions situées de part et
d"autre du symbole d"inégalité s"appellent, comme pour uneéquation , des membres.
Membre de gauche
Membre de droite
ATTENTION ! CHANGEMENT DE SENS DE L"INEGALITE
Remarque :Analogie avec la Physique
Une inégalité ( ou une inéquation )
Si a < b alors a + c < b + c
Si nous ajoutons aux objets de masses a et b , une même quantité c, alors le déséquilibre sera le même.
De même, si nous retranchons la même quantité , le déséquilibre restera le même.En ce qui concerne la multiplication ( et la division), l"analogie physique est plus difficile ( la multiplication
n"étant pas une opération " naturelle » ) ?Exemples ? Résoudre l"inéquation 2x + 1 < 72x + 1 < 7
2x < 7 - 1
2 x < 6
x < 2 6 x < 3Les solutions ont tous les nombres inférieurs strictement à 3. Par exemple -10 ; -2458,72 ; - 0,3 ; 2,57
sont des solutions . Il y a donc une infinité de solutions.Cet ensemble infini de solutions peut être représenté graphiquement ( représentation graphique ) :
Représentation graphique :
Considérons une droite graduée
La valeur limite déterminée par la résolution de l"inéquation est 3. Plaçons ce nombre.
Les solutions sont les nombres inférieurs strictement à 3. Ces nombres sont situés, sur cet axe , à
gauche du nombre 3. Résolution de l"équation " associée » :2x + 1 = 7
2 x = 7 - 1 2 x = 6 x = 2 6 x = 3La solution est
3Si ALORS
2 est un nombre positif
Dans notre exemple, les solutions sont les nombres x qui vérifient x < 3. Si nous avions comme ensemble
solution, les nombres qui vérifient x £ 3 , la représentation graphique serait identique.Pour différencier ces deux cas, nous allons préciser sur le dessin si le nombre limite ( ici 3 ) fait partie
des solutions ou non.Nous dessinerons un crochet de ce type ( voir dessin ) sur le nombre 3 pour préciser que 3 n"appartient
pas aux solutions ( pour préciser que 3 est en dehors des solutions )Remarque :
Si notre ensemble solution était x £ 3 ( nombres inférieurs ou égaux à 3 ) , le nombre 3 serait solution.
Pour le préciser sur la représentation graphique , il suffirait de mettre un crochet de ce type ( voir
dessin ci-dessous ). Ce crochet indique que 3 appartient aux solutions , c"est à dire que nous " prenons »
3 dans l"ensemble des solutions.
? Résoudre l"inéquation - 3x + 2 < 8Résolution :
Nous avons successivement :
- 3 x + 2 < 8 - 3 x < 8 - 2 - 3x < 6Nous devons, à ce stade, diviser par le nombre
situé devant l"inconnue x, c"est à dire - 3.Ce nombre est négatif.
La dernière propriété mentionnée ci-dessus , précise que : Si on divise les deux membres d"une inégalité par un même nombre strictement négatif , on obtient une inégalité de sens contraire.Nous pouvons donc diviser par - 3, mains attention , nous devons changer le sens de l"inégalité !
x > 3 - 6Nous obtenons donc :
x > - 2Représentation graphique :
? Résoudre l"inéquation 5x + 1 ³ 3x - 2Résolution :
- 3 est un nombre négatif . Il y a donc un changement de sens de l"inégalitéSolutions
Solutions
Précisez la couleur
représentant l"ensemble des solutions ou mieux,écrivez le mot
" Solutions »Solutions
Nous avons successivement ( comme pour une équation ) :5x + 1 ³ 3x - 2
5 x - 3x ³ - 2 - 1 Soit2x ³ - 3
Nous devons maintenant diviser par 2.
Ce nombre est positif
. Il n"y a donc aucun problème.On continue :
23 -³x
23-³x
Représentation graphique :
1,5 - 2
3=- ? Résoudre l"inéquation 2x - 1 £ 5x - 3Résolution 1 :
2x - 1 £ 5x - 3
2 x - 5x £ - 3 + 1 - 3 x £ - 2Nous devons maintenant diviser par - 3.
Ce nombre est négatif
. Nous pouvons donc diviser , mais il faut alors changer le sens de l"inégalité.Nous obtenons alors :
x 3 -2 -³
32³x
Résolution 2 :
La seule difficulté, dans la résolution d"une inéquation, est la présence d"un nombre négatif devant
l"inconnue. Nous pouvons y remédier en procédant comme suit : 2 x - 1 £ 5x - 3 - 1 + 3£ 5x - 2x
2£ 3x
Le nombre 3 situé devant l"inconnue x est positif. Nous devons donc , à ce stade, diviser par le nombre
positif . Il n"y a aucun problème. x£ 3 2 Pour une meilleure lecture, nous écrirons l"inconnue x en tête. Nous avons donc : 32³x
Nous retrouvons le même ensemble de solutions.
Remarque :
Changer l"écriture x£ 3
2 en 3
2³x n"est pas un changement de sens de l"inégalité ( la pointe du symbole
d"inégalité est, dans les deux cas, dirigée vers 32 ). Si 3
2 est inférieur ou égal à x, alors x est supérieur
ou égal à 3 2.Représentation graphique :
0,66 3
2» ? Résoudre l"inéquation 2( 3x - 1 ) £ 2 ( x + 1 )Résolution :
Nous obtenons successivement :
2( 3 x - 1 ) £ 2 ( x + 1 ) 6 x - 2 £ 2x + 2 6 x - 2x £ 2 + 2 4 x £ 4 x £44 ( 4 est positif )
x £ 1Représentation graphique :
? Résoudre l"inéquation 2( 2x - 3 ) - ( 2x + 1 ) £ 2 ( x + 1 )Résolution :
Nous obtenons successivement :
4 x - 6 - 2 x - 1 £ 2 x + 2 4 x - 2 x - 2 x £ 2 + 6 + 1 0 x £ 9 Nous ne pouvons pas diviser par 0. Le mécanisme de résolution s"arrête ici. Quelle que soit la valeur donnée à l"inconnue x, la valeur de 0 x sera toujours égale à 0. Comme 0 est inférieur à 9, tous les nombres sont solutions ? Résoudre l"inéquation 2( x + 3 ) - ( x + 1 ) £ x + 2Résolution :
Solutions
Solutions
Nous obtenons successivement : 2(
x + 3 ) - ( x + 1 ) £ x + 2 2 x + 6 - x - 1 £ x + 2 2 x - x - x £ 2 - 6 + 1 0 x £ - 3 Nous ne pouvons pas diviser par 0. Le mécanisme de résolution s"arrête ici. Quelle que soit la valeur donnée à l"inconnue x, la valeur de 0 x sera toujours égale à 0. Comme 0 n"est pas inférieur à - 3, cette inéquation n"a pas de solution ? Résolution d"un système d"inéquations :Dans certains problèmes, nous sommes amenés à chercher les solutions communes à plusieurs inéquations
( 2 , 3 , 4 , ...inéquations )Résoudre
le système ??£<+1 2 - 3 -5 1 2
x x c"est chercher les solutions communes à l"inéquation 2 x + 1 < 5 et à l"inéquation - 3 x - 2 £ 1.Méthode :
Pour déterminer les solutions communes à ces deux inéquations, il suffit de déterminer les solutions de la
première inéquation, de déterminer les solutions de la deuxième inéquation ( puis de la troisième s"il y a
une troisième inéquation , etc. ), puis de déterminer les solutions communes .Résolution :
? Résolution de 2 x + 1 < 5 : 2 x + 1 < 5 2 x < 5 - 1 2 x < 4 x <24 ( 2 est positif )
x < 2 ? Résolution de - 3 x - 2 £ 1 : - 3 x - 2 £ 1 - 3 x £ 1 + 2 - 3 x £ 3 x 3 -3³ ( - 3 est négatif , donc changement de sens de l"inégalité )
x 1-³ ? Résolution du système ( solutions communes ) :Représentation graphique :
Sur un axe , représentons graphiquement les solutions des deux inéquations ( en rouge , les solutions de
la première inéquation et en bleu, les solutions de la deuxième inéquation Les solutions communes aux deux inéquations sont tous les nombres rouges et bleus.Nous avons donc :
Ecriture mathématique :
Les solutions du système sont donc tous les nombres supérieurs ou égaux à - 1 , mais inférieurs
strictement à 2 . Les solutions sont donc tous les nombres compris entre - 1 et 2