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Limites et continuité UJF Grenoble 1 Cours 1 1 Vocabulaire Une fonction f de au voisinage de x s'il existe un intervalle ouvert I contenant x, tel que la restric-

S Limites de fonctions OLIVIER LÉCLUSE CREATIVE COMMON BY-NC-SA tend vers l'infini mais verrons également des limites lorsque x s'approche d'une valeur réelle En cas d'échec, révisez la section du cours qui vous a posé des

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1èreS Chap V : Limites et asymptotes I Limites en l'infini 1) Limite infinie à l' infini Définition 1 : Soit f une fonction définie au moins sur un intervalle du type [a

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n'utiliserons la définition de la limite "avec des ε" que dans des exercices théoriques S omme Soient / : Ÿ → Ÿ et g : Ÿ → Ÿ deux fonctions telles que lim xªx o

pdf LIMITES DES FONCTIONS - maths et tiques

3) Limites des fonctions de référence Propriétés : - lim "?$ &

Limites de fonctions cours première S - Free

Limites de fonctions oursc classe de première S 1 Limites nies à l'in ni Soit f une fonction dé nie sur un intervalle [a;+1[ où a 2R Dé nition : Soit l un réel f admet pour limite l en +1(resp 1 ) si pour tout intervalle contenant l il existe un réel x 0 tel que pour tous les réels x su-périeursà x

Cours Limites de Fonctions

5 Limite d’une fonction composée Théorème 1 : Soit deux fonctions f g Soient a b et c des réels ou +? ou ?? Si lim f (x) = b et lim g(x) = c alors lim g [ f (x)] = c x?a x?b x?a Exemples : Déterminer les limites suivantes : lim h(x) avec h(x) = + x?+? r2 x2 lim k(x) avec k(x) = cos x?+? x2 + 1

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LIMITES DE FONCTIONS

I. LIMITE en + ¥¥¥¥ et en - ¥¥¥¥ a. Limite infinie en + ¥¥¥¥ et en - ¥¥¥¥ Soit f une fonction définie sur un intervalle [ a ; + ¥ [ Si " f ( x ) est aussi grand que l"on veut dès que x est assez grand » , on dit que f a pour limite + ¥ en + ¥ et on note : limx ® +¥ f ( x ) = + ¥ Remarque : On dit aussi que la fonction f tend vers + ¥ quand x tend vers + ¥ .

Exemples à connaître :

limx ® +¥ x = + ¥ , limx ® +¥ x ² = + ¥ , limx ® +¥ x 3 = + ¥ , limx ® +¥ x = + ¥

On définit de la même façon ...

limx ® +¥ f ( x ) = - ¥ limx ® -¥ f ( x ) = - ¥ limx ® -¥ f ( x ) = + ¥

Exemples à connaître : limx ® -¥ x ² = + ¥ limx ® -¥ x = - ¥ limx ® -¥ x 3 = - ¥

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Cf Cf Dans ces deux cas, f est définie sur un intervalle de la forme ] -¥ ; b ] b. Limite finie en + ¥¥¥¥ et en - ¥¥¥¥ et asymptote horizontale Soit f une fonction définie sur un intervalle I

Intuitivement, dire que f a pour limite L en + ¥ , signifie que lorsque x prend des valeurs de plus en plus

grandes vers + ¥ , les nombres f (x) viennent s"accumuler autour de L .

On note :limx ® +¥ f ( x ) = L

On dit que la droite d"équation y = L est asymptote horizontale

à la courbe Cf en + ¥ .

Remarques :

· On obtient la même chose en remplaçant + en - · Une fonction n"a pas forcément une limite finie ou infinie quand x tend vers + ¥ . ( Par exemple x ½¾¾® sin x , x ½¾¾® cos x ... )

Exemples à connaître :

limx ® +¥ 1 x = 0 , limx ® +¥ 1 x² = 0 , limx ® +¥ 1 x3 = 0 , limx ® +¥ 1 x = 0 limx ® -¥ 1 x = 0 , limx ® -¥ 1 x² = 0 , limx ® -¥ 1 x3 = 0 c. Asymptote oblique Soit C la courbe représentant une fonction f dans un repère.

Dire que la droite d"équation y = a x + b est asymptote oblique à C en + ¥ revient à dire que :

limx ® +¥ [] f (x) - (ax + b) = 0 Remarque : On obtient la même chose en remplaçant + en - f ( x ) x y N M C L f ( x )

¾®j

¾®i x

II. LIMITE en a

a. Limite infinie en a et asymptote verticale

Soit f une fonction

Si " f ( x) est aussi grand que l"on veut dès que x est assez proche de a » , on dit que f a pour limite + ¥

en a et on note : limx ® a f ( x ) = + ¥ On définit de la même façon limx ® a f ( x ) = - ¥ On dit que la droite d"équation x = a est asymptote verticale à la courbe Cf

Remarque :

Il arrive souvent qu"on soit amené à définir des limites " d"un seul côté de a » . Naturellement, on introduit les notions de limite à droite en a et de limite à gauche en a et on note :

limx ® a+ f ( x ) et limx ® a- f ( x ) ou encore limx ® a f ( x ) et limx ® a f ( x )

x > a x < a

Exemples à connaître :

limx ® 0+ 1 x = + ¥ , limx ® 0+ 1 x² = + ¥ , limx ® 0+ 1 x3 = + ¥ , limx ® 0+ 1 x = + ¥ limx ® 0- 1 x = - ¥ , limx ® 0- 1 x² = + ¥ , limx ® 0- 1 x3 = - ¥

Les courbes représentant ces fonctions admettent l"axe des ordonnées comme asymptote verticale .

Limite finie en a

Exemples : limx ® 3 sin (3x + 4) = sin 13 , limx ® 4 x² + 3 = 19

O x

y Cf Dans ce cas lim x ® a+ f ( x ) = - ¥ et lim x ® a- f ( x ) = + ¥ a

O a

III. OPERATION SUR LES LIMITES

Les théorèmes qui suivent, présentés sous forme de tableau sont admis.

Pour la plupart d"entre eux , ils sont naturels mais ... comme souvent en math, il y a quelques cas particuliers.

Par convention et pour simplifier :

On note lim f et lim g les limites de f et de g , toutes les deux en a , en + ¥ ou en - ¥

On note par un point d"interrogation les cas où il n"y a pas de conclusion générale. On dit qu"il s"agit de cas

de formes indéterminées . Ces cas nécessiteront une étude particulière chaque fois qu"ils se présenteront.

a. Limite de k f lim f L + ¥ - ¥ lim k f ( avec k > 0 ) k L + ¥ - ¥ lim k f ( avec k < 0 ) k L - ¥ + ¥ Exemple : Soit la fonction g définie sur IR* par g : x ½¾¾® - 2 x²

limx ® -¥ g ( x ) = 0 , limx ® +¥ g ( x ) = 0 , limx ® 0+ g ( x ) = - ¥ et limx ® 0- g ( x ) = - ¥

b. Limite de f + g lim f L L L + ¥ - ¥ + ¥ lim g L" + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ - ¥ lim ( f + g ) L + L" + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ ? Exemple : Soit la fonction h définie sur IR+* par h : x ½¾¾® x - 2 x² .

On a h = f + g avec f : x

½¾¾® x et g : x ½¾¾® - 2 x²

On sait que limx ® +¥ f ( x ) = + ¥ et limx ® +¥ g ( x ) = 0 ; donc limx ® +¥ h ( x ) = + ¥

c. Limite de f. g lim f L L > 0 L > 0 L < 0 L < 0 + ¥ + ¥ - ¥ 0 lim g L" + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ + ¥ - ¥ - ¥ +/- ¥ lim ( f .g ) L ´ L" + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ + ¥ - ¥ + ¥ ? Exemple : Soit la fonction h définie sur IR+ par h : x ½¾¾® ( x + 2 ) x

On a h = f ´ g avec f : x

½¾¾® x + 2 et g : x ½¾¾® x On sait que limx ® 0 f ( x ) = 2 et limx ® 0 x = 0 ; donc limx ® 0 h ( x ) = 0 d. Limite de f/g Cas où la limite de g n"est pas nulle Cas où la limite de g est nulle lim f L L + ¥ + ¥ - ¥ - ¥ +/- ¥ L > 0 ou + ¥ L > 0 ou + ¥ L < 0 ou - ¥ L < 0 ou - ¥ 0 lim g L" +/- ¥ L" > 0 L" < 0 L" > 0 L" < 0 +/- ¥ 0 + 0 - 0 + 0 - 0

lim f/g L/L" 0 + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ ? + ¥ - ¥ - ¥ + ¥ ?

Exemple : Soit la fonction h définie sur IR+* par h : x ½¾¾® 2x - 4x

On a h = f

g ou f : x ½¾¾® 2 x - 4 et g : x ½¾¾® x

On sait que limx ® 0+ f ( x ) = - 4 et limx ® 0+ g ( x ) = 0+ ; d"où limx ® 0+ h ( x ) = - ¥

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LIMITES DE FONCTIONS

Exemples à connaître :

On définit de la même façon ...

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On note :limx ® +¥ f ( x ) = L

à la courbe Cf en + ¥ .

Remarques :

Exemples à connaître :

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¾®i x

II. LIMITE en a

Soit f une fonction

Remarque :

Exemples à connaître :

Limite finie en a

O x

O a

III. OPERATION SUR LES LIMITES

Par convention et pour simplifier :

On a h = f + g avec f : x

On a h = f ´ g avec f : x

On a h = f