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Chapitre 5

Calcul matriciel et systèmes linéaires

Dans tout le chapitre

K désigne indifféremment R ou C

1 L'espace

M np K

1.1 Dé

nitions On xe n et p deux entiers naturelsnon nuls. Dé nition 1Matrice

On appelle matrice à

n lignes et p colonnes à coef cients dans K toute application : A 1, n 1, p K i j A i j

Le scalaire

A i j ] est appelé coef cient de A sur la ligne i et la colonne j

Il est aussi noté

a i j , et dans ce cas la matrice A est notée (( a i j ))1in 1 j p. A est représentée sous forme d'un tableau à n lignes et p colonnes : A colonne j a 11 a 12 a 1 j a 1 p a 21
a 22
a 2 j a 2 p a i 1 a i 2 a i j a ip ligne i a n 1 a n 2 a nj a np

On dit aussi que

A est un matrice de taille n p ou ( n p Notation: L'ensemble des matrices de taille n×p à coefcients dans K est noté M np K

Remarquer que

M np R M np C

Vocabulaire

Si n

1, on dit que

A M 1 p K ) est une matrice ligne. 99
CHAPITRE5 :Calcul matricielet systèmes linéaires Si p

1, on dit que

A M n 1 K ) est une matrice colonne. Si n p M np K ) est noté M n K ) et on dit que A M n K ) est une matricecarrée d'ordre n

La diagonale de

A est la famille de ses éléments diagonaux ( a ii 1 i min( n p Dé nition 2Égalité de deux matrices

Soient

n n p p des entiers naturels non nuls, A M np K ) et B M n p (K).

On dit que

A B lorsque n n p p et : i j 1, n 1, p A i j B i j

Donc deux matrices sont égales si, et seulemen

t si, elles ont même taille et mêmes coef cients. Dé nition 3Matrices triangulaires Soit A M n K

1. On dit que

A est triangulairesupérieurelorsque : i j 1, n 2 i j A i j 0

2. On dit que

A est triangulaireinférieure lorsque : i j 1, n 2 i j A i j 0

3. On dit que

A est diagonale lorsque : i j 1, n 2 i j A i j 0 Une matrice triangulairesupérieure est de la forme : a 11 a 12 a 1 n 0 a 22
a 2 n

0 0......

0 0 ... 0

a nn Une matrice triangulaireinférieure est de la forme : a 11

0 0 ... 0

a 21
a 22

0 ... 0

............0 a n 1 a n 2 a nn ECS1.1, Lycée Fermat Toulouse. http://mathcpge.org/100

1 L'espaceM

np K Une matrice triangulairediagonale est de la forme : 1

0 0 ... 0

0 2

0 ... 0

0 0 ............0

0 0 ... ...

n =Diag( 1 2 n

Notations

On note

T +n K ) l'ensemble des matrices carrées triangulairessupérieures d'ordre n

On note

T n K ) l'ensemble des matrices carrées triangulairesinférieures d'ordre n

On note

D n K ) l'ensemble des matrices carrées diagonalesd'ordre n Proposition 4Lien entre matrices diagonales ettriangulaires Soit A M n K ). Alors : A est diagonale A est à la fois triangulairesupérieure et inférieure

Autrement dit :

D n K T +n K T n K

1.2 Opérations dans

M np K

On dé

nit l'additionde deux matrices. Dé nition 5Addition dans M np K

Soient

A a i j ))1in 1 j pM np K ) et B b i j ))1in 1 j pM np K

On dé

nit une matrice notée A B c i j ))1in 1 j pM np K ) par : iquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45